Rachunek zdań

Zdaniem nazywamy w logice każdą wypowiedź prawdziwą lub fałszywą, i tylko takie wypowiedzi. Prawdziwość lub fałszywość przysługuje tylko zdaniom oznajmującym.( jednak nie każde zdanie oznajmujące jest zdaniem w sensie logicznym)

Prawdziwościowym spójnikiem zdaniowym nazywamy wyrażenie, które łącząc dwa zdania, albo łącząc się z jednym zdaniem, tworzy zdanie złożone, którego wartość logiczna zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych.

Można określić cztery różne jednoargumentowe funktory zdaniotwórcze i szesnaście funktorów dwuargumentowych.

Będziemy jednak posługiwać się tylko niektórymi z nich:

alternatywy ( lub ) ( ლ )

koniunkcji ( i ) ( კ )

implikacji (jeżeli....to....) (პ)

równoważności (wtedy i tylko wtedy, gdy...) (მ)

Zastępując spójniki zdaniowe ich symbolicznymi odpowiednikami, a zdania związane tymi spójnikami zmiennymi zdaniowymi w postaci liter p, q, r...(tak, by na miejscu identycznych zdań znalazły się identyczne litery, a na miejscu rożnych zdań różne litery) otrzymujemy schemat zdania wyrażony w języku rachunku zdań

Przykład:

Schematem logicznym zdania

Jeżeli będzie pogoda to pojadę nad jezioro i popływam łódką.

jest wyrażenie

p პ ( q კ r )

Tabele prawdziwościowe funktorów zdaniotwórczych

alternatywa ლ koniunkcja კ

negacja ~ implikacja პ

równoważność მ

Tautologią rachunku zdań nazywamy każde i tylko takie wyrażenie języka tego rachunku, które jest schematem wyłącznie prawdziwych zdań, tzn. jest zdaniem prawdziwym bez względu na to, jakie wartości logiczne mają zdania składowe. Schemat wyłącznie fałszywych zdań nazywamy kontrtautologią

Oczywiście istnieją też schematy zdań, które nie są ani tautologiami ani kontrtautologiami,

tzn. w zależności od wartości logicznych zdań składowych są schematami albo zdań prawdziwych, albo zdań fałszywych.

Znając strukturę zdania i wartości logiczne zdań prostych, z których jest ono zbudowane, możemy ustalić wartość logiczna całości, korzystając z prostych rachunków.

Rozważmy zdanie:

Jeśli Jaś wystaje codziennie pod oknami Małgosi lub wysyła jej listy na papierze w serduszka, to Małgosia nie jest mu obojętna.

Jego schematem jest formuła:

p ლ q პ ~r

Załóżmy dalej, ze Jaś wystaje pod oknami Małgosi, do listów z serduszkami się co prawda nie posunął, ale od obojętności względem Małgosi jest daleki. Zatem: wartość logiczna zdania, reprezentowanego zmienną p (Jaś wystaje pod oknami Małgosi) wynosi 1; wartość logiczna zdania, reprezentowanego zmienną q (Jaś wysyła Małgosi listy na papierze w serduszka) wynosi 0; wartość logiczna zdania, reprezentowanego zmienną r (Małgosia jest Jasiowi obojętna) wynosi 0. Podstawiając wartości do formuły.

p ლ q პ ~r

otrzymujemy:

1 ლ 0 პ ~0 czyli 1ლ 0 პ 1

A zatem, jeśli Jaś wystaje pod oknami Małgosi, od obojętności względem niej jest daleki, ale do listów z serduszkami się nie posunął, to zdanie ,,Jeśli Jaś wystaje codziennie pod oknami Małgosi lub wysyła jej listy na papierze w serduszka, to Małgosia nie jest mu obojętna'' jest prawdziwe.

A gdyby jednak poszalał z papierem, to czy zdanie to dalej byłoby

prawdziwe? A gdyby dał spokój z wystawaniem? A gdyby . . .?

Zdanie ,,Jeśli Jaś wystaje codziennie pod oknami Małgosi lub wysyła jej listy na papierze w serduszka, to Małgosia nie jest mu obojętna'' zbudowane jest z trzech różnych zdań prostych.

Wartości logiczne trzech różnych zdań prostych mogą poukładać się na 8 sposobów:

p q r

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

O. dowolnym schemacie możemy rozstrzygnąć, czy jest tautologią (bądź kontrtautologią) w skończonej liczbie kroków:

1. Podstawiamy w miejsce zmiennych zdaniowych symbole prawdy i fałszu we wszystkich możliwych kombinacjach (jest ich zawsze 2 ª , gdzie a oznacza liczbę zmiennych).

np. dla dwóch zmiennych p i q musimy rozważyć następujące kombinacje zer i jedynek:

(p=1, q=1), (p=1, q=0), (p=0, q=1),(p=0, q=0)

2. Posługując się matrycami logicznymi znajdujemy wartość wyrażenia dla każdego podstawienia zmiennych

3. Jeżeli dla wszystkich podstawień wartość logiczna wyrażenia wynosi 1 (0) to wyrażenie jest tautologią (kontrtautologią)

Czy formuła

((p Ù q) Ù (q პ r)) პ (~s პ ~(p პ q))

jest tautologią?

Sprawdzać tautologiczność formuł możemy na kilka

sposobów. Budowanie tabel zerojedynkowych pozwala na pełne

scharakteryzowanie prawdziwościowych własności formuł, ale

bywa kłopotliwe - zwłaszcza, gdy w formule występuje kilka

zmiennych zdaniowych.

Jeśli zależy nam nie na pełnej charakterystyce własności

prawdziwościowych formuły, a tylko na stwierdzeniu, czy jest ona

tautologią, czy nie - wystarczy nam zwykle coś skromniejszego

niż cała tabela, mianowicie jeden jej wiersz.

Sprawdzić czy jest to tautologia czy nie:

[(p^q)=>r] =>[~(r^q) =>~p

A B

Jest tautologia (gdy A i B będą miały te same wartości to na 100% będzie tautologia, jeśli poróżnią się już choćby 1 cyfra to tautologia nam nie wyjdzie)

[ (p=>r) ^ (q=>r) ] < => [(pvq)=>r]

A B

To jest tautologia

1. Warunek konieczny i dostateczny

Zdanie p jest warunkiem koniecznym dla zdania q jeżeli q=>p natomiast jest warunkiem dostatecznym jeżeli p=>q

Przykład 1

Liczba naturalna jest podzielna przez 2-to będzie nasze zdanie p

Liczba jest podzielna przez 4-to będzie nasze zdanie q

Zdania zapisujemy: q=>p czyli jest warunek konieczny

Przykład 2

Które z warunków są konieczne a które dostateczne?

q - trójkąty przystające

p - trójkąty mające równe kąty

q=>p

Przykład 3

p -trójkąty mają równe dwa boki i kąt między nimi

q -trójkąty maja równe kąty

q=>p

p=>q Oba zapisy są prawidłowe

2. Rachunek kwantyfikatorów

Oprócz dotychczas używanych mamy nowe rodzaje symboli.

Małe litery x,y,z - dowolne przedmioty danego rodzaju, zmienne indywiduowe

Duże litery P Q R - zmienne predukatowe, nazwy własności lub stosunków, które przysługują indywiduom różnego rodzaju.

Duży znaczek v (stosowany zamiennie z takim znaczkiem Σ) kwantyfikator szczegółowy, jest skrótem wyrażenia „istnieje” lub „dla pewnego”

Duży znaczek ^ skrót do zwrotu „dla każdego”

Zadania przykładowe do stosowania nowych symboli

P(x) =>Q(x) p=jest ssakiem, Q=jest kręgowcem

3. Zmienna występującą w funkcji zdaniowej, którą poprzedza kwantyfikator opatrzony symbolem tej zmiennej nazywamy zmienną związaną przez kwantyfikator. Zmienna, która nie jest w danym wyrażeniu związana przez żaden kwantyfikator nazywamy zmienna wolną. Kwantyfikatory wiążą mocniej niż spójniki zdaniowe. Np.

^P(x) =>Q(x) kwantyfikator odnosi się tu tylko do p

X

^[P(x) =>Q(x)] kwantyfikator odnosi się do całego nawiasu

Rodzaje stosunków między zakresami nazw

Definicje słowne dzielimy na nominalne i realne. Def. Nominalne definiują znaczenie słów, definicja wyrazu „w” na gruncie słownika „s” to wypowiedź pozwalająca każde zdanie zbudowane z wyrazu `w” i wyrazów słownika „s” w którym wyraz `w” nie jest zawarty przetłumaczyć na zdanie zbudowane z samych tylko wyrazów słownika „s”.Definicje realne definiują rzeczy.

Definiendum = definiens

(Wyraz definiowany) łącznik wyrazy definiujące

Kiedy używamy definicji?

Błędy popełniane w definiowaniu pojęć

ibidem per ibidem- to samo przez to samo

Ważne to co być może będzie na egzaminie:

Zdanie w sensie logicznym to takie, któremu można przypisać albo prawdę albo fałsz, np. pada deszcz-jest logiczne ponieważ jesteśmy w stanie stwierdzić że faktycznie on pada lub też nie a więc możemy określić czy jest to prawda czy fałsz, natomiast zdanie jutro będzie padał deszcz nie jest zdaniem logicznym ponieważ dopiero jutro będziemy mogli stwierdzić czy ten deszcz będzie padał i czy stwierdzenie to będzie prawdą czy fałszem

Spójniki dwuargumentowe i jednoargumentowe

Babka poda nam np. schemat logiczny p^q - do tego trzeba będzie ułożyć zdanie np. pada śnieg i idziemy na sanki

Np. pojadę w Alpy i będę jeździć na nartach jeżeli dostanę podwyżkę

p=>(q^ r)

Tautologia-gdy otrzymamy na końcu same jedynki, kontratautologia gdy otrzymamy same zera a jeśli będzie mieszanina to nie będzie to ani tautologia ani kontratautologia.

Na dostateczną będzie trzeba sprawdzić czy cos jest tautologia tylko dla 2 zmiennych

7. Np. zostanie podane zdanie nieprawda ze pada śnieg i jest ciepło ~(p^q) i trzeba je przeformułować zgodnie z prawem de Morgana ~(p^q) => ~p ^ ~q

ZADANIA

Polubisz logikę i uznasz ją za łatwą jeśli nie masz złych wspomnień z lekcji matematyki.

P Q R

p=>p^q

P Q R

Ukończę studia rusystyczne i zostanę tłumaczem literatury rosyjskiej lub będę nauczycielem języka rosyjskiego.

p^ q v r

(p^q) v r

p^(q v r)

Przeczytam kilka podręczników lub wysłucham wykładów i rozwiążę kilkadziesiąt zadań.

(p^q) v r

p^(q v r)

p^q v r

Jeżeli ukończę studia doktoranckie to będę pracować naukowo lub zostanę nauczycielem.

(p=>q) v r

Która z odanych informacji pozwala ustalić wartość logiczną zdania oznaczonego literą „Z”, jeśli na miejscu P jest zdanie prawdziwe a na miejscu Q zdanie fałszywe a na miejscu R zdanie o nieznanej wartości logicznej.

p^(qvr) ? p=>( q^r) 0

pv(q^r) 1 (p<=>q)vr ?

~ p^(qvr) 0 (p<=>q)^r 0

~ pv(q^r) 0 ~pvr(q=>r) 0

(p^q)=>r 1 ~[~p=>~(~q^r)] 0

5