Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Niech A będzie macierzą współczynników danego układu o m-równaniach liniowych i n niewiadomych tj. A =
, zaś b - kolumną jego wyrazów wolnych w postaci b =
. Niech [A|b] będzie macierzą rozszerzoną danego układu równań liniowych (tj. taką, która powstaje z macierzy głównej przez dołączenie do niej kolumny b wyrazów wolnych). Wówczas ten układ ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

rz [A|b] = rz A

Wniosek

Niech r = rz A oraz t = rz [A|b] oraz n - liczba niewiadomych układu.

Jeżeli układ ma rozwiązanie (tj. r = t), to o liczbie jego rozwiązań można wnioskować według następujących reguł:

Przykład

Rozpatrzmy następujący układ równań liniowych:

-
+
-
= 0

-
-
+
= 0

Sprowadzamy macierz układu do postaci całkowicie zredukowanej

.

Zatem parametrami są w tym przypadku
i
. Po podstawieniu
= t oraz
= u otrzymujemy następujące rozwiązanie:

=
= t
+ u

Twierdzenie Cramera

Niech A będzie macierzą kwadratową współczynników danego układu równań liniowych tj. A =
, X - zbiorem rozwiązań w postaci X =
, b - kolumną wyrazów wolnych w postaci b =
. Dany jest układ równań AX = b. Jeżeli det A ≠ 0, to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, które jest dane za pomocą wzorów

=

dla 1 ≤ i ≤ n, gdzie
jest macierzą otrzymaną przez zamianę w macierzy A i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań.