Centralna Komisja Egzaminacyjna
EGZAMIN MATURALNY 2013
MATEMATYKA
POZIOM PODSTAWOWY
Kryteria oceniania odpowiedzi
MAJ 2013
2 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zadanie 1. (0 1)
Poprawna
odpowiedz
(1 p.)
Obszar standardów Opis wymagań
Wersja Wersja
arkusza arkusza
A B
Wykorzystanie Wykorzystanie pojęcia wartości
i interpretowanie reprezentacji bezwzględnej i jej interpretacji
geometrycznej do wskazania zbioru
A D
rozwiązań nierówności typu x - a < b
(II.1.f)
Zadanie 2. (0 1)
Modelowanie matematyczne Zastosowanie pojęcia procentu (III.1.d) B C
Zadanie 3. (0 1)
Wykonanie obliczeń z zastosowaniem
Wykorzystanie i tworzenie
wzorów na logarytm iloczynu, logarytm
informacji
B C
ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku
naturalnym (I.1.h)
Zadanie 4. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Rozwiązanie układu równań liniowych
C A
informacji (I.3.c)
Zadanie 5. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie interpretacji
i interpretowanie reprezentacji współczynników we wzorze funkcji D A
liniowej (II.4.g)
Zadanie 6. (0 1)
Wykorzystanie Odczytanie ze wzoru funkcji kwadratowej
i interpretowanie reprezentacji współrzędnych wierzchołka paraboli D C
(II.4.b)
Zadanie 7. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Posługiwanie się wzorami skróconego
C B
informacji mnożenia (I.2.a)
Egzamin maturalny z matematyki 3
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zadanie 8. (0 1)
Wykorzystanie Badanie prostopadłości prostych na
i interpretowanie reprezentacji podstawie ich równań kierunkowych D A
(II.8.c)
Zadanie 9. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie współczynników we
i interpretowanie reprezentacji wzorze funkcji liniowej do określenia
A C
położenia prostej w układzie
współrzędnych (II.4.g)
Zadanie 10. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Rozwiązanie nierówności liniowej
informacji i wskazanie najmniejszej liczby B C
spełniającej tę nierówność (I.3)
Zadanie 11. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Wykorzystanie wykresu funkcji
informacji
y = f x do wskazania wykresu funkcji
( )
C A
typu y = f x + a , y = f x - a ,
( ) ( )
y =- f x , y = f -x (I.4.d)
( ) ( )
Zadanie 12. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie własności ciągu
C B
i interpretowanie reprezentacji geometrycznego (II.5.c)
Zadanie 13. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie własności ciągu
B C
i interpretowanie reprezentacji arytmetycznego (II.5.c)
Zadanie 14. (0 1)
Wykorzystanie Zastosowanie prostych związków między
i interpretowanie reprezentacji funkcjami trygonometrycznymi kąta
A D
ostrego do obliczenia wartości wyrażenia
(II.6.c)
Zadanie 15. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Wykorzystanie związków między kątem
A D
informacji wpisanym i środkowym (I.7.a)
Zadanie 16. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Rozwiązanie równania wielomianowego
C B
informacji (I.3.d)
4 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zadanie 17. (0 1)
Wykorzystanie Obliczanie odległości punktów na
D B
i interpretowanie reprezentacji płaszczyznie i obwodu rombu (II.8.e)
Zadanie 18. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie współrzędnych środka
i interpretowanie reprezentacji odcinka do wyznaczenia jednego z C D
końców tego odcinka (II.8.f)
Zadanie 19. (0 1)
Wykorzystanie Posługiwanie się równaniem okręgu
22
A C
i interpretowanie reprezentacji
x - a + y - b = r2 (II.8.g)
( ) ( )
Zadanie 20. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Wyznaczanie związków miarowych
B C
informacji w wielościanie (I.9.b)
Zadanie 21. (0 1)
Wykorzystanie Wyznaczanie związków miarowych
C B
i interpretowanie reprezentacji w bryłach obrotowych (II.9.b)
Zadanie 22. (0 1)
Modelowanie matematyczne Stosuje twierdzenie znane jako klasyczna
definicja prawdopodobieństwa do
B C
obliczania prawdopodobieństw zdarzeń
(III.10.d)
Zadanie 23. (0 1)
Wykorzystanie i tworzenie Wykonywanie obliczeń na liczbach
informacji rzeczywistych, w tym obliczeń na B C
pierwiastkach (I.1.a)
Zadanie 24. (0 1)
Wykorzystanie Obliczanie mediany uporządkowanego
D A
i interpretowanie reprezentacji zestawu danych (II.10.a)
Zadanie 25. (0 1)
Wykorzystanie Wykorzystanie związków miarowych w
i interpretowanie reprezentacji graniastosłupie do obliczenia jego B C
objętości (II.9.b)
Egzamin maturalny z matematyki 5
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Schemat oceniania do zadań otwartych
Zadanie 26. (0 2)
Rozwiąż równanie x3 + 2x2 -8x -16 = 0 .
