K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. IV. TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913) Bohr zastanawiał się, jak wyjaśnić strukturę widm liniowych. Elektron musi krążyć, aby zrównoważyć siłę Coulomba (przyciągającą). Skoro krąży to doznaje przyspieszenia i promieniuje, a wówczas traci energię. IV.1. WIDMA PROMIENIOWANIA ATOMÓW Rys. IV.1. Schemat spektrometru optycznego. Wiązka światła pada na pryzmat i zostaje rozszczepiona. Rys.IV.2. Z Rys.IV.1. na kliszy uzyskamy taki obraz padającej wiązki. Jest to widmo liniowe. Rodzaje widm podział: I. według (ze względu na) długość fali a) widma optyczne powstają w wyniku zmiany energii elektronów zewnętrznych 1 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. (100� d" d" daleka podczerwień) widma widzialne (VIS): 4000� d" d" 8000� widma podczerwone (IR): e" 8000� widma nadfioletowe (UV): d" 4000� b) widma rtg (rentgenowskie) powstają w wyniku zmiany energii elektronów wewnętrznych (najbliższych jądra atomowego) II. według struktury linii a) widma liniowe | | | || | || | : atomy (jony) swobodne b) widma pasmowe ||| |||| ||| |||| gdy linie są zgrupowane bardzo gęsto obok siebie: drobiny (jony drobin) np. CO , NH , CH ,... 2 3 4 c) widma ciągłe są charakterystyczne dla materii skondensowanej: ciała stałe (metale), ciecze i gazy w wysokich ciśnieniach. Nie da się jednoznacznie przypisać konkretnej substancji. a) i b) są charakterystyczne dla danej substancji określają ją w sposób jednoznaczny Dwie linie blisko siebie w widmie dublet (np. widmo sodu). III. ze względu na sposób obserwacji a) widma emisyjne obserwujemy promieniowanie wysyłane b) widma absorbcyjne powstają gdy widmo ciągłe przepuścimy przez daną substancję (np. gaz), różnica widma ciągłego i liniowego. Na podstawie analizy linii widmowych możemy stwierdzić przez jakie pierwiastki widmo zostało przepuszczone 2 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Rys.IV.3. Przykłady widm. IV.2. WIDMO ATOMU WODORU (DOŚWIADCZENIE) Rys.IV.4. Widmo atomu wodoru przedstawienie graficzne ilustrujące serię Balmera. 3 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Balmer zaproponował wzór dzięki któremu możemy znalezć położenie każdej z linii widmowych atomu wodoru. B�"n2 �ąn= , n = 3,4,5,.... (IV.2.1) n2-4 = ą = 6563 [�] 3 H granica serii Balmera ( =3646�) " Każda seria kończy się pewną linią graniczną. W serii Balmera wykryto 10 linii. Rydberg wprowadził pewną modyfikację z której wynika, że wygodniej położenie linii opisywać przez tzw. liczbę falową k, którą wyrażają zależności (IV.2.2a) lub (IV.2.2b): 1 k = (IV.2.2a) �ą lub 2Ćą k = (IV.2.2b) �ą 1 k =RH 1 - , n = 3,4,5,... (IV.2.3) n śą źą 22 n2 gdzie: stała Rydberga R = 109677,58 cm-1 H Znanych jest 6 serii linii widmowych, których linie opisuje uogólniony wzór Rydberga: 1 1 2 k= R "Z - (IV.2.4) śą źą n2 n2 1 2 n = n +1, n = const dla danej serii i 1 d" n d" 6 2 1 1 1 4 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. SERIA ROK n ZAKRES 1 Lymana 1906 1 UV Balmera 1885 2 VIS+UV Paschena 1908 3 IR przed teorią Bohra po teorii Bohra IR Bracketta 1922 4 IR Pfunda 1924 5 IR Humpkreysa 1952 6 Tabela IV.2. Serie widmowe atomu wodoru. Model Bohra przewidział istnienie dalszych serii w podczerwieni zanim zostały praktycznie wykryte. Teoria Bohra wyprowadzona dla atomu z jednym elektronem atomy wodoropodobne. IV.3. TERMY I ZASADA KOMBINACJI RYDBERGA RITZA (1908) RH RH k= - śą źą n2 n2 1 2 RH RH k=T -T T = T = , , 1 1 1 n2 2 n2 1 2 RH df (IV.3.1) T = n n2 Wzór (IV.3.1) pojęcie termu, którego matematyczna postać jest inna dla każdego pierwiastka. Położenie dla dowolnego widma (linii) możemy przedstawić jako różnicę dwóch termów: ' ' kn=T -T n śąn�ą1źą Wzory termów dla atomów innych niż wodór, mają inną postać. Zasada kombinacji Rydberga Ritza Liczby falowe dowolnych linii spektralnych mogą być wyrażone jako różnice odpowiednich termów. Termy te poprzez kombinacje z innymi termami mogą służyć do obliczania liczb 5 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. falowych innych linii tego samego widma. Podsumowanie: Widma atomowe nie są ciągłe są liniowe, a więc skwantowane! IV.4. POSTULATY BOHRA Teoria Bohra oparta jest na następujących postulatach: I. Elektron porusza się po orbicie kołowej i podlega prawom fizyki klasycznej (równowaga zapewniona przez prawo Coulomba i II zasadę dynamiki Newtona). Siła przyciągająca między ładunkiem a jądrem jest równoważona przez siłę odśrodkową. II. Zamiast nieskończonej liczby orbit , które dozwolone są z punktu widzenia mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla których orbitalny moment pędu L spełnia warunek: L = n�"' , n = 1,2,3,... df h ' = (IV.4.1) 2 Ćą L =#"Śą kręt orbitalny L#" Śą p = m�"v L = r� p , Śą Śą Śą Śą Jest to tzw. postulat kwantowy. III. Całkowita energia na danej orbicie stacjonarnej jest stała: E=const A zatem Bohr przyjął, że elektron nie traci energii! IV. Przy przejsciu elektronu z jednej orbity na drugą atom wysyła promieniowanie. E E < E 2 1 2 6 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. śą E2- E1źą częstość wyemitowanego f = 21 h promieniowania Rys.IV.5. Promieniowanie emitowane przy przejściu elektronu z orbity wyższej na niższą. Postulat analogiczny do postulatu Einsteina! Bazując na tych postulatach można wyprowadzić wzór Rydberga. IV.5. WYPROWADZENIE WZORU RYDBERGA. F =Fo e Ze2 ' F =k c r2 mv2 F = o r Rys. IV.6. Elektron krążący po orbicie wokół jądra atomu. 1 4 Ćą�ą0 układ (SI) k'= 1 układ (Gaussa) założenie: k'=1 Ze2 mv2 = , z czego i ze wzoru (IV.5.3) wynika, że r2 r 7 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Ze2 r = (IV.5.4) mv2 L=n' (IV.5.1) n' (IV.5.3) v= mr L=mvr (IV.5.2) A zatem: '2 r = �"n2 n = 1,2,3, (IV.5.5) n Ze2�"m r :r2: r3:...=1: 4 :9:... 1 z wzoru (IV.5.5) możemy wyliczyć promień wodoru na pierwszej orbicie (w stanie podstawowym) promień Bohra: r1=5,3 �"10-9 cm Z (IV.5.3) i (IV.5.5) wynika, że prędkość na n-tej orbicie wynosi: Ze2�"1 vn= (IV.5.6) ' n Z wzoru (IV.5.6) możemy wyliczyć, że: v1=2 �"108 cm < 1% c s A zatem jak widać, nie ma efektu relatywistycznego. 1 1 1 v ~ v1 :v2 : v3 =1 : : , czyli k n 2 3 Jak wynika z powyższych obliczeń, największą prędkość uzyskuje elektron na 1 orbicie. Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej E i potencjalnej E : k p E=Ek�ąE (IV.5.7) p 8 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. mv2= Ze2 Ek= (IV.5.8) 2 2r Ze2 Ze2 E = dr=- (IV.5.9) +" p r r2 Ze2 E=- (IV.5.10) 2r Z zależności (IV.5.7) (IV.5.10) wynika, że: E=-Ek Czyli, że energia całkowita elektronu jest ujemna, a więc elektron jest związany. 2 En=-Z e4�" 1 (IV.5.11) śą źą 2'2 n2 E całkowita energia elektronu na n tej orbicie. n E1=-13,6 eV Z zależności (IV.5.11) można obliczyć , stąd wynika, że najsilniej związany jest elektron na pierwszej powłoce. E1=-13,6 eV taką energię trzeba dostarczyć ,aby oderwać elektron z 1 orbity (zjonizować atom wodoru w stanie podstawowym). 2 me4 Z 1 En=- �" (IV.5.12) śą źą 2'2 n2 Rys.IV.7. Przejście między stanami E E . 2 1 9 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Rys.IV.8. Drabina poziomów energetycznych. Znając energię dowolnego poziomu energetycznego, możemy wyznaczyć częstość f: E2-E1 me4 Z2 1 1 f = = - (IV.5.13) 21 h śą źą 4Ćą '3 n2 n2 1 2 Wprowadzamy liczbę falową k daną wzorem (IV.2.2a): 1 f k= = (IV.5.14) c Po podstawieniu częstości danej wzorem (IV.5.13) do wzoru (IV.5.14) otrzymujemy: 1 1 2 k= R " Z - (IV.5.15) śą źą n2 n2 1 2 df me4 R "= 4Ćą !3c Po wstawieniu wartości liczbowych można wyliczyć, że: R "=109737,312śą8źą cm-1 Wzór (IV.5.15) określa położenie dowolnej linii. Dla Z=1 jest on zgodny ze wzorem Rytberga. 