1, gdy |t|< T1 , x(t) = (2.1) 0, gdy T1 < |t|< T /2. Znalezione współczynniki rozwinięcia mają postać 2sin(k0T1) 2Ą ck = , gdzie 0 = . (2.2) k0T T Zdefiniujmy nową wielkość w postaci
2sin(T1)
T ck = (2.3)
=k0 i nazwijmy funkcję stojącą po prawej stronie równości obwiednią. Współczynniki roz- winięcia mogą być traktowane jako próbki obwiedni pobierane w równych odstępach 32 2. Transformacja Fouriera (rysunek 2.1). Dla ustalonej wartości T1 obwiednia jest niezależna od T . Wraz ze wzro- stem T maleją odstępy pomiędzy pobieranymi próbkami obwiedni. W granicznym przypadku, gdy T dąży do nieskończoności, sygnał okresowy staje się sygnałem ape- riodycznym, a próbki T ck tworzą obwiednię. a) a) T 4 T1 T 4 T1 Tck 2 0
Tck b) T 8 T1 4 0
Rysunek 2.1. Obwiednia T ck i próbki pobierane z niej z okresem próbkowania (a) T = 4T1 i (b) T = 8T1 Oznaczmy sztucznie utworzony sygnał okresowy przez x1(t) (rysunek 2.2). Możemy dla niego napisać znane wzory rozwinięcia w szereg Fouriera: "
x1(t) = ck ejk0t , (2.4a) k=- " T /2 1 ck = x1(t)e-jk0t dt , (2.4b) T -T /2 gdzie 0 = 2Ą/T . Sygnał okresowy x1(t) powstał przez powielenie z okresem T sygnału x(t), zatem x1(t) = x(t) dla |t| < T /2, ponadto x(t) = 0 poza tym przedziałem. Korzysta- jąc z tych informacji możemy poprzedni wzór zapisać w postaci T /2 " 1 1 ck = x(t)e-jk0t dt = x(t) e-jk0t dt . (2.5) T -T /2 T - " x(t) T1 T1 t x1(t) T1 t T T1 T Rysunek 2.2. Sygnał aperiodyczny x(t) i sztucznie utworzony sygnał okresowy x1(t) 2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera 33 Zatem obwiednię X (j) z T ck można przedstawić jako " X (j) = x(t)e-jt dt . (2.6) - " Współczynniki rozwinięcia wyliczamy: 1 ck = X (jk0). (2.7) T Korzystając z tego, otrzymujemy " "
1 1 x1(t) = X (jk0)ejk0t = X (jk0)ejk0t 0 . (2.8) T 2Ą k=- " k=- " Gdy okres T dąży do nieskończoności, to x1(t) dąży do x(t), a 0 dąży do zera. W efek- cie w ostatnim wzorze x(t) zastąpi x1(t), a po prawej stronie suma zostanie zastąpiona całką " 1 x(t) = X (j)ejt d. (2.9) 2Ą - " Ostatecznie otrzymaliśmy parę wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera: " X (j) = x(t)e-jt dt , (2.10a) - " " 1 x(t) = X (j)ejt d. (2.10b) 2Ą - " Funkcja po transformacji może być zapisana we współrzędnych biegunowych: X (j) = |X (j)|ejarg[X (j)] . (2.11) Moduł X () = |X (j)| nosi nazwę gęstości widmowej amplitudy, natomiast faza () =
arg X (j) nazywana jest gęstością widmową fazy (często zamiennie mówi się o wid- mie amplitudowym i fazowym). Podane zostaną teraz warunki, jakie musi spełniać funkcja x(t), aby można było znalezć jej transformatę Fouriera. 2.2. Warunki Dirichleta istnienia transformaty Fouriera Podobnie jak dla sygnałów okresowych podaje się trzy warunki, zwane warunkami Di- richleta, na istnienie transformacji Fouriera funkcji x(t). Warunek 1. Funkcja x(t) jest bezwzględnie całkowalna, tzn. " |x(t)|dt < ". (2.12) - " Warunek 2. Funkcja x(t) ma skończoną liczbę maksimów i minimów w dowolnym skończonym przedziale. 