CIĄGI, CIĄGI


V. CIĄGI

  1. Definicja. Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych
    dodatnich (N+).

n

1

2

3

4

5

… → argumenty

a n

5

4

2

0

3

… → wyrazy ciągu

  1. Ciąg (an) nazywamy rosnącym jeśli dla każdej liczby 0x01 graphic
    zachodzi warunek:

0x01 graphic
, czyli 0x01 graphic

  1. Ciąg (an) nazywamy malejącym jeśli dla każdej liczby 0x01 graphic
    zachodzi warunek:

0x01 graphic
 , czyli 0x01 graphic

  1. Ciąg (an) nazywamy stałym jeśli dla każdej liczby 0x01 graphic
    0x01 graphic
    , czyli 0x01 graphic
    .

  1. Granica ciągu.
    Def.     Liczba 0 jest granicą ciągu (an) jeśli

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
6. Obliczanie granic :
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic
 (dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę n
0x01 graphic
(wyciągamy najwyższą potęgę n

  1. 0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    0x08 graphic
    Ciąg nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli różnica pomiędzy kolejnymi wyrazami jest stała.

    0x01 graphic
    , 0x01 graphic

Wzór na n - ty wyraz ciągu arytmetycznego: 0x01 graphic

Wzór na sumę częściową ciągu arytmetycznego (suma n - początkowych wyrazów ciągu)

0x01 graphic

Ciąg arytmetyczny jest rosnący, gdy r > 0 ,

malejący, gdy r < 0 ,

stały, gdy r = 0 .

  1. 0x08 graphic
    Ciąg nazywamy ciągiem geometrycznym , jeśli iloraz wyrazu następnego przez poprzedni jest stały, tzn.

    0x01 graphic
    , q - iloraz ciągu



    Wzór na n - ty wyraz ciągu geometrycznego:
    0x01 graphic


    Wzór na sumę częściową ciągu geometrycznego:
    0x01 graphic
    , (gdy q ≠ 1) oraz 0x01 graphic
    , (gdy q = 1)

  1. Szeregiem geometrycznym nazywamy sumę a1 + a2 + a3 + a4 + …
    której kolejne składniki tworzą ciąg geometryczny nieskończony (an) o ilorazie q.

    Ciągiem sum częściowych szeregu geometrycznego nazywamy ciąg (Sn), którego kolejne wyrazy mają postać: S1 = a1
    S2 = a1 + a2
    S3 = a1 + a2 + a3
    …………………
    Sn = a1 + a2 + a3 + … + an
    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
    Jeśli |q| < 1 , to szereg geometryczny o ilorazie q jest zbieżny i ma sumę:
    0x01 graphic

    Liczbę S tę nazywamy sumą szeregu geometrycznego lub sumą nieskończonego ciągu geometrycznego.

29

0x01 graphic

z mianownika)

przed nawias)

0

0

0

0

r - różnica ciągu

0x01 graphic

0x01 graphic


Wyszukiwarka