Wykorzystanie Rozwiązanie równania wielomianowego metodą rozkładu
i interpretowanie na czynniki (II.3.d)
reprezentacji
I sposób rozwiązania (metoda grupowania)
Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu stosując metodę grupowania
wyrazów:
x x2 - 8 + 2 x2 - 8 = 0 lub x2 x + 2 -8 x + 2 = 0
( ) ( )
( ) ( )
x + 2 x2 - 8 = 0 .
( )
( )
Stąd x =-2 lub x =- 8 =-2 2 lub x = 8 = 2 2 .
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: x + 2 x2 - 8 ,
( )
( )
x + 2 x - 8 x + 8 , przy czym postać ta musi być otrzymana w sposób poprawny i na
( )
( )( )
tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x = -2, x = - 8 , x = 8 .
II sposób rozwiązania (metoda dzielenia)
Stwierdzamy, że liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu x3 + 2x2 - 8x -16 . Dzielimy
wielomian x3 + 2x2 - 8x -16 przez dwumian x + 2 . Otrzymujemy iloraz x2 - 8 .
( )
( )
Zapisujemy równanie w postaci x + 2 x2 - 8 = 0 . Stąd x + 2 x + 8 x - 8 = 0
( ) ( )
( )
( )( )
i x =-2 lub x =- 8 =-2 2 lub x = 8 = 2 2 .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy podzieli wielomian x3 + 2x2 - 8x -16 przez dwumian x + 2 , otrzyma iloraz x2 - 8
( )
( )
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje ..............................................................................................................2 pkt
gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x =-2, x =- 8, x = 8 .
6 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zadanie 27. (0 2)
3
Kąt a jest ostry i sina = . Oblicz wartość wyrażenia sin2 a - 3cos2 a .
2
Wykorzystanie Zastosowanie prostych związków między funkcjami
i interpretowanie trygonometrycznymi kąta ostrego do obliczenia wartości
reprezentacji wyrażenia (II.6.c)
I sposób rozwiązania (wykorzystanie znanych wartości funkcji trygonometrycznych)
3 1
Ponieważ a jest ostry i sina = , więc a = 60. Zatem cosa = cos 60 = .
2 2
2
2
ć
31
Stąd sin2 a - 3cos2 a = - 3ć = 0 .
22
Ł ł
Ł ł
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
1
gdy zapisze wartość cosinusa kąta a : cosa = i na tym poprzestanie lub dalej popełni
2
błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy, że sin2 a - 3cos2 a = 0 .
II sposób rozwiązania (wykorzystanie związków między funkcjami trygonometrycznymi)
2
ć
3 3
Obliczamy sin2 a == , następnie korzystając z tożsamości sin2 a + cos2 a = 1
2 4
Ł ł
1
obliczamy cos2 a = , stąd sin2 a - 3cos2 a = 0
4
albo
korzystając z tożsamości sin2 a + cos2 a = 1, przekształcamy wyrażenie sin2 a - 3cos2 a
do postaci 4sin2 a - 3 , a następnie obliczamy jego wartość: 4sin2 a - 3 = 0 .
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
1
obliczy cos2 a =
4
albo
zapisze wyrażenie w postaci sin2 a - 3 1- sin2 a
( )
i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy, że sin2 a - 3cos2 a = 0 .
Egzamin maturalny z matematyki 7
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
III sposób rozwiązania (trójkąt prostokątny)
2x
x 3
a
b
2
2
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy b2 = 2x - 3x , więc b = x .
( )
( )
2
2
ć
x 1 31
Stąd cosa = = , więc sin2 a - 3cos2 a = - 3ć = 0 .
2x 2 22
Ł ł
Ł ł
Schemat oceniania III sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
narysuje trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości 3 i przeciwprostokątnej
długości 2 (lub ich wielokrotności), obliczy długość drugiej przyprostokątnej, zaznaczy
w tym trójkącie poprawnie kąt, obliczy cosinus tego kąta i na tym zakończy lub dalej
popełnia błędy
albo
obliczy długość przyprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnej długości 3
i przeciwprostokątnej długości 2 (lub ich wielokrotności) z błędem rachunkowym,
obliczy cosinus tego kąta cosa (o ile otrzymana wartość jest dodatnia i mniejsza od 1)
i konsekwentnie obliczy wartość wyrażenia sin2 a - 3cos2 a .
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy obliczy wartość sin2 a - 3cos2 a = 0 .
Zadania 28. (0 2)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x + y + z = 0, prawdziwa
jest nierówność xy + yz + zx Ł 0 .
Możesz skorzystać z tożsamości x + y + z = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz.
()2
Uzasadnienie prawdziwości nierówności algebraicznej
Rozumowanie i argumentacja
(V.2.b)
I sposób rozwiązania
Podnosimy obie strony równości x + y + z = 0 do kwadratu i otrzymujemy równość
równoważną
x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 0 .
Stąd
8 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
1
2
xy + xz + yz = - + y2 + z2
(x ).
2
1
Ponieważ suma kwadratów liczb x, y, z jest nieujemna, więc - x2 + y2 + z2 Ł 0 , czyli
( )
2
xy + yz + zx Ł 0 , co kończy dowód.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy podniesie obie strony równości x + y + z = 0 do kwadratu i zapisze np.
1 1 1
xy + xz + yz = - x2 - y2 - z2 lub 2xy + 2xz + 2yz = -x2 - y2 - z2
2 2 2
1 1 1
i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia - x2 - y2 - z2 lub
2 2 2
-x2 - y2 - z2.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełny dowód.
II sposób rozwiązania
Z równości x + y + z = 0 wyznaczamy jedną z liczb, np. z = -x - y . Wtedy otrzymujemy
xy + xz + yz = xy + x -x - y + y -x - y = xy - x2 - xy - xy - y2 =
( ) ( )
=-x2 - xy - y2 =- x2 + xy + y2 .
( )
Wyrażenie x2 + xy + y2 traktujemy jak trójmian kwadratowy zmiennej x. Wówczas jego
wyróżnik jest równy D= y2 - 41 y2 =-3y2 Ł 0 . To, wraz z dodatnim znakiem
współczynnika przy x2 , oznacza, że trójmian przyjmuje jedynie wartości nieujemne, czyli
x2 + xy + y2 ł 0. Stąd xy + xz + yz = - x2 + xy + y2 Ł 0 .
( )
2
1 3
Możemy również zauważyć, że x2 + xy + y2 = x + y + y2 . Jest to suma dwóch liczb
( )
2 4
nieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd xy + xz + yz = - x2 + xy + y2 Ł 0 .
( )
1 1
Możemy również zauważyć, że x2 + xy + y2 = x2 + x + y + y2 . Jest to suma trzech
( )2 1
2 2 2
liczb nieujemnych, a więc jest nieujemna. Stąd xy + xz + yz = - x2 + xy + y2 Ł 0 .
( )
To kończy dowód.
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy wyznaczy z równości x + y + z = 0 jedną z liczb i zapisze wyrażenie xy + xz + yz
w zależności od dwóch zmiennych, np. zmiennych x i y: xy + xz + yz = -x2 - xy - y2
i na tym dowód zakończy nie uzasadniając znaku wyrażenia -x2 - xy - y2 .
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy przeprowadzi pełny dowód.
Egzamin maturalny z matematyki 9
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zadania 29. (0 2)
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f x określonej dla x -7,8 .
( )
y
8
7
6
5
4
3
2
1
x
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Odczytaj z wykresu i zapisz:
a) największą wartość funkcji f,
b) zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Wykorzystanie Odczytywanie z wykresu funkcji zbioru jej wartości oraz
i interpretowanie przedziałów w których funkcja przyjmuje wartości ujemne
reprezentacji (II.4.b)
Rozwiązanie
Odczytujemy z wykresu największą wartość funkcji f . Jest ona równa 7.
Podajemy zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości
ujemne: -3,5 .
( )
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy:
poda największą wartość funkcji: 7 i nie poda zbioru tych wszystkich argumentów, dla
których funkcja f przyjmuje wartości ujemne
albo
poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości
ujemne: -3,5 i nie poda największej wartości funkcji f.
( )
Uwaga
Akceptujemy zapisy: x -3,5 lub -3 < x < 5 lub x >-3 i x < 5
( )
lub x >-3 , x < 5 .
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy poda największą wartość funkcji oraz poda zbiór tych wszystkich argumentów, dla
których funkcja f przyjmuje wartości ujemne: 7, -3,5 .
( )
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
W rozwiązaniu podpunktu b) akceptujemy zapisy: x 5, -3 , x 3,5 , x 3, -5 .
( ) ( ) ( )
10 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zadania 30. (0 2)
Rozwiąż nierówność 2x2 - 7x + 5 ł 0 .
Wykorzystanie
i interpretowanie Rozwiązanie nierówności kwadratowej (II.3.a)
reprezentacji
Rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap rozwiązania:
Znajdujemy pierwiastki trójmianu kwadratowego 2x2 - 7x + 5
obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
7 - 3 7 + 3 5
D = 49 - 425 = 9 i stąd x1 = =1 oraz x2 = =
4 4 2
albo
stosujemy wzory ViŁte a:
5 7 5
x1 x2 = oraz x1 + x2 = , stąd x1 =1 oraz x2 =
2 2 2
albo
podajemy je bezpośrednio, np. zapisując pierwiastki trójmianu lub postać iloczynową
trójmianu lub zaznaczając je na wykresie
1 5
x1 =1, x2 = 2 lub 2(x -1)ć x -
2 2
Ł ł
Drugi etap rozwiązania:
y
5
4
3
2
1
5
__
-1 1 2 3 4
0
x
2
-1
5 5
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: -Ą,1 , +Ą lub x -Ą,1 , +Ą lub (
) )
( (
2 2
5
x Ł1 lub x ł ).
2
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje ............................................................................................................1 pkt
gdy:
zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
Egzamin maturalny z matematyki 11
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
5
obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego x1 =1, x2 = i na tym
2
poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f (x) = 2x2 - 7x + 5
i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności,
10 4
ć
rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. 2ć x - x - i na
4 4
Ł łŁ ł
tym poprzestanie lub błędnie rozwiąże nierówność,
7 3
zapisze nierówność x - ł i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór
4 4
rozwiązań nierówności,
albo
realizując pierwszy etap popełni błąd (ale otrzyma dwa różne pierwiastki)
i konsekwentnie do tego rozwiąże nierówność, np.
popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków
trójmianu kwadratowego i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże
nierówność,
5
błędnie zapisze równania wynikające ze wzorów ViŁte a, np.: x1 x2 = - oraz
2
7
x1 + x2 = i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność,
2
7 3
błędnie zapisze nierówność, np. x + ł i konsekwentnie do popełnionego
4 4
błędu rozwiąże nierówność.
Zdający otrzymuje ............................................................................................................2 pkt
gdy:
5
poda zbiór rozwiązań nierówności: -Ą,1 , +Ą lub
)
(
2
5
5
x -Ą,1 , +Ą lub ( x Ł1 lub x ł ),
)
(
2
2
albo
sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór
5
rozwiązań nierówności w postaci: x Ł1, x ł
2
albo
poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie
zaznaczonymi końcami przedziałów
x
5
1
2
12 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
5
1. Akceptujemy sytuację, gdy zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu x1 =1, x2 =
2
2
i zapisze, np. x -Ą, -1 , +Ą , popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu
)
(
5
jednego z pierwiastków, to za takie rozwiązanie otrzymuje 2 punkty.
2. Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań
5
nierówności w postaci x -Ą, 1, +Ą , to otrzymuje 2 punkty.
)
(
2
Zadania 31. (0 2)
Wykaż, że liczba 6100 - 2 699 +10 698 jest podzielna przez 17.
Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego (V.1.g)
Rozwiązanie
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias 698 (62 - 26 +10). Doprowadzamy do postaci
698 2 17 .
Schemat oceniania rozwiązania
Zdający otrzymuje .............................................................................................................1 pkt
gdy zapisze liczbę 6100 - 2 699 +10 698 w postaci iloczynu, w którym jeden z czynników jest
potęgą 6k , gdzie 80 Ł k Ł 98 , np. 698 62 - 26 +10 i na tym poprzestanie lub dalej popełnia
( )
błędy.
Zdający otrzymuje .............................................................................................................2 pkt
gdy zapisze liczbę w postaci, w której widać podzielność przez 17 albo przeprowadzi
rozumowanie uzasadniające podzielność przez 17.
Zadania 32. (0 4)
Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy
większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.
C
S
A B
Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w figurach płaskich
(IV.7.c)
Egzamin maturalny z matematyki 13
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
I sposób rozwiązania
Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży
wewnątrz tego trójkąta. Niech a oznacza miarę kąta BAS. Wówczas
SCBS = 2a i SACS = 3a .
C
3a
S
2a
a
B
A
Każdy z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równoramienny, więc
SABS = SBAS = a , SBCS = SCBS = 2a , SCAS = SACS = 3a .
Miary kątów trójkąta ABC są więc równe
SBAC = 4a , SCBA = 3a , SACB = 5a .
Suma miar kątów trójkąta jest równa 180 , zatem
4a + 3a + 5a =180 ,
12a =180 ,
a =15 .
Więc SBAC = 4a = 415 = 60 , SCBA = 3a = 315 = 45 , SACB = 5a = 515 = 75.
Schemat oceniania I sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.: SBAS = a ,
SCBS = 2a i SACS = 3a
albo
wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są
równoramienne, np.: SABS = SBAS , SBCS = SCBS , SCAS = SACS .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt
Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.: SBAS = a ,
SCBS = 2a i SACS = 3a
oraz
wykorzystanie faktu, że co najmniej dwa spośród trójkątów ABS, BCS i CAS są
równoramienne, np.: SABS = SBAS , SBCS = SCBS , SCAS = SACS .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .....................................................................3 pkt
14 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Zapisanie równania z jedną niewiadomą pozwalającego obliczyć miary kątów trójkąta
ABC, np.: 4a + 3a + 5a =180 .
Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt
Obliczenie miar kątów trójkąta ABC: SBAC = 60 , SCBA = 45 , SACB = 75 .
II sposób rozwiązania
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
C
g
z
S
b
x
y
a
B
A
Ponieważ trójkąt ABC jest ostrokątny, więc środek okręgu opisanego na tym trójkącie leży
wewnątrz tego trójkąta.
Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym otrzymujemy
SASB = 2g + 2z , SBSC = 2a + 2x , SCSA = 2b + 2y .
Suma kątów w każdym z trójkątów ABS, BCS i CAS jest równa 180 , więc otrzymujemy
układ równań
a + y + 2g + 2z =180 i b + z + 2a + 2x =180 i g + x + 2b + 2y =180 .
() ( ) ( )
Ponieważ b = 2a i g = 3a , więc układ możemy zapisać w postaci
a + y + 6a + 2z =180 i 2a + z + 2a + 2x =180 i 3a + x + 4a + 2y =180,
() ( ) ( )
7a + y + 2z = 180 i 4a + 2x + z =180 i 7a + x + 2 y = 180 .
Mnożąc strony pierwszego równania przez -2 , drugiego przez 4 otrzymujemy
-14a - 2y - 4z = -360 i 16a + 8x + 4z = 720 i 7a + x + 2 y = 180 .
Dodając stronami otrzymujemy
9a + 9x = 540 ,
a + x = 60 ,
czyli SABC = 60 . Zatem SBSC =120 .
180-120
Trójkąt BSC jest równoramienny, więc SSBC = SSCB == 30 , zatem
2
2a = 30, czyli a =15 . Stąd SCBA = 45 , SACB = 75 .
Egzamin maturalny z matematyki 15
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Schemat oceniania II sposobu rozwiązania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt
Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.: SBAS = a ,
SCBS = 2a i SACS = 3a
albo
wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC i ASC oraz odpowiednimi
kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań, np.:
a + y + 2g + 2z =180 i b + z + 2a + 2x =180 i g + x + 2b + 2y =180 ,
() ( ) ( )
gdzie x = SCAS , y = SABS , z = SBCS , b = SCBS , g = SACS .
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ...................................................................... 2 pkt
Zapisanie miar kątów BAS, ACS i CBS w zależności od jednej zmiennej, np.: SBAS = a ,
SCBS = 2a i SACS = 3a
oraz
wykorzystanie zależności między kątami środkowymi ASB, BSC, ASC oraz odpowiednimi
kątami wpisanymi i zapisanie układu co najmniej trzech równań z czterema
niewiadomymi, np.:
a + y + 6a + 2z =180 i 2a + z + 4a + 2y =180 i 3a + x + 4a + 2y =180.