34 2. Transformacja Fouriera Warunek 3. Funkcja x(t) ma skończoną liczbę punktów nieciągłości w dowolnym skończonym przedziale. Ponadto wartości funkcji w tych punktach muszą być ogra- niczone. W kolejnym podrozdziale przedstawiono wybrane własności przekształcenia Fouriera. 2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera Liniowość Jeżeli x(t) = X (j) oraz y(t) = Y (j), (2.13a) Ć Ć to a x(t) + b y(t) = a X (j) + b Y (j). (2.13b) Ć Dowód twierdzenia o liniowości przekształcenia Fouriera jest łatwy i wynika wprost ze wzoru na proste przekształcenie Fouriera. Przesunięcie w czasie Jeżeli x(t) = X (j), to x(t - t0) = e-jt0 X (j). Udowodnijmy to. Wiemy, iż Ć Ć " 1 x(t) = X (j)ejt d. (2.14) 2Ą - " Wprowadzając przesunięcie w czasie, otrzymujemy " " 1 1 x(t - t0) = X (j)ej(t-t0) d = e-jt0 X (j)ejt d. (2.15) 2Ą - " 2Ą - " Dostajemy zatem
F x(t - t0) = e-jt0 X (j). (2.16) Warto zauważyć, że przesunięcie oryginału powoduje zmianę jedynie gęstości widmo- wej fazy, natomiast bez zmiany pozostaje gęstość widmowa amplitudy. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości Jeżeli x(t) = X (j), to ej0t x(t) = X [j( - 0)]. Udowodnijmy to. Wiemy, iż Ć Ć " 1 x(t) = X (j)ejt d. (2.17) 2Ą - " Wprowadzając przesunięcie w częstotliwości, otrzymujemy "
1 -1 F X [j( - 0)] = X [j( - 0)]ejt d = 2Ą - " (2.18) " ej0t = X (v)ejvt dv = ej0t x(t). 2Ą - " 2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 35 Różniczkowanie i całkowanie oryginału
" 1 Zróżniczkujmy wzór x(t) = X (j)ejt d po czasie; w efekcie otrzymamy 2Ą - " dx(t) = jX (j) (2.19) Ć dt Twierdzenie powyższe jest prawdziwe, gdy funkcja x(t) jest bezwzględnie całkowalna w przedziale (- ",+ "), ciągła i dąży do zera dla t ą " oraz ma prawie wszędzie pochodną (t), która jest bezwzględnie całkowalna w przedziale (- ",+ "). Niestety wzór na transformatę Fouriera całki nie jest tak prosty, jak w przypadku transformaty Laplace a: t X (j) x(ś)dś = + Ą X (0)(). (2.20) Ć j - "
t Aby go udowodnić, trzeba zauważyć, że sygnał x(ś)dś jest splotem sygnału x(t) - " z jedynką Heaviside a
1 dla t 0, 1(t) = (2.21) 0 dla t < 0, i zastosować twierdzenie o transformacie Fouriera splotu sygnałów1. Skalowanie w czasie i częstotliwości (podobieństwo) Jeżeli x(t) = X (j), to dla dowolnej stałej a > 0 zachodzi Ć
1 j x(at) = X . (2.22) Ć a a Dowód: " " d 1 j F [x(at)] = x(at)e-jt dt = x()e-j a = X . (2.23) a a a - " - " Twierdzenie o transformacie splotu Jeżeli x(t) = X (j) oraz y(t) = Y (j), (2.24a) Ć Ć to " x(t - )y() d = X (j)Y (j). (2.24b) Ć - " Udowodnijmy to:
" " " F x(t - )y()d = x(t - )y() d e-jt dt = - " - " " - " (2.25) " = y() x(t - ) e-jt dt d. - " - " 1 Więcej o transformacie Fouriera jedynki Heaviside a napisano w podrozdziale 6.1.2 na stronie 176. 36 2. Transformacja Fouriera Wprowadzając nową zmienną całkowania u = t -, mamy dt = du oraz t = u+, wobec tego " " " F x(t - )y()d = y() x(u)e-j(u+) dt d = - " - " " - " " (2.26) = y()e-j d x(u)e-ju du = X (j)Y (j). - " - " Wzór Parsevala Jeżeli x(t) = X (j), (2.27a) Ć to " " 1 |x(t)|2 dt = |X (j)|2 d. (2.27b) 2Ą - " - " Spróbujmy to wykazać: " " " " 1 " |x(t)|2 dt = x(t) x"(t) dt = x(t) X (j)e-jt d dt . (2.28) 2Ą - " - " - " - " Zmieniając kolejność całkowania, otrzymujemy " " " 1 " |x(t)|2 dt = X (j) x(t)e-jt dt d = 2Ą - " - " - " " " 1 1 " = X (j) X (j)d = |X (j)|2 d. 2Ą - " 2Ą - "
