Część 7

Stabilnosc

Stabilnosc jest cecha układu, polegajaca na powracaniu do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytraciło układ z tego stanu.

Zamkniety układ liniowy bedziemy uwa_ac za stabilny, je_eli:

• przy ka_dej skonczonej wartosci zakłócenia z(t) i

• przy ka_dej skonczonej wartosci zadanej w(t) oraz

• dla dowolnych warunków poczatkowych

sygnał wyjsciowy y(t) da_yc bedzie do skończonej wartosci ustalonej dla czasu da_acego do nieskonczonosci.

Układ jest stabilny asymptotycznie, gdy po zaniknieciu zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi co zajmowany poprzednio.

Układ zamkniety opisany jest za pomoca liniowego równania ró_niczkowego lub odpowiadajacej mu transmitancji operatorowej:

Równanie charakterystycznego układu zamknietego - (mianownik transmitancji operatorowej równy zeru)

Pierwiastki równania charakterystycznego układu zamknietego - sk

Stabilnosc jest cecha układu, nie zale_y od charakteru zakłócenia

Aby stwierdzic czy dany układ jest stabilny, wystarczy zbadac przebieg jego charakterystyki impulsowej:

Konieczny i dostateczny warunek stabilnosci

Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilnosci

asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania

charakterystycznego układu zamknietego były ujemne lub miały ujemne czesci rzeczywiste:

Układ jest stabilny nieasymptotycznie, jesli jego

równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków

ujemnych i zespolonych o ujemnych czesciach

rzeczywistych posiada jeden pierwiastek zerowy

Układ jest niestabilny, jesli jego równanie

charakterystyczne posiada wiecej ni_ jeden pierwiastek

zerowy lub pierwiastki dodatnie lub zespolone o

dodatnich lub zerowych czesciach rzeczywistych

Stabilność

Ograniczenie stosowalnosci kryterium bezpośredniego

Trudnosci wyznaczenia pierwiastków równania charakterystycznego układów opisanych równaniami ró_niczkowymi wy_szych rzedów (wyskoki stopien równania charakterystycznego)

Stabilnosc jest cecha układu, nie zale_y od charakteru zakłócenia

Metody oceny stabilnosci bez koniecznosci obliczania pierwiastków

równania charakterystycznego:

• kryterium Hurwitza

• kryterium Michajłowa

• kryterium Nyquista

Kryterium Hurwitza

Warunek 1

wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istnieja i maja jednakowy znak (warunek konieczny, ale niedostateczny)

Warunek 2 - podwyznaczniki Di, od i=2 do i=n-1, wyznacznika głównego Dn sa wieksze od zera. Wyznacznik Dn, utworzony ze współczynