Andrzej Strzop

III rok fizyki

prowadzący: dr J. Chrzanowski

Wyznaczanie stałej Plancka

w oparciu o zjawisko fotoelektryczne

1.ZAGADNIENIA TEORETYCZNE.

Teoria kwantów.

Ogrzane ciała ciemne (np. kulka metalowa lub kawałek żelaza) wysyłają tzw. promieniowanie cieplne. Promieniowanie to polega na wysyłaniu fal elektromagnetycznych. W miarę wzrostu temperatury długość fal elekrtomagnetycznych wzrasta. W temperaturze ok. 800^oK (tzw. temperaturze czerwonego żaru), promieniowanie cieplne zaczyna być widoczne. Barwa wysyłanego światła jest ciemnoczerwona, ale ciało nie przestaje wysyłać promieniowania niewidzialnego o dłuższej długości fali. Promieniowanie wysyłane przez wszystkie ciała w rozmaitych temperaturach nazywamy promieniowaniem temperaturowym.

Jeżeli to promieniowanie rozłożymy za pomocą np. pryzmatu kwarcowego, to prócz widma widzialnego stwierdzimy poza końcem fioletowym istnienie promieniowania nadfioletowego, a poza czerwonym końcem widma promieniowanie podczerwone.

Emisja promieniowania różnych ciał zależy od wielu czynników i w ogólności w bardzo zawiły sposób zależy od indywidualnych właściwości ciał. Tylko tzw. ciało doskonale czarne wykazuje prawidłowość i stosunkową prostą zależność mocy wypromieniowanej od różnych czynników. W promieniowaniu ciała doskonale czarnego mamy fale rozmaitej długości. Ciało ogrzane wysyła dużo energii promieniowania podczerwonego. Przy wyższych temperaturach wzrasta ilość energii przypadająca na fale krótsze. Krzywa ma bardzo wyraźne maksimum, po czym szybko spada po stronie fal krótkich.

Prawo Kirchhoffa.

Prawo to mówi, że stosunek zdolności emisyjnej E(ν,T) do zdolności absorpcyjnej A(ν,T) nie zależy od rodzaju ciała i jest on dla wszystkich ciał jednakową, uniwersalną funkcją ε(ν,T) częstości promieniowania i temperatury równą spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego.

Prawa promieniowania ciała doskonale czarnego.

Stosując prawa klasycznej elektrodynamiki do promieniowania zrównoważonego Rayleigh, a następnie Jeans, wyprowadzili wzór na gęstość energii u_λ (energii przypadającej na jednostkę objętości) wewnątrz zamkniętej powłoki o temperaturze T dla długości fali zawartej w przedziale λ, λ+dλ. Jest on następujący: u_λ dλ = k c T λ^-4 dλ.

Według wzoru Rayleigha-Jeansa ilość energii

J_λ dλ = 2 ∏ k c T λ^-4 dλ,

gdzie k jest to tzw. stała Boltzmanna, a c - prędkość światła w próżni.

Wzór ten niestety nie jest zgodny z doświadczeniem, ponieważ nie daje on żadnego maksimum. Według tego wzoru energia przypadająca na coraz krótsze fale byłaby coraz większa i rosłaby bezgranicznie dla λ→0 (tzw. katastrofa w ultrafiolecie).

Prawo Stefana-Boltzmanna: ξ(T) = σ T_c⁴ (σ = 5,68
)

Prawo to mówi, że całkowita energia ξ(T) emitowana w jednostce czasu w postaci energii promieniowania cieplnego przez element powierzchni ciała doskonale czarnego w polu jednostkowym jest proporcjonalna do czwartej potęgi temperatury T ciała.

Z kolei Wien wyprowadził następujący wzór:

J_λ dλ = 2 ∏ h c² λ^-5 e ^{-hc / kλT} dλ,

Wien wyprowadził tzw. prawo przesunięć, które mówi, że w widmie promieniowania ciała doskonale czarnego iloczyn temperatury i długości fali dla, której przypada maksimum natężenia jest stały.

W 1900r. Planck wyprowadził wzór, który bardzo dobrze zgadzał się z danymi doświadczalnymi:

J_λ dλ = 2 ∏ h c² λ^-5 1 / (e ^{-hc / kλT} - 1) dλ

Do wyprowadzenia tego wzoru, Planck przyjął, że fale elektromagnetyczne są wysyłane przez elektrony drgające w atomach, które można uważać za oscylatory harmoniczne. Według klasycznej elektrodynamiki energia takich oscylatorów może się zmieniać w sposób ciągły, mogą one wysyłać fale elektromagnetyczne jak również absorbować energię padających na nie fal w sposób ciągły. Planck do otrzymania swego wzoru musiał założyć, że oscylatory mogą posiadać energię równą tylko wielokrotności pewnej najmniejszej porcji energii ε, a więc ε, 2ε, ...

Przy tym oscylator energię promieniowania może wysyłać również tylko porcjami (kwantami). Kwanty promieniowania są tym mniejsze, im fale są dłuższe. Przy wysyłaniu energii oscylator przechodzi od jednego stanu do drugiego skokiem. Wielkości kwantów energii promieniowania nie są stałe, zależą od częstości promieniowania. Mianowicie ε = hυ, gdzie h jest wielkością stałą mającą wymiar : energia ⋅ czas .Stała ta nazywa się stałą Plancka, a jej wielkość wynosi :

h = 6,62⋅10^-34J⋅s .

Metody wyznaczania stałej Plancka.

Metoda R*ntgena.

Badanie widm promieni R*ntgena stwierdziło, że w promieniowaniu wysyłanym przez antykatodę mamy dwa odmienne jego rodzaje. Jeden to tzw. promieniowanie hamowania, drugi - to tzw. promieniowanie charakterystyczne. Promieniowanie hamowania daje widmo ciągłe, podobnie jak światło białe, z tą różnicą, że od strony fal krótkich nagle się kończy. Promieniowanie hamowania powstaje przy nagłym zahamowaniu przez antykatodę elektronów biegnących z wielką prędkością jako promienie katodowych. To nagłe zahamowanie wywołuje zaburzenie pola elektromagnetycznego rozchodzące się na wszystkie strony. Rozkład widmowy promieniowania hamowania nie zależy od materiału antykatody, lecz natężenie jego wzrasta z numerem porządkowym i gęstością pierwiastka umieszczonego na antykatodzie. Promieniowanie to od strony fal długich zanika stopniowo, od strony fal krótkich urywa się na fali pewnej określonej długości. Krótszych od niej fal już nie ma w widmie. Długość tej najkrótszej z fal da się obliczyć z równania Einsteina: eU=¹/₂ m v² = hν_max wyrażającego, że energia kinetyczna elektronu zamienia się w całości na energię powstającego fotonu hν_max. Najzasobniejsze w energię fotony wysyłane przez lampę rentgenowską mają energię wynoszącą tyle elektronowoltów, ile woltów wynosi napięcie przyłożone do lampy. Wziąwszy pod uwagę związek ν=c/λ można obliczyć, że najkrótsza fala dawana przez lampę przy danym napięciu U wyraża się w angstremach wzorem λ_min=12345*/U. Teraz wyznaczając wartości λ_min odpowiadające różnym wartościom U, z równania Einsteina można wyznaczyć dokładnie wielkość h.

Stałą Plancka można również wyliczyć korzystając z wiadomości na temat stanu wzbudzonego atomów. Po raz pierwszy doświadczalnie udowodniono istnienie takich stanów w roku 1914, a dokonali tego J.Franck i G.Hertz.