" Wzór Parsevala posiada interpretację fizyczną. Wartość całki |x(t)|2 dt może być - " traktowana jako energia zamieniona na ciepło na oporniku 1 &! przy przepływie prądu i = x(t) w nieskończenie wielkim przedziale czasowym. Zgodnie ze wzorem Parsevala całka z kwadratu gęstości widmowej amplitudy również przedstawia energię. Dlatego mówi się o rozkładzie energii w funkcji pulsacji, a wielkość |X (j)|2/(2Ą) nazywana jest gęstością widmową energii2. Symetria dualna Podobieństwo wzorów na proste i odwrotne przekształcenie Fouriera pociąga za so- bą dualność oryginałów i ich obrazów. Zilustrujmy to przykładem. Znajdzmy obraz dla sygnału czasowego będącego pojedynczym impulsem prostokątnym, a następnie znajdzmy oryginał dla pojedynczego impulsu prostokątnego w dziedzinie częstotliwo- ści:
sin(0t) 1 dla || < 0 , x2(t) = = X2(j) = (2.29b) Ć Ąt 0 dla 0 < ||. 2 Jeżeli całkowanie we wzorze (2.27b) odbywa się względem częstotliwości f wyrażonej w hercach, a nie względem pulsacji wyrażonej w radianach na sekundę, to pomija się współczynnik 1/(2Ą). 2.3. Wybrane własności przekształcenia Fouriera 37 Odpowiednie pary (oryginał i transformata) przedstawiono na rysunku 2.3. Aatwo za- uważyć symetrię, jaka występuje w tych dwóch przekształceniach. Będzie ona wystę- powała także w przypadku innych funkcji. Jeżeli tylko wezmiemy jedną funkcję i po- liczymy jej transformatę, a następnie oryginał potraktujemy jako obraz i zastosujemy do niego odwrotne przekształcenie, to otrzymane w ten sposób obraz i oryginał będą do siebie podobne. Możemy to zapisać w następującej postaci: x(t) = X (j) ! X (t) = 2Ąx(-). (2.30) Ć Ć x1(t) 2T1 X1( j ) 1 /T1 t T1 T1
X2( j ) 0 / x2(t) 1 / 0 0 0 t Rysunek 2.3. Podobieństwo oryginałów i obrazów Sprzężenie i symetria Jeżeli x(t) = X (j), (2.31a) Ć to " x"(t) = X (-j). (2.31b) Ć Można to w prosty sposób udowodnić. Obliczając wartość sprzężoną X (j), otrzymu- jemy " " " " X (j) = x(t)e-jt dt = x"(t) ejt dt . (2.32) - " - " Zamieniając na -, uzyskujemy "
" X (-j) = x"(t) e-jt dt = F x"(t) . (2.33) - " Jeśli x(t) jest rzeczywiste i x"(t) = x(t), to na podstawie dwóch poprzednich wzorów łatwo pokazać, że " " X (-j) = X (j) oraz X (-j) = X (j). (2.34) Jeżeli przedstawimy X (j) w postaci X (j) = Re{X (j)} + j Im{X (j)}, (2.35) 38 2. Transformacja Fouriera to korzystając ze wzoru (2.34) otrzymujemy następujące zależności (cały czas zakłada- my, że x(t) jest rzeczywiste): Re{X (j)} = Re{X (-j)}, (2.36) Im{X (j)} = -Im{X (-j)}. Ze wzorów tych wynika także, że gęstość widmowa amplitudy jest funkcją parzystą, a gęstość widmowa fazy funkcją nieparzystą. Wynik ten można także otrzymać w in- ny sposób. Jeśli zapiszemy e-jt = cos(t) - jsin(t), to transformata Fouriera sygnału x(t) może być zapisana w postaci F {x(t)} = X (j) = X1(j) - jX2(j), (2.37) gdzie " X1(j) = x(t)cos(t)dt , - " " (2.38) X2(j) = x(t)sin(t)dt . - " Widać, że funkcja X1(j) jest parzysta, zaś X2(j) nieparzysta względem . Zatem łatwo pokazać, iż gęstość widmowa amplitudy jest funkcją parzystą, a gęstość widmowa fazy funkcją nieparzystą względem . W tabeli 2.1 zebrano niektóre własności transformaty Fouriera. Natomiast w tabe- li 2.2 znalazły się wybrane pary transformat. Wyliczenia poszczególnych transformat Czytelnik może znalezć w podrozdziale zawierającym przykłady. Tabela 2.1. Własności transformaty Fouriera Sygnał aperiodyczny Transformata Fouriera Własność x(t ), y(t) X (j), Y (j) Liniowość a x(t) + b y(t) a X (j) + b Y (j) Przesunięcie w czasie x(t - t0) e-jt0 X (j) Przesunięcie w częstotliwości ej0t x(t) X [j( - 0)] dx(t) Różniczkowanie oryginału j X (j) dt t X (j) Całkowanie oryginału x(ś)dś + Ą X (0)() j - "
Skalowanie w czasie 1 j x(at), a > 0 X i częstotliwości (podobieństwo) a a " Splot x(t - ) y()d X (j)Y (j) - " " " 1 Wzór Parsevala |x(t)|2 dt = |X (j)|2 d 2Ą - " - " 2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego 39 Tabela 2.2. Wybrane pary transformat Oryginał Obraz " "
2 2 Ą 2 e-0t exp - |0| 42 0 2|0| e-|0t| 2 + 2 0 2.4. Gęstość widmowa sygnału na wyjściu układu liniowego Przedstawiając własności przekształcenia Fouriera, pokazano, że splot dwóch sygna- łów równy jest iloczynowi transformat Fouriera tych sygnałów. Korzystając z tej wła- sności, możemy podać związek pomiędzy transformatą Fouriera X (j) sygnału na wej- ściu układu liniowego a transformatą Fouriera Y (j) sygnału wyjściowego. Dany jest on zależnością Y (j) = K (j) X (j), (2.39) gdzie K (j) = |K (j)|ejarg[K (j)] jest charakterystyką częstotliwościową obwodu. Związki pomiędzy gęstościami widmowymi amplitudy i fazy sygnału wejściowego i wyjściowe- go dane są wzorami |Y (j)| = |K (j)||X (j)|, (2.40a) arg[Y (j)] = arg[K (j)] + arg[X (j)]. (2.40b) 2.5. Przykłady ...................................................................................... Przykład 2.1 Znajdz transformatę Fouriera delty Diraca. 40 2. Transformacja Fouriera Rozwiązanie. Korzystając z definicji prostego przekształcenia Fouriera, otrzymujemy " F {(t)} = (t)e-jt dt = 1. . - " ...................................................................................... Przykład 2.2 Znajdz transformatę Fouriera sygnału jednostkowego
0, gdy - " < t < 0, 1(t) = 1, gdy " > t > 0. Rozwiązanie. Niestety, w przypadku tej funkcji nie możemy skorzystać z twierdzenia o obrazie pochodnej, gdyż nie spełnia ona założeń. Wykorzystamy natomiast twier- dzenie o obrazie Skok jednostkowy może być przedstawiony jako całka z delty całki. t Diraca, tj. 1(t) = (ś) dś. W efekcie otrzymujemy - " 1 F {x(t)} = + Ą(). . j ...................................................................................... Przykład 2.3 Znajdz oryginał X (j) = (). Rozwiązanie. Korzystając z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu- jemy " 1 1 x(t) = ()ejt d = . 2Ą - " 2Ą Dzięki temu wynikowi możemy zapisać, jak wygląda transformata Fouriera wartości stałej: F {1} = 2Ą(). . ...................................................................................... Przykład 2.4 Znajdz transformatę Fouriera sygnału okresowego x(t) mającego rozwinięcie w wy- kładniczy szereg Fouriera. Rozwiązanie. Sygnał x(t) posiada rozwinięcie w szereg Fouriera, zatem "
x(t) = ck ejk0t . k=- " Znajdzmy transformatę Fouriera tego sygnału. Skorzystamy w tym przypadku z twier- dzenia o przesunięciu obrazu3: " "
F {x(t)} = F ck e-jk0t = 2Ąck ( - k0). . k=- " k=- " 3 Chodzi tu o przesunięcie obrazu funkcji w dziedzinie częstotliwości. 2.5. Przykłady 41 ...................................................................................... Przykład 2.5 Znajdz transformatę Fouriera funkcji x(t) = cos(0t). Rozwiązanie. Zapiszmy funkcję x(t), korzystając ze wzorów Eulera: e-j0t +ej0t x(t) = cos(0t) = . 2 Korzystając teraz z twierdzenia o przesunięciu obrazu i wzoru na transformatę wartości stałej, otrzymujemy końcowy wzór: F {cos(0t)} = Ą( + 0) + Ą( - 0). W tym miejscu warto przeanalizować, jak wygląda gęstość widmowa funkcji typu y(t) = x(t) cos(0t), w przypadku gdy znamy obraz funkcji x(t). Aatwo pokazać, korzystając z twierdzenia o przesunięciu obrazu, że jeżeli F {x(t)} = X (j), to
x(t) x(t) 1 1 F {y(t)} = F e-j0t + ej0t = X [j( + 0)] + X [j( - 0)]. 2 2 2 2 Więcej informacji na ten temat można znalezć w rozdziale poświęconym modulacji. . ...................................................................................... Przykład 2.6 Znajdz transformatę Fouriera funkcji x(t) = sin(0t). Rozwiązanie. Zapiszmy funkcję x(t) w innej postaci: ej0t -e-j0t x(t) = sin(0t) = . 2j Korzystając teraz z twierdzenia o przesunięciu obrazu i wzoru na transformatę wartości stałej, otrzymujemy końcowy wzór: F {sin(0t)} = Ąj( + 0) - Ąj( - 0). . ...................................................................................... Przykład 2.7 Znajdz oryginał dla X (j) danego wzorem Ą X (j) = [1( + 0) - 1( - 0)]. 0 Rozwiązanie. Korzystając z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, otrzymu- jemy 0 0
1 Ąejt 1 2jsin(0t) sin(0t)
x(t) = d = ejt = = . 2Ą -0 0 2jt0 -0 2j0t 0t Zatem sin(0t) x(t) = . . 0t 42 2. Transformacja Fouriera ...................................................................................... Przykład 2.8 Znajdz transformatę Fouriera sygnału przedstawionego na rysunku 2.4. x(t) A t a b b a Rysunek 2.4. Sygnał x(t) z przykładu 2.8 Rozwiązanie. Można oczywiście znalezć obraz zadanej funkcji, korzystając ze wzoru definiującego to przekształcenie. Spróbujmy jednak ułatwić sobie trochę dojście do rozwiązania, wykorzystując twierdzenie o obrazie zróżniczkowanej funkcji. Zróżnicz- kujmy dwukrotnie funkcję x(t). Zabieg ten został zilustrowany na rysunkach 2.5 i 2.6. Druga pochodna składa się z czterech impulsów Diraca. W prosty sposób możemy znalezć obraz drugiej pochodnej.
A F {ć (t)} = F (t + a) - (t + b) - (t - b) + (t - a) a - b A A = (eja -ejb -e-jb +e-ja) = [cos(a) - cos(b)]. a - b a - b
A /(a b) x(t) a b t a b A /(a b) Rysunek 2.5. Pierwsza pochodna sygnału x(t) z przykładu 2.8
x(t) A /(a b) A /(a b) b b a a t A /(a b) A /(a b) Rysunek 2.6. Druga pochodna sygnału x(t) z przykładu 2.8 Pamiętając, że F {ć (t)} = (j)2F {x(t)}, otrzymujemy 1 A F {x(t)} = - [cos(a) - cos(b)]. . 2 a - b 2.5. Przykłady 43 ...................................................................................... Przykład 2.9 Znajdz transformatę Fouriera sygnału x(t) przedstawionego na rysunku 2.7. x(t) A t
0 Rysunek 2.7. Sygnał x(t) z przykładu 2.9 Rozwiązanie. Zróżniczkujmy dwukrotnie funkcję x(t). Zabieg ten został zilustrowany na rysunku 2.8. Druga pochodna składa się z trzech impulsów Diraca. W prosty sposób możemy znalezć obraz drugiej pochodnej:
2A / A / Rysunek 2.8. Pierwsza i druga pochodna sygnału x(t) z przykładu 2.9 Pamiętając, że F {ć (t)} = (j)2F {x(t)}, otrzymujemy
1 4A 4A F {x(t)} = - - sin2 = sin2 . . 2 2 2 2 .................................................................................... Przykład 2.10 Oblicz oryginalny sygnał x(t), którego widmo przedstawione jest na rysunku 2.9. Rozwiązanie. Korzystając z definicji odwrotnego przekształcenia Fouriera, możemy zapisać " 1 x(t) = X (j)ejt d = 2Ą - " 0 2A 1 Ą 1 1 Ą 1 = (2A + )ejt d + (2A - ) ejt d. 2Ą -2A 0 A 2A 2Ą A 2A 44 2. Transformacja Fouriera X ( j ) / A 2A 0 2A Rysunek 2.9. Widmo sygnału x(t) z przykładu 2.10 Obliczmy wartość pierwszej całki: 0 1 I1 = (2A + )ejt d = 4A2 -2A 0 0 0 1 2A 1 1 2A 1 = ejt + ejt + ejt = + (1 - e-j2At ) 4A2 jt jt t2 4A2 jt t2 -2A -2A -2A oraz drugiej: 2A 1 I2 = (2A - )ejt d = 4A2 0 2A 2A 2A 1 2A - 1 1 -2A 1 = ejt + ejt - ejt = - (ej2At -1) . 4A2 jt jt t2 4A2 jt t2 0 0 0 W efekcie otrzymujemy 1 1 x(t) = I1 + I2 = (1 - e-jAt +1 - ejAt ) = [1 - cos(2At)] = 4(At)2 2(At)2 1 = [sin2(At) + cos2(At) - cos2(At) + sin2(At)]. 2(At)2 Zatem 2 sin2(At) sin(At) x(t) = = . . (At)2 At .................................................................................... Przykład 2.11 Określić pulsację graniczną idealnego filtru dolnoprzepustowego o wzmocnieniu w pa- śmie przepuszczania równym 2, jeżeli wiadomo, że po pobudzeniu sygnałem 500sin2(500t) x(t) = (500t)2 energia sygnału na wejściu i wyjściu filtru jest taka sama. Rozwiązanie. Na rysunku 2.10 przedstawiono gęstość widmową sygnału na wejściu filtru X (), wyjściu Y () oraz charakterystykę częstotliwościową filtru K (). Obliczmy energię sygnału na wejściu filtru. Zgodnie ze wzorem Parsevala możemy zapisać + " + " 1 Ex = |x(t)|2 dt = |X ()|2 d. 2Ą - " - " 2.5. Przykłady 45
Y ( ) 2 K( ) X ( ) 2 g g 1000 g 0 1000 g 0 Rysunek 2.10. Gęstości widmowe X () i Y () oraz charakterystyka częstotliwościowa filtru K () W naszym przypadku
0 2 1000 2 1 1 Ex = Ą 1 + d + Ą 1 - d = 2Ą -1000 0 1000 2Ą 1000 0 2 0 2 1 3 Ą103 = Ą 1 + d = Ą + + = . 1000 103 3 106 3 -1000 -1000 Energia sygnału na wyjściu filtru dana jest wzorem 0 2 0 2 1 3 1 2 1 3 g g Ey = 2 2Ą 1 + d = 4Ą + + = 4Ą g - + . 2Ą -g 1000 103 3 106 103 3 106 -g Zgodnie z warunkami zadania Ex = Ey , zatem 2 1 3 1 g g g - + = 103 . 103 3 106 12 Rozwiązując to równanie, otrzymujemy g H" 91,4 rad/s. . .................................................................................... Przykład 2.12 Znajdz transformatę Fouriera sygnału x(t) = e-a|t| , a > 0. Rozwiązanie. Zgodnie z definicją prostego przekształcenia Fouriera możemy zapisać " 0 " X (j) = e-a|t| e-jt dt = eat e-jt dt + e-at e-jt dt . - " - " 0 Zatem 0 "
1 1 1 1 2a
X (j) = et(a-j) - e-t(a+j) = + = . .