10 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. RH=109677,58 cm-1 R "C"RH śąą 0,05%źą Teoria Bohra jest w stanie wyjaśnić położenie linii w tych wszystkich 6 seriach widmowych wodoru. Potwierdziła bardzo dokładnie położenie linii widmowych w znanych 3 seriach oraz przewidziała istnienie 3 kolejnych. Każda seria odpowiada przejściu elektronu z dowolnej powłoki n = (n + n) na powłokę n . 2 1 1 IV.6. POPRAWKA NA SKOCCZON MAS JDRA, M`" " W rzeczywistości, w atomie wodoropodobnym, oba ciała jądro i elektron poruszają się wokół środka masy CM. Rys.IV.9. Schematyczne przedstawienie środka masy w układzie jądro elektron (nie w skali). Masa jądra atomowego M jest skończona i wynosi niecałe 200 m , im lżejsze jądro atomowe tym większe przesunięcie e środka ciężkości CM w stronę elektronu. M masa elektronu, r odległość elektronu od jądra atomowego, x odległość środka ciężkości atomu od środka jądra atomowego. Można pokazać, że kręt elektronu w takim przypadku (tzn. gdy masa elektronu jest skończona) wynosi: mM 1 L= �"r2�"�ą= mr2�ą "ąmr2�ą m�ąM m (IV.6.1) 1�ą śą źą M A zatem możemy stosować wszystkie wyprowadzone wcześniej wzory, tyle ze za masę wstawiamy tzw. masę zredukowaną ź. 11 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. df mM �ą= (IV.6.2) m�ąM Uwzględniając to, że jądro ma skończoną masę, wzór Rydberga ma poniższą postać: 1 1 2 k= RM Z - (IV.6.3) 2 śą źą n1 n2 2 e4 RM =�ą (IV.6.4) 4 Ćąe !3 R stała Rytberga dla atomów ze skończoną wartością masy jądra. M IV.7. DOŚWIADCZENIE FRANCKA- HERTZA (1914) Eksperymentalne potwierdzenie punktu IV.6. Doświadczenie Francka Hertza dotyczy zderzania się elektronów z dowolnymi atomami metali (np. rtęci). Jeżeli poszczególne poziomy energetyczne w atomie są skwantowane, to poziomy całego atomu powinny być skwantowane (suma). Rys.IV.10. Ilustracja doświadczenia Francka Hertza. Bańka została wypełniona atomami Hg. S siatka (aby elektrony z katody K mogły przelecieć do anody A) służąca jako dodatkowa elektroda. Pomiędzy siatką 12 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. S a anodą A potencjał hamujący V'. Rys.IV.11. Wykres niebieski jeżeli stany atomów są skwantowane możliwe jest tylko pokazanie odpowiedniej dawki energii (ukazuje jak zmieniałoby się natężenie gdyby w bańce była próżnia i elektrony nie zderzały się z atomami Hg, lub też gdyby te zderzenia były sprężyste). Wykres czerwony ilustruje rzeczywisty przebieg zależności (przy zderzeniach niesprężystych część energii jest przekazywana przez elektrony atomom rtęci.) Ek `" " E10 Ek=eV " Ek= " E10 eV =" E20 eV =" E10 2 1 V =4,9 eV 1 Rys.IV.12. Schemat poziomów energetycznych układu skwantowanego. W charakterystyce i V obserwujemy skoki (piki) związane ze wzbudzeniem atomów Hg do coraz wyższych potencjałów energetycznych doświadczenie pokazuje w sposób jakościowy oraz ilościowy (można wyliczyć), że atom jest układem skwantowanym Przy napięciu V wzbudzenie do E , przy V wzbudzenie do E 1 1 2 2. 13 K.Czopek, M.Zazulak Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. śąV =4,9 eV źą , Jeżeli znamy napięcie pierwszego piku to możemy obliczyć częstość f : 1 1 eV 1 eV =hf f = 1 1 1 h c f = A ponieważ 1 �ą1 , to możemy obliczyć długość fali 1: hc �ą1= eV 1 �ą1=2530 � śąUV źą Z teorii dostajemy FH Z doświadczenia Francka Hertza �ą1 =2537 � "�ą H"0,3% A zatem �ą Doświadczenie to potwierdza słuszność teorii Bohra. 14