() ( ) ( )
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .....................................................................3 pkt
Obliczenie miary kąta CAB: a + x = 60 .
Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt
Obliczenie miar kątów trójkąta ABC: SBAC = 60 , SCBA = 45 , SACB = 75 .
Zadanie 33. (0 4)
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm2, a jego
pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm2. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach.
(IV.9.b)
16 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
S
h
H
D
C
E
O
A a
B
Pole podstawy ostrosłupa jest równe 100, więc a2 = 100 . Stąd a =10 .
1
Pole powierzchni bocznej jest równe 260, więc 4 ah = 260 . Stąd i z poprzedniego wyniku
2
210h = 260 , więc h =13.
Ponieważ trójkąt EOS jest prostokątny, więc
2
2
1
a + H = h2 ,
( )
2
2
52 + H = 132 ,
2
H =144 ,
H = 12 .
Objętość ostrosłupa jest zatem równa
11
V = PpH = 10012 = 400 .
33
Odpowiedz: Objętość ostrosłupa jest równa 400 cm3.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego
rozwiązania ......................................................................................................................... 1 pkt
Zdający obliczy długość krawędzi podstawy ostrosłupa: a =10 .
Pokonanie zasadniczych trudności zadania ....................................................................3 pkt
Zdający obliczy wysokość ostrosłupa: H = 12 .
Uwaga
Jeżeli zdający obliczy wysokość ściany bocznej h =13 i nie traktuje jej jako wysokości
ostrosłupa i na tym zakończy, to otrzymuje 2 punkty. Jeżeli natomiast przyjmuje, że
obliczona wysokość ściany bocznej jest wysokością ostrosłupa, to otrzymuje co najwyżej
1 punkt za całe rozwiązanie.
Rozwiązanie pełne ..............................................................................................................4 pkt
Zdający obliczy objętość ostrosłupa: V = 400 cm3.
Uwagi
1. Nie zwracamy uwagi na jednostki (zdający może je pominąć).
2. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem
powierzchni całkowitej, to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
Egzamin maturalny z matematyki 17
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
3. Jeżeli zdający przyjmie, że pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest polem jednej
ściany bocznej i konsekwentnie do tego błędu obliczy objętość ostrosłupa, to może
otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Zadanie 34. (0 5)
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę
w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej
trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią
prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Modelowanie matematyczne Rozwiązanie zadania, umieszczonego w kontekście
praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego
(III.3.b)
Rozwiązanie
Niech v oznacza średnią prędkość (w km / h ) pierwszego pociągu na tej trasie, t - czas
przejazdu (w godzinach) pierwszego pociągu na tej trasie. Wtedy v -9 oznacza średnią
2
prędkość drugiego pociągu na tej trasie, t + - czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie.
3
Zapisujemy układ równań
v t = 336
.
v - 9 + = 336
( )ć 2
t 3
Ł ł
336
Z pierwszego równania wyznaczamy t = i podstawiamy do równania drugiego.
v
Otrzymujemy równanie z niewiadomą v , które przekształcamy równoważnie
v - 9 + = 336 ,
( )ć 336 2
v 3
Łł
2 9336
v - - 6 = 0 ,
3 v
2
v2 - 6v - 9336 = 0 (lub 2v2 -18v - 9072 = 0 lub v2 - 9v - 4536 = 0 ).
3
Równanie to ma dwa rozwiązania
v1 = 72 , v2 = -63 < 0 .
Drugie z tych rozwiązań odrzucamy (prędkość nie może być ujemna).
Gdy v = 72 , to wtedy v -9 = 63 .
Odpowiedz: Średnia prędkość pierwszego pociągu jest równa 72 km / h , średnia prędkość
drugiego pociągu równa się 63 km / h .
18 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
Schemat oceniania
W poniżej zamieszczonym schemacie używamy niewiadomych v, t oznaczających
odpowiednio, prędkość i czas. Oczywiście w pracach maturalnych te niewiadome mogą być
oznaczane w inny sposób. Nie wymagamy, aby te niewiadome były wyraznie opisane na
początku rozwiązania, o ile z postaci równań jasno wynika ich znaczenie.
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania ................................................................................1 pkt
Zdający zapisze równanie, w którym co najmniej jedna z wielkości (prędkość, czas) jest
uzależniona od przyjętej niewiadomej, np.:
v - 9 + = 336 albo v + 9 - = 336 .