a - j a + j a - j a + j a2 + 2 - " 0 .................................................................................... Przykład 2.13 Wyznacz gęstość widmową impulsu prostokątnego przedstawionego na rysunku 2.11: f (t) = A[1(t + ) - 1(t - )]. 46 2. Transformacja Fouriera f (t) f (t) A A (t )
t t A (t ) Rysunek 2.11. Sygnał f (t) z przykładu 2.13 oraz jego pierwsza pochodna Rozwiązanie. Korzystając z twierdzenia o transformacie funkcji przesuniętej w czasie, znajdujemy transformatę Fouriera fŁ(t): F {fŁ(t)} = A[F {(t + )} - F {(t - )}] = A(ej -e-j). Równocześnie na podstawie twierdzenia o transformacie pochodnej funkcji czasowej mamy F {fŁ(t)} = jF (). Wobec tego jF () = A(ej -e-j). W efekcie otrzymujemy 2A(ej -e-j) 2A F () = = sin(). . 2j .................................................................................... Przykład 2.14 Sygnał x(t) = (Ąt)-1 sin(100t) podano na dwa połączone kaskadowo filtry, których cha- rakterystyki amplitudowe przedstawiono na rysunku 2.12, przy czym filtry te nie ob- ciążają się wzajemnie. Oblicz energię sygnału y(t) na wyjściu układu. KA ( ) KB ( ) 1 -100 -60 -20 20 60 -100 -60 -20 20 60 100 100 Rysunek 2.12. Charakterystyki amplitudowe filtrów z przykładu 2.14 Rozwiązanie. Na rysunku 2.13 przedstawiono gęstości widmowe sygnałów na wejściu i wyjściu układu. Korzystając ze wzoru Parsevala oraz uwzględniając symetrię gęstości widmowej sygnału na wyjściu układu, możemy obliczyć szukaną energię: 2 2 40 20 1 - 20 1 80 Ey = 8 d = 8 d = . . 2Ą 20 2Ą 20 3Ą 20 0 2.5. Przykłady 47 Y ( ) X ( ) 1 100 -100 100 -100 -60 -20 20 60
Rysunek 2.13. Gęstości widmowe sygnałów wejściowego i wyjściowego w przykładzie 2.14 .................................................................................... Przykład 2.15 Sygnał sin(0t) x(t) = A cos(&!t) , 0t gdzie &! = 300 rad/s, = 100 rad/s, A = 200, podano na wejście idealnego filtru górno- przepustowego o wzmocnieniu w paśmie przepuszczania równym 2. " Oblicz i narysuj gęstość widmową sygnału x(t). " Wyznacz pulsację graniczną filtru, jeżeli wiadomo, że energia sygnału y(t) na wyjściu filtru stanowi 25% energii sygnału wejściowego. Rozwiązanie. Gęstość widmową sygnału x(t) przedstawiono na rysunku 2.14. Wyzna- czono ją jako gęstość widmową sygnału cos(&!t), zmodulowanego sygnałem Sa(0t)4. Analitycznie może być ona zapisana w postaci X (j) = Ą[1( + 400) - 1( + 200) + 1( - 200) - 1( - 400)]. X ( ) Sa( 0t)
2
-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 Rysunek 2.14. Gęstość widmowa sygnału x(t) z przykładu 2.15 Energię sygnału x(t), zgodnie ze wzorem Parsevala, możemy obliczyć: -200 400 400 1 1 1 Ex = (Ą)2 d + (Ą)2 d = (Ą)2 d = 200Ą. 2Ą -400 200 200 2Ą Ą Natomiast energia sygnału y(t) wynosi 400 1 Ey = (2Ą)2 d = 4Ą(400 - g). Ą g 4 Sa(0t) = (0t)-1 sin(0t). 48 2. Transformacja Fouriera Zgodnie z warunkami zadania Ey = 0,25Ex, zatem 4Ą(400 - g) = 0,25 200Ą Rozwiązując to równanie, otrzymujemy g = 387,5 rad/s . 2.6. Literatura [1] M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1991. [2] A. V. Oppenheim, R. W. Schafer, Cyfrowe przetwarzanie sygnałów, Wydawnictwa Ko- munikacji i Aączności, Warszawa 1979. [3] A. V. Oppenheim, A. S. Willisky, Signals & Systems, Prentice Hall Inc., Upper Saddle River, New Jersey 1997. [4] A. Wojnar, Teoria sygnałów, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1980.