27. Nieskończenie głęboka studnia potencjału a model Bohra.

Nieskończona studnia potencjału.

Jeżeli energia cząsteczki nie pozwala jej na opuszczenie określonego obszaru powstają tzw. stany związane.

Stan związany ma skwantowany wektor falowy k, tzn. tylko niektóre wartości wektora falowego są spełnione, ponieważ musi powstać fala, która ma węzły na barierach.

Potencjał nieskończenie głębokiej prostokątnej studni ma tę własność, że wiąże cząstkę o skończonej energii E
0. W mechanice klasycznej dozwolona jest dowolna wartość energii, natomiast w mechanice kwantowej dozwolone są tylko pewne dyskretne wartości własne E_n. Dla niezbyt dużych wartości liczby kwantowej n odpowiadające im wartości własne i funkcje własne użyte być mogą jako przybliżenie odpowiadających im wartości własnych i funkcji własnych dla potencjału o dużym, lecz skończonym V₀.

Nieskończona studnia potencjału.

W obszarach I i III cząsteczka nie występuje i funkcja falowa zanika

W obszarze II równanie Schrödingera ma postać

Rozwiązanie tego równania zapisujemy w postaci :

Można też szukać rozwiązań postaci

,

jednak w przypadku ruchu ograniczonego wygodniej jest używać funkcji sinus i cosinus. Z ciągłości funkcji falowej dla  
 otrzymujemy :

(Uwaga: w przypadku nieskończonego skoku potencjału nie uciąglamy pochodnej funkcji falowej ).

Oba te warunki muszą być spełnione, więc wybieramy taką wartość k, by
, jednocześnie zakładając, że A = 0, albo wybieramy takie k,by
i B = 0.

Ze związku
i ze wzorów na dozwolone wartości k otrzymujemy:

Dochodzimy więc do wniosku, że dozwolone są tylko pewne wartości energii całkowitej E, czyli że jest ona skwantowana.

Szczególnie interesująca jest pierwsza wartość własna energii dla nieskończenie głębokiej studni prostokątnej, którą nazywa się energią drgań zerowych. Jest to najniższa możliwa energia całkowita, jaką może mieć cząstka ograniczona przez potencjał nieskończenie głębokiej studni. Energia drgań zerowych nie jest równa zeru. Zjawisko to jest w zasadzie wynikiem zasady nieoznaczoności. Jeśli obszar, w którym przebywa cząstka jest ograniczony przez potencjał, wówczas znamy współrzędną x tej cząstki z niepewnością rzędu
. Zatem niepewność x-owej składowej pędu tej cząstki musi być przynajmniej równa

.
Z zasady nieoznaczoności wynika, że cząstka związana przez ten potencjał nie może mieć całkowitej energii równej zeru, bo oznaczałoby to, że niepewność jej pędu też jest równa zeru. W szczególnym przypadku wartości własnej E₁ pęd jest równy co do wartości bezwzględnej

.
Cząstka może poruszać się w dowolnym kierunku; faktyczna więc wartość pędu nie jest określona i jego niepewność jest rzędu
.

Wnioskujemy więc, że istnienie energii drgań zerowych wynika z konieczności istnienia ruchu zerowego. Stoi to w sprzeczności z zasadami fizyki klasycznej.

W analogiczny sposób można pokazać, że dla studni potencjału spełniającej warunek V(x)=0 dla 0  
 x  
 a otrzymywane funkcje falowe są postaci

Stałą A znajdujemy z warunku unormowania prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pudle, a mianowicie :

Ponieważ

Model Bohra atomu wodoru

Postulaty Bohra:

Model Rutherforda nie przewidywał dyskretnego charakteru widma promieniowania wysyłanego przez atomy oraz nie wyjaśniał stabilności atomów (energia atomów maleje, bo elektrony tracą energie na promieniowanie).

Sprzeczności te usunął Niels Bohr proponując nowy kwantowy model budowy atomu. Klasyczny obraz planetarnego atomu zbudowanego z masywnego jądra i krążących wokół niego pod wpływem siły kulombowskiej elektronów Bohr rozszerzył o nowe kwantowe postulaty:

Warunki kwantowania

Bohr poszukiwał zasady, która dopuszczałaby tylko pewne promienie orbit, czyli tylko pewne wartości energii elektronów. Zasada, którą zaproponował Bohr mówiła, że moment pędu elektronu musi być całkowitą wielokrotnością stałej Plancka podzielonej przez 2π.

gdzie stała n oznacza liczbę kwantową.

Postulat ten opisuje kwantyzację momentu pędu L. Ale okazuje się, że gdy jakakolwiek z wielkości charakteryzujących stan elektronu: E_k, E_p, E, v, v₀ , p, i L jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Powtórzymy teraz podane przez Bohra wyprowadzenie wzorów na dozwolone promienie orbit i wartości energii elektronów:

Założenia:

Korzystając z drugiej zasady Newtona i prawa Coulomba otrzymujemy:

F = ma

albo

Uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujemnym elektronem zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. Czy słusznie?

Powyższy wzór pozwala obliczyć energię kinetyczną:
 
 

Energia potencjalna układu elektron - proton jest dana równaniem:

Całkowita energia układu wynosi:

Ponieważ, promień orbity może przyjmować dowolną wartość więc i energia też może być dowolna. Ze wzoru na energię kinetyczną możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu:
 

a następnie częstotliwość:

Pęd dany jest równaniem:

a moment pędu:
 

Jeżeli jest dane r, to znane są również parametry orbitalne: E_k, E_p, E, v, v₀, p, oraz L.

Tak więc j jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Na tym etapie posłużymy się hipotezą Bohra, według której najprostsza jest kwantyzacja parametrów orbity i którą zastosował do momentu pędu L.

Łącząc powyższe równanie z postulatem Bohra dla L, otrzymujemy:
 
 

Widzimy jak skwantowane jest r. Podstawienie tego równania do wyrażenia na energię całkowitą daje:
 
 

To równanie przedstawia wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych.