1.ROZKŁAD DWUMIANOWY

Mamy N niezależnych zmiennych losowych
. Wszystkie zmienne
maja jednakowy rozkład binarny:
,
, przy czym k=1,2,…,n. Niech
oznacza zmienną losowa będącą sumą zmiennych

.Zmienne
mogą przyjmować wartości 0 i 1, wiec zmienna
przyjmuje wartości całkowite od 0 do n. Prawdopodobieństwo tego ,że zmienna losowa
przyjmuje konkretną wartość m, wynosi
, m= 0,1,2,…,n. Funkcja charakterystyczna zmiennej o rozkładzie dwumianowym ma następującą postać:

Wartości pierwszej i drugiej pochodnej funkcji charakterystycznej w zerze to:

,

.

Dwa pierwsze momenty zmiennej losowej w rozkładzie dwumianowym wynoszą:

,

.

Wariancja:
.

2.ROZKŁAD POISSONA

Zmienna losowa
ma rozkład Poissona, jeżeli przyjmuje wartości 0,1,2,…,n…z prawdopodobieństwem
,gdzie
jest dodatnią stałą .Rozkład Poissona zależy od parametru
. Funkcja charakterystyczna dla rozkładu Poissona:
.

Dwie pierwsze pochodne funkcji charakterystycznej są równe:

,

, skąd
j
,
. Dwa pierwsze momenty zmiennej losowej o rozkładzie Poissona mają postać:
,
. Wariancja:

.

3.ROZKŁAD NORMALNY (GAUSSOWSKI):

Zmienną losową X o gęstości prawdopodobieństwa
- (rozkład normalny(gaussowski)),
,

nazywamy zmienna gaussowską. Funkcja charakterystyczna zmiennej gaussowskiej ma postać:
.Wszystkie nieparzyste momenty centralne zmiennej o rozkładzie normalnym są równe zeru :
, l = 0,1,2,… Momenty parzyste wynoszą:

, l = 0,1,2,… .Gęstośc prawdopodobieństwa zmiennej gaussowskiej wielowymiarowe określona jest przez momenty rzedu pierwszego i drugiego : EX_l =
.

4. ROZKŁAD RAYLEIGHA.

Rozkład Rayleigha opisany gęstością prawdopodobieństwa :

5.NIERÓWNOŚCI CZEBYSZEWA.

Dla zmiennej X przyjmującej wartości nieujemne i o skończonej wartości średniej słuszna jest następująca nierówność:

- pierwsza nierówność Czybyszewa. Dla zmiennych losowych ciągłych opisanych gęstościami prawdopodobieństwa p(x) wynika, że

.

Niech zmienna X ma skończoną wartość EX oraz skończoną wariancję WX. Wówczas dla każdego
> 0 zachodzi nierówność:

- druga nierówność Czebyszewa. Jeśli przyjmiemy, że
= kσ_x (k>0), to powyższa nierówność sprowadza się do postaci :
.

6. PRAWO WIELKICH LICZB.

Niech X₁ , X_2, ..., X_n ,…będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o średnich i wariancjach oznaczonych odpowiedni przez EX_k = α(k);

W(X_k) =α ²_k , k = 1,2,3,… przy warunku

, dla dowolnego

>0 mamy :

= 0.

Prawo wielkich liczb sformułowane przez Markowa zachodzi w szczególnym przypadku, gdy wszystkie zmienne mają jednakowe rozkłady jak powyższy wzór.

Wzór upraszcza się:
, przy czym α jest wspólną wartością średnią zmiennych.

7.TWIERDZENIA GRANICZNE.

Twierdzenie Lindeberga - Levy'ego:

Mamy dany ciąg X_1, X_2, …zmiennych losowych niezależnych o jednakowych rozkładach. Zmienne maja skończoną wartość średnią i wariancję: EX_n = α

W(X_n) = α² n = 1,2,…