Do wyznaczenia stałej Plancka wykorzystuje się także zjawisko fotoelektryczne. W zjawisku tym pochłaniane przez ciało fotony przekazują swoją energię elektronom. Gdy energia ta jest większa od pracy wyjścia elektronów to możliwa jest wówczas emisja elektronów z ciała (efekt fotoelektryczny zewnętrzny). Gdy energia fotonów jest mniejsza od pracy wyjścia to zmienia się tylko stan energetyczny elektronów (efekt fotoelektryczny wewnętrzny). W półprzewodnikach i dielektrykach powoduje ono wzrost ich przewodnictwa, zaś w półprzewodniku, który jest w kontakcie z metalem, pojawienie się siły elektromotorycznej. Istotę efektu fotoelektrycznego starał się wytłumaczyć Albert Einstein. Swoją teorię oparł on na założeniach Plancka. W myśl niej foton posiada pęd równy
, gdzie c jest tu prędkością światła. Efekt fotoelektryczny polega na oddziaływaniu fotonów z elektronami, przy czym foton ginie, a elektron przejmuje jego energię. Gdy energia zaabsorbowana będzie większa od pracy wyjścia to elektron zostanie wyemitowany z ciała, natomiast nadwyżka energii zamieni się w energie kinetyczną elektronu.

, gdzie ω - praca wyjścia.

Badając efekt fotoelektryczny za pomocą fotokomórki możemy zapisać, iż energia kinetyczna wynosi E_k = hν - ϕ_{e ,} gdzie ϕ_e jest pracą wyjścia elektronów z katody. Równocześnie możemy napisać następującą zależność : E_k = e(U₀ + U_p) = eU₀ + ϕ_k - ϕ_e , gdzie ϕ_e - praca wyjścia z anody.

Ostatecznie więc mamy zależność postaci: hν = eU₀ + ϕ_k bądź jak kto woli:
.

Z tego związku możemy znaleźć stałą Plancka, wykreślając zależność U₀(ν) i znajdując współ-czynnik nachylenia prostej.

Rodzaje zjawiska fotoelektrycznego.

Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne

Zjawisko to polega na tym, że światło padające na płytkę metalową „wybija” z niej elektrony swobodne. Jest to proces energetyczny, w którym energia kwantów światła jest przekazywana elektronom swobodnym, znajdującym się w metalu. Aby opuścić powierzchnię metalu z pewną energią kinetyczną E_k, elektrony muszą pokonać siły przyciągania ze strony dodatnich jonów metalu i wyjść poza strefę działania tych sił, tzn. wykonać pracę wyjścia W_w. Mają tu miejsce indywidualne oddziaływania pomiędzy jednym kwantem i jednym elektronem, nie obserwuje się oddziaływań zbiorowych - kilku kwantów naraz z jednym elektronem lub na odwrót. Zgodnie z zasadą zachowania energii wybicie elektronu będzie miało miejsce tylko wówczas, gdy energia kwantu hν będzie co najmniej równa lub większa od pracy wyjścia W_w: hν ≥ W_w, gdzie h - stała Plancka,

ν - częstość drgania światła padającego.

Opisane zjawisko wykazuje dwie cechy charakterystyczne:

a) Liczba emitowanych fotoelektronów (lub natężenie prądu fotoemisji I_ν) jest proporcjonalna do strumienia świetlnego padającego na płytkę: I_ν = kΦ.

b)Energia kinetyczna E_k fotoelektronów nie zależy od strumienia świetlnego Φ, lecz od częstości

drgań padającego światła, przy czym okazuje się, że E_k^f >E_k^cz, gdzie E_k^f - energia kinetyczna fotoelektronów „fioletowych”, E_k^cz - energia kinetyczna fotoelektronów „czerwonych”.

Wyjaśnienie kwantowe drugiej cechy znajduje wyraz w równaniu Einsteina, które ma postać:

hν = W_w + ¹/₂mv². A więc energia kwantu zostaje zużyta na pracę wyjścia W_w elektronu i na nadanie mu energii kinetycznej.

Zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne polega na wzroście przewodności elektrycznej ciała pod wpływem oświetlenia. Mówi się wówczas o fotoprzewodnictwie. Obserwuje się je w półprzewodnikach i dielektrykach.

Zjawisko fotoelektryczne zaporowe polega na powstawaniu siły elektromotorycznej na złączu półprzewodnika i metalu lub dwóch półprzewodników różnych typów podczas absorpcji kwantów promieniowania cieplnego.

Bilans energetyczny zjawiska fotoelektrycznego wg Einsteina .

Podstawowym aktem w zjawisku fotoelektrycznym jest absorpcja fotonu przez elektron. Elektron uzyskuje wówczas całą energię fotonu hν, która dla kwantów światła widzianego jest o wiele rzędów wielkości większa od energii kinetycznej, jaką mają w metalu elektrony przewodnictwa. Jeśli fotoelektron o nadmiarowej energii hν znajduje się na powierzchni metalu, może opuścić metal kosztem pewnej energii (zwanej pracą wyjścia W), potrzebnej na przezwyciężenie sił powierzchniowych. Maksymalna energia kinetyczna, z jaką fotoelektron może opuścić powierzchnię metalu, jest dana wzorem: ε_max = hν - W. Jest to równanie Einsteina opisujące zjawisko fotoelektryczne. Z równania tego wynikają bezpośrednio wszystkie prawa fotoefektu. Jeżeli energia padającego fotonu jest mniejsza niż energia potrzebna na wyzwolenie elektronu z powierzchni metalu (hν<W), to emisja nie może wystąpić bez względu na natężenie światła padającego. Częstotliwość progową poniżej której emisja fotoelektronów nie może nastąpić, otrzymać można z równania:

hν₀ = hc/λ₀ = W. Po uwzględnieniu związku między maksymalną energią kinetyczną fotoelektronów a ich potencjałem hamującym U₀ otrzymujemy zależność : eU₀ = ε_max = hν - W, która po obustronnym podzieleniu przez e sprowadza się do równania
.Z równań tych wynika, że ε_max oraz U₀ nie zależą od natężenia światła, lecz wprost proporcjonalnie od częstości światła i od pracy wyjścia W.

Selektywne zjawisko fotoelektryczne.

Jeżeli przy stopniowym zwiększaniu częstości światła natężenie światła prądu fotoelektrycznego wzrasta monotonicznie aż do fal bardzo krótkich, leżących na granicy zwykłych możliwości doświadczalnych, mówimy wtedy o normalnej emisji fotoelektronowej. Jeżeli natomiast charakterystyka widmowa ma maksimum, to taki przypadek zjawiska fotoelektrycznego nosi nazwę zjawiska fotoelektrycznego selektywnego.

Porównując działanie światła spolaryzowanego tak, że wektor elektryczny leży w płaszczyźnie padania - przypadek E_II , a w drugim tak, że wektor elektryczny jest prostopadły do płaszczyzny padania - przypadek E_⊥, otrzymujemy zjawisko selektywne tylko w przypadku E_II

Rodzaje komórek fotoelektrycznych.

Komórka fotoelektryczna jest to niewielka bańka szklana o wymiarach rzędu kilku centymetrów, opróżniona z powietrza i mająca dwie elektrody: katodę K w postaci płytki uformowanej w kształt półcylindra i anodę A w postaci prostego drucika. Obie katody mają wyprowadzone na zewnątrz końcówki umożliwiające doprowadzenie napięć. Płytka katody powleczona jest substancją o małej pracy wyjścia. Ścianka banki naprzeciwko katody jest przezroczysta dla padającego z zewnątrz światła.

Katoda tlenkowo- cezowa składa się z trzech warstw. Na płytkę podkładową (może nią być wewnętrzna ścianka banki) naniesiona jest cienka warstewka czystego srebra, na niej warstewka tlenku cezu, na powierzchni której formuje się monomolekularna warstewka cezu metalicznego.

Katoda antymonowo- cezowa. Warstewkę podkładową stanowi w niej stop antymonu i cezu, a na niej uformowana jest monomolekularna warstewka metalicznego cezu.

Fotokomórki mogą być próżniowe i gazowe. Te ostatnie (po uzyskaniu wewnątrz bańki szklanej próżni) napełniane są gazem obojętnym (o ciśnieniu 0,02 - 0,04 mm Hg).W fotokomórkach gazowych prąd fotoemisji ulega zwiększeniu dzięki jonizacji zderzeniowej fotoelektronów z cząsteczkami gazu.

Monochromator.

Monochromator jest to przyrząd spektralny służący do wydzielania wąskiego zakresu długości fal ze światło o widmie złożonym (np. światło białe). Składa się z układu rozczepiającego (pryzmat lub siatka dyfrakcyjna) i 2 kolimatorów: wejściowego - rzucającego na układ rozczepiający równoległą wiązkę światła, i wyjściowego - wybierającego z całego widma światło prawie monochromatyczne o potrzebnej długości fali.

2.CEL I PRZEBIEG DOŚWIADCZENIA.

Celem doświadczenia było wyznaczenie wartości stałej Plancka w oparciu o zjawisko fotoelektryczne.

Pierwszą czynnością było wycechowanie monochromatora. Cechowanie wykonałem pięciokrotnie, natomiast do wykreślenia krzywej cechowania (wykres 1) przyjąłem wartości średni. Otrzymane wyniki zawarte są w tabeli 1.

Następnie zestawiłem układ według schematu podanego w instrukcji. Dla pięciu długości fali wyznaczyłem charakterystykę prądowo-napięciową (tabela 2). Znormalizowałem charakterystyki poprzez zmiany szerokości szczeliny monochromatora

3.TABELE.

Tabela 1. Wartości otrzymane podczas cechowania monochromatora za pomocą lampy helowej

Tabela 2. Charakterystyki prądowo-napięciowe dla pięciu długości fal .

4.OPRACOWANIE WYNIKÓW.

Na podstawie wyników zawartych w tabeli 1 wykreśliłem krzywą cechowania. .Z charakterystyk prądowo-napięciowych, wyznaczyłem poprzez ekstrapolacje odcinka liniowego maksymalne napięcie hamujące (napięcie odcięcia)

Tabela 3. Wyniki obliczeń napięcia odcięcia i częstości fali.

Na wykresie wyznaczyłem zależność napięcia odcięcia od odwrotności długości fali. Zależność teoretyczna między napięciem odcięcia, a długością fali wyraża się następująco:

Wykreślając zależność napięcia U od odwrotności długości fali 1/λ i znajdując współczynnik nachylenia otrzymanej prostej można wyznaczyć stałą Plancka h. Aby znaleźć współczynnik nachylenia skorzystałem z metody regresji liniowej.

Tabela 4.Wyniki obliczeń potrzebnych do wyznaczenia współczynników regresji liniowej.

Biorąc

;n = 1,2,...,5

a napięcie
można obliczyć stałą h.

Po przeprowadzeniu obliczeń otrzymałem następujący wynik : A = 1,88⋅10^-6 [V m]

Natomiast B= czyli napięcie kontaktowe B=,33 [V]

Wzór na stałą Plancka przybiera teraz postać: h=Ae/c,gdzie

wartość e wynosi 1,6⋅10^-19 [C] ,

a prędkość światła c = 2.99⋅10⁸ [m / s] .

Po podstawieniu wszystkich danych otrzymałem następujący wynik :

h=5,82⋅10^-34 Js

5.WNIOSKI.

Tablicowa wartość stałej Plancka (h=6,6256⋅10^-34 Js) jest zbliżona do wartości obliczonej wartości. Uwzględniając czynnik k=1,5 będący wynikiem charakterystyki fotokomórki otrzymujemy wartość h=8,74⋅10^-34 Js, która także nie zawiera wartości tablicowej. Niemniej obliczone wartości są bardzo bliskie stałej Plancka, a różnice mogą wynikać z nieuwzględnienia błędów nie systematycznych. Powodem tej rozbieżności jest najprawdopodobniej zmiana geometrii monochromatora podczas przeprowadzania doświadczenia.

VIII