5

Prawdopodobieństwo warunkowe względem σ -ciała. Warunkowa wartość oczekiwana. Podstawowe własności warunkowej wartości oczekiwanej. Rozkłady warunkowe.

(Ω,F, p)-prz prob., A ∈ F , p(A)>0, p_A : F→ R¹ , p_A (⋅)= p(⋅|A), (Ω,F, p_A )-nowa prz.prob.

p_A - jest rozkładem prawdopodobieństwa na Ω; X : Ω → R

Def. Niech X będzie zmienna losową o skończonej wartości oczekiwanej. Wtedy warunkową wartością oczekiwaną dla zmiennej losowej X jeśli wiemy, że zaszło zdarzenie A, określamy wzorem E(X|A):=*_Ω X d P_A

Tw.1. Niech p(A)>0 i niech X zm. losowa o skończonej wart. oczekiwanej (E(|X|)<∞). Wtedy E(X |A):=1/p(A) *_AX dP jest średnią wartością zmiennej losowej X na zbiorze A.

D: Niech ∀Β∈F X=1_B (indykator 1_B(ω)=1ω∈Β, 0ω∉Β),

to E(1_B|Α) = *_Ω 1_B dp_A= p(B|A) = p(A∩B)/p(A) = 1/p(A)*_A1_B dp

Obie str. równości są liniowe więc dowolna równość jest prawdziwa dla skończonych kombinacji: X=∑_k=1 ak1_Bk, B_k∈F, k=1,2,......n.

Niech X ≥ 0 zm. losowa całkowalna, to X jest granicą p.n. i w L¹ skończonych kombinacji X_n

Tezę uzyskujemy przechodząc z n → ∞ i stosując tw. Lebesque′a.

Jeśli X - dowolna zm. całkowalna , to X = X⁺-X ^- Obie zmienne losowe po prawej stronie są nieujemne i całkowalne więc teza wynika z poprzedniego przypadku i liniowości całki.

Tw.2 Niech zdarzenia A_i, i∈ I stanowią przeliczalne rozbicie prz. Ω na zdarzenia o dodatnim prawd. #I<*₀* p(A_i )>0 (i∈I), Ω=UA_i, A_i ∩ A_j =* (i≠j, i,j∈ I); X: Ω →R zm losowa całk.

E(|X|)<∞, to ⇒ E(X) = ∑E(X|A_i) p(A_i)

D: E(X)=*_ΩXdp=*_UAiXdp =∑*_AiX dp=∑p(A_i)1/ p(A_i)*_AiXdp=∑E(X|A_i)P(A_i)

Def. Niech Ω= UA_i, gdzie A_i o dodatnim prawdopodobieństwie stanowią rozbicie przestrzeni Ω , niech F= σ(A_i i∈I ) i niech X będzie zmienną losową mającą wartość oczekiwaną

(X: Ω→R¹, E(|X|)<∞).Warunkową wartością oczekiwaną X pod warunkiem σ-ciała F będziemy nazywali zmienną losową E(X|F)(ω)równą E(X|A_j), gdy ω ∈ A_j, czyli E(X|F)(ω):=∑E(X|A_j)1_Aj(ω)

Tw.3 Warunkowa wartość oczekiwana E(X|F) ma następujące własności

D: (i) wynika z def. A_j∈F to indykator jest zm. losową (f. mierzalnej);

∑ przeliczalna liczb * E(X|F) mierzal.

(ii) jeśli B∈F, to B= U_kA_jk, gdzie suma jest skończona bądź przeliczalna, wtedy

*_BXdp=E_k*_Ajk Xdp=∑E(X|A_jk)p(A_jk)=∑*_AjkE(X|A_jk)dp=*_B∑E(X|A_jk)1A_jkdp=*_BE(X|F)dp

Def.(ogólna) Niech F⊂A; X:Ω *R -zm. losowa całkowalna .Warunkową wrt ocz. X pod warunkiem F nazywamy zmienną losową E(X|F), spełniającą warunki:

Tw.4 Dla dowolnego σ-ciała F⊂A i całkowalnej zmiennej losowej X istnieje warunkowa wart ocz. Jest ona wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do zdarzeń o prawdopodobieństwie zero, tj. jeśli Y_1,Y₂ spełniają warunki powyższej def. to p(Y₁*Y₂)=0

Tw.5 Najważniejsze własności warunkowej wartości oczekiwanej

Niech X,X_1,X₂ będą zmiennymi losowymi o skończonej wartości oczekiwanej, niech F∈A- będzie σ-ciałem:

1.Jeśli X jest F mierzalna, to E(X|F)=X(p.n)

2. Jeśli X≥0 to E(X|F) ≥0 p.n

3. |E(X|F)|*E(|X||F)p.n

4. E(αX₁+βX₂|F)= αE(X₁|F)+ β E(X₂|F)p.n dla α,β∈R

5. Jeśli f: R→R -wypukła, X, f(X) zm losowe całkowalne ⇒f(E(X|F))*E(f(X)|F)p.n (nierówność Jensena)

6.(X_n) -ciąg zm. los. rosnący i zb do X, to E(X_n|F) rośnie i jest zb. p.n do E(X|F)

7.Jeśli F₁⊂F₂⊂A⇒ E(X|F₁)=E(E(X|F₂)|F₁)=E(E(X|F₁)|F₂)(p.n)

w szczególności E(X|X₁)=E( (E|(Y₁,Y₂))|Y₁)

Dowód 7. E (X|F₁):Ω *Rzm losowa jest F₁-mierzalna *_AE(X|F₂)dp=*_AXdp=*_AE(X|F₁)dp⇒E(E(X|F₂)|F₁)=E(X|F₁)=E(E(X|F₁|F₂)ponieważ E(X|F₁)jest F₂-mierzalna

8.E(X)=E(X|F)p.n.; F₁=Ω, ∅, F₂=F; E(X)=E(X|F₁)=E(E(X|F₂)|I₁)=E(X|F₂)=E(X|F)

9. Jeśli X,Y zm. losowe; X jest F-mierzalna oraz X, XY są całk. to E(XY|F)=XE(Y|F)p.n.

w szczególności jeśli E(Xg(Y)|Y)=g(Y)E(X|Y), g pewna funkcja borelowska z R w R

Niech Y= 1_B, B∈ F, A∈ F *_AE(X1_B|F)dp=*_AX1_Bdp =* _A∩B Xdp=* _A∩B E(X|F)dp =*_A1_BE(X|F)dp

Def. (Ω,F, p)- prz. prob. X: Ω *R -zm. losowa całkowalna ,Y zm. losowa wielowymiarowa;

σ(Y) tworzone przez Y:Y jest zm. losową mierzalną Y: (Ω , σ(Y)) *(Rⁿ _, B(Rⁿ))

E(X |σ(Y))=E(X|Y)

Prawdopodobieństwo warunkowe względem σ -ciała

Def. Prawdopodobieństwem warunkowym zbioru B pod warunkiem σ- ciała F nazywamy wersję warunkową wartości oczekiwanej P(B|F):=E(1_B|F) ; P(B|F)- jest zm. losową

Tw. Jeśli F = σ({A_i|i∈I}) I- przeliczalny zbiór indeksów, to p (B|F)=∑ p(B|A_i)1A_i

D: P(B|F)=E(1_B|F)=∑p(1_B|A_i)1A_{i ;} E(1_B|A_i)=1/p(A_i) *_Ai1_Bdp=1/p(A_i)* _Ai∩B dp =1/p(A_i)p(A_i∩B)= p(B|A)

Własności podstawowe:

1. P(⋅|F)jest zm. losową F- mierzalną

2. A∈F: p(A∩B)=*_A1_Bdp=*_AE(1_B|F)dp=*_Ap(B|F)dp ; p(A∩B)=*p(B|F)dp (A∈E, B∈A)

3.0*P(B|F) *1

4. B_n∈ A (n=1,2....) B_n∩B_m=∅ (n≠m, n,m=1,2,...)⇒p(∪^∞B_n|F)=∑^∞p(B_n|F)p.n.

D: A- dowolny zbiór z F *_Ap(∪^∞B_n|F)dp = p((∪^∞B_n∩A)=p(∪^∞(B_n∩A))= ∑^∞P(B_n∩A) = ∑^∞*_Ap(B_n∩A)dp=*_A∑^∞P(B_n|F)dp to są całki Lebesque′a

Def: Regularnym rozkładem warunkowym względem F nazywamy

funkcję P_F(⋅,⋅):Ax A →[0,1]

(i)∀B∈ A, P_F(B)=E(1_B|F)

(ii)∀ω∈Ω P_F(⋅,ω)jest rozkładem prawdopodobieństwa na A; P_F(⋅,ω): A →R₊

Tw. Niech X zm. losowa całk., a P_F(⋅,⋅)-regularny rozkład warunkowy względem F wtedy

E(X|F)(ω)=*_ΩX(ϖ)dP_F(dϖ,ω) p.n.

Y:Ω→Rⁿ zm losowa wielowymiarowa

Można wziąć F= σ(Y); E(X) σ(Y)) nie zawsze X jest σ(Y) mierzalne

^{=def E(X|Y)}

Jeśli X⋅Ω→R- jest mierzalna względem σ(Y)⇒∃h:(Rⁿ, B(Rⁿ))→ (R,B( R)) funkcja borelowska tzn. mierzalna wg tych struktur mierzalnych

g^~1(B)∈B(Rⁿ)∀B∈B(R)

X=h•Y //X=h(Y)

D: metoda komplikacji zm.los X, tzn. X=1_A, A∈σ(Y)

⇒∃B∈B(Rⁿ): A=Y^-1(B)={ω∈Ω)|Y(ω)∈B}

X(ω)=1_A(ω)=1_B(Y(ω))=(1_B•Y)(ω)

Komplikacja teraz ∑ c_k1_A

E(X|Y)- σ(Y) mierzalna ⇒∃h :Rⁿ→R: E (X|Y)=h(Y)

Tw. Niech X: Ω→R zm. los. całkowalna (E(|X|)<∞, Y:Ω→Rⁿ wektor losowy, to∃h: Rⁿ→R funkcja borelowska E(X|Y)=h(Y)

Def. Niech X,Y,h- takie jak powyżej, to warunkową wart ocz. zm los. X pod war. {Y=y}

E(X|{Y=y})=h(y) ; E(X){Y=y})= 1/P({Y=y})*_{Y=y}Xdp=h(y)

E(X|Y=X)=ϕ(X)⇒E(|Y)=^tw.5ϕ (Y)

Uogólnienie:

Niech (Ω,A,p) -pewna prz. probabilistyczna A∈ A: p(A)>0

Def p(A|Y=y):=E(1_A|Y=y}

Tw. Jeśli (X,Y)ma rozkład ciągły z gęstością g to

P(X∈B|Y)=*_Bg(X,Y)dx/*_-∞^+∞g(X,Y)dx, E(ϕ (X)|Y)= *_-∞^+∞ ϕ (X)g(X,Y)d x/*_-∞^+∞g(X,Y)dX,

Dla takich funkcji borelowskich ϕ, że E(ϕ (X)|<∞,

Gdy dla pewnego zdarzenia elementarnego ω *_-∞^+∞g(X,Y(ω))d X=0 to kładziemy w obu wzorach z prawej strony wartość 0.