Wariancja i ANOVA konspektowo.
Jeżeli mamy 100 identycznych wyników to JEDNORODNA (HOMOGENICZNA) grupa, o czym świadczy brak obserwowanej w niej zmienności wyników zmiennej zależnej.
W rzeczywistości jednak zawsze obserwujemy pewną, większą lub mniejszą, zmienność wyników - mówimy wtedy o RÓŻNORODNOŚCI (HETEROGENICZNOŚCI) badanej grupy.
MIARY ZMIENNOŚCI WYNIKÓW.
Prostą miarą jest ROZSTĘP, czyli różnica między skrajnymi wynikami.
Nie jest to wygodna miara, gdyż jest zależna od wielkości grupy. Istnieje jednak taka idealna miara zmienności wyników - jest nią ODCHYLENIE STANDARDOWE albo jego kwadrat, czyli WARIANCJA.
WARIANCJA jest średnią sumą kwadratów odchyleń poszczególnych wyników od ich średniej arytmetycznej.
Aby obliczyć wariancję, należy wpierw każdy wynik odjąć od średniej arytmetycznej, a uzyskaną różnicę podnieść do kwadratu. Po zsumowaniu owych kwadratów różnic należy otrzymaną sumę podzielić przez n. Jeżeli z wariancji wyciągniemy pierwiastek kwadratowy, to otrzymamy ODCHYLENIE STANDARDOWE.
Wszystkie miary obliczane są na poziomie populacji zwykło się oznaczać małymi literami alfabetu greckiego, np. μ, σ2, ρ na oznaczenie średniej arytmetycznej, wariancji i korelacji.
Do oznaczania miar z poziomu próby wykorzystuje się litery alfabetu łacińskiego: Y z daszkiem, s2, r. Zwykło się oznaczać wariancję symbolem `var'.
μ, σ2, ρ parametry populacji.
Y z daszkiem, s2, r parametry statystyki odnoszące się do próby.
Statystyki z próby są ESTYMATORAMI parametrów populacji czyli s2 z próby jest estymatorem σ2 (wariancji) w populacji.
Jeżeli obliczamy ją na poziomie próby, to w mianowniku wzoru na wariancję powinno się pojawić n-1, a nie n. To rozróżnienie zatraca swój praktyczny sens, gdy mamy do czynienia z dużymi próbami, np. n=100, ponieważ nie ma to praktycznie żadnego znaczenia, czy dzielimy jakiś licznik przez 100 czy przez 99. Ale gdy próba jest mała, a w badaniach psychologicznych często korzystamy właśnie z małych prób, to ma to już znaczenie.
Gdy obliczamy wariancje z próby, wstawiając do mianownika wzoru n-1, to wówczas otrzymujemy tzw. NIE OBCIĄŻONY ESTYMATOR wariancji w populacji. Gdy dokonamy dzielenia przez n, to otrzymamy OBCIĄŻONY ESTYMATOR WARIANCJI W POPULACJI.
ZMIENNA X ISTOTNA DLA JAKIEJŚ INNEJ ZMIENNEJ Y, TO TAKA ZMIENNA, KTÓRA JEST ŹRÓDŁEM WARIANCJI CZĄSTKOWEJ TEJ ZMIENNEJ.
ZAPIS WYNIKÓW.
Aby móc jednoznacznie zidentyfikować wynik konkretnej osoby, nie wystarczy oznaczyć go tylko jednym indeksem. Potrzebny jest jeszcze drugi indeks.
Jeden indeks będzie identyfikował numer grupy (a tym samym wskazywał wartości jednej zmiennej niezależnej czy poziom czynnika, wedle którego podzielono próbę na grupy porównawcze o liczebności n każda), a drugi będzie wskazywał numer przypisany osobie w grupie.
Zawsze pierwszy z prawej będzie wskazywał numer przypisany osobie w grupie.
Kolejne indeksy, stojące przy Y od lewej do prawej będą identyfikowały kolejne zmienne niezależne (czynniki), wedle których poziomów podzielono próbę na grupy porównawcze: A, AB, ABC…
I tak:
Y23 wynik k=3 osoby, dla której zmienna A przyjmuje i=2 poziom.
Y112 wynik k=2 osoby, dla której zmienna A przyjmuje i=1 poziom, a zmienna B przyjmuje j=1 poziom.
Przy kolejnych zmiennych niezależnych, których wpływ na Y będzie określał badacz w eksperymentach zaplanowanych ANOVA, będzie posługiwali się dużymi literami alfabetu łacińskiego na ich oznaczenie: A, B, C, …, zaś małymi literami będziemy posługiwali się na oznaczenie wartości, jakiej przyjmują w badaniu.
Zapis
Yijk
wynik k-tej osoby z grupy poddanej działaniu i-tego poziomu czynnika A oraz j-tego poziomu czynnika B.