( )ć 2 ( )ć 2
t 3 t 3
Ł ł Ł ł
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp .....................................................................2 pkt
Zdający zapisze układ równań z niewiadomymi v i t , np.:
v t = 336 i v - 9 + = 336 albo v t = 336 i v + 9 - = 336 .
( )ć 2 ( )ć 2
t 3 t 3
Ł ł Ł ł
Pokonanie zasadniczych trudności zadania .....................................................................3 pkt
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą v lub t.
336 2
v - 9 + = 336 albo ć - 9ćt + = 336
( )ć 336 2
v 3 t 3
Łł ŁłŁ ł
336 2
albo v + 9 - = 336 albo ć + 9ćt - = 336 .
( )ć 336 2
v 3 t 3
Łł ŁłŁ ł
Uwaga
Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną
niewiadomą.
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania (np. drobne błędy rachunkowe lub wadliwe przepisanie) .......................4 pkt
zdający rozwiąże równanie z niewiadomą v lub t z błędem rachunkowym i konsekwentne
do popełnionego błędu zapisze prędkości obu pociągów
albo
zdający rozwiąże równanie kwadratowe i zapisze prędkość tylko jednego pociągu.
Rozwiązanie pełne .............................................................................................................5 pkt
Zdający obliczy średnie prędkości obu pociągów: średnia prędkość pierwszego pociągu
równa się 72 km / h , średnia prędkość drugiego pociągu równa się 63 km / h .
Uwagi
1. Oceniamy na 0 punktów rozwiązania, w których ułożone równania zawierają niezgodność
typu wielkości po obu stronach: po jednej stronie prędkość, po drugiej czas lub
niezgodność jednostek: prędkość w kilometrach na godzinę, czas w minutach, o ile nie są
zapisane jednostki.
2. Jeżeli zdający oznaczy średnią prędkość pierwszego pociągu przez v (w km / h ),
a przez t czas przejazdu pierwszego pociągu na tej trasie, a potem zapisze, że prędkość
średnia drugiego pociągu jest równa v + 9 i czas przejazdu drugiego pociągu na tej trasie
Egzamin maturalny z matematyki 19
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
2 2
jest równy t - , a następnie zapisze układ równań v t = 336 i v + 9 ćt - = 336
( )
3 3
Ł ł
i doprowadzi go do równania z jedną niewiadomą, to otrzymuje 1 punkt. Jeśli rozwiąże
to równanie, to otrzymuje 2 punkty, a jeśli doprowadzi rozwiązanie zadania do końca
konsekwentnie do ułożonego układu równań lub przyjętych oznaczeń, to otrzymuje
3 punkty (otrzymując odpowiednio v = 63 i v + 9 = 72 albo v = 63 i v -9 = 54 ).
Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Przykład 1.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy
pociąg
336
v - 9 =
2
t +
3
336 = v t
2
( )
336 = v - 9 t + 3
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym
jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie
2 336
ujął wyrażenia t + w nawias. Zapis równania v - 9 = wskazuje na poprawną
2
3
t +
3
interpretację zależności między wielkościami.
Przykład 2.
Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie:
v - prędkość pierwszego pociągu, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez pierwszy
pociąg
336
v =
t
336 363 336
v - 9 = - 9 =
336
2
v - 9 = 2 tt +
t +
3 t +
3
i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych
363 336
trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu - 9 = zdający
tt +
2
przestawił cyfry w zapisie liczby 336 i pominął liczbę w mianowniku ułamka.
3
Przykład 3.
Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. v2 + 9v - 4536 = 0 zamiast równania
v2 - 9v - 4536 = 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak
rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik,
20 Egzamin maturalny z matematyki
Kryteria oceniania odpowiedzi - poziom podstawowy
który może być realną prędkością jednego z pociągów, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do
kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2013 podstODPFilozofia religii cwiczenia dokladne notatki z zajec (2012 2013) [od Agi]W 4 zadanie wartswa 2013Zagadnienia z fizyki Technologia Chemiczna PolSl 2013klucze office 2013Przechowalnictwo pytania 2013 1Podstawy diagnozowania pedagogicznego Pedagogika S 2012 2013test zawodowy probny 2013 14TEST 2013 2014 Wojewodzki Konkurs Fizyczny etap rejonowywyklad 7 zap i, 11 20134 Sieci komputerowe 04 11 05 2013 [tryb zgodności]2013 10 05 angielski (czasy Present S i Present C)więcej podobnych podstron