Egzamin poprawkowy z matematyki, I r. WBWiIÅš, r. 2002/2003 I. Cz¸Å›Ä‡ zadaniowa e 1. Wyznaczyć wartoÅ›ci parametrów k i m, tak aby funkcjaf(x) by ciag gdzie la ¸ la, Å„Å‚ 4 - x2 Ä„ ôÅ‚ " ôÅ‚ m + dla x < -2 ôÅ‚ ôÅ‚ 4 òÅ‚ x + 6 - 2 x(x + 1) f(x) = + arctg k dla -2 d" x d" 0 ôÅ‚ 2 ôÅ‚ ôÅ‚ ôÅ‚ ół 1 arcctg (Ä„ + ln x) dla x > 0 4 " 2. Wyznaczyć wartość parametru a, a > 0, tak aby funkcja g(x) = ax - x2 spe la równanie różniczkowe (g(x))3 · g (x) + 1 = 0 Dla znalezionego a lnia wyznaczyć wartość najmniejsz¸ i najwi¸ a funkcji g(x) w ca jej dziedzinie. a eksz¸ lej 3. Obliczyć ca lki ln x dx dx a) b) 1 + ex/2 + ex/3 + ex/6 (1 + x2)3/2 4. Obliczyć obj¸ bry powsta przez obrót krzywej etość ly lej Å„Å‚ ôÅ‚ 0, x < -2 òÅ‚ h(x) = 2 - |x|, -2 d" x d" 1 ôÅ‚ ół 21-x, x > 1 dooko jej asymptoty poziomej. Wykonać rysunek otrzymanej bry la ly. 5. W zależnoÅ›ci od parametru rozwiazać uk równaÅ„ ¸ lad Å„Å‚ ôÅ‚ x + 6y - z = 1 ôÅ‚ ôÅ‚ òÅ‚ 2x + 3z = 2 ôÅ‚ 3x + 6y + 5z = 5 ôÅ‚ ôÅ‚ ół 5x + y + 5z = 5 6. a) Rozwiazać równanie z2 - 3z + 3 + i = 0 w zbiorze liczb zespolonych. ¸ x y + 1 z - 1 b) Obliczyć odleg punktu P (Re(z1+z2), 1, 0) od prostej = = , lość 1 -2 -1 gdzie z1 i z2 oznaczaja pierwiastki równania otrzymane w punkcie a). ¸ II. Cz¸Å›Ä‡ teoretyczna e T.1 Podać definicj¸ pochodnej w e e e laÅ›ciwej funkcji w punkcie. W oparciu o t¸ definicj¸ 1 wyprowadzić wzór na pochodn¸ funkcji f(x) = . Sformu twierdzenie a lować cos x o pochodnej funkcji z lożonej. T.2 Podać definicj¸ funkcji pierwotnej. Podać trzy dowolne przyk funkcji pier- e lady wotnych dla funkcji g(x) = sin 2x. Sformu twierdzenie o ca lować lkowaniu przez cz¸Å›ci dla ca oznaczonych. e lek T.3 Podać definicj¸ i w (min. 3) iloczynu skalarnego wektorów. Sformu e lasnoÅ›ci lować warunek prostopad i równoleg wektorów w I Obliczyć iloczyn loÅ›ci loÅ›ci R3. skalarny wektorów a = -2 i + 3 k i b = 2 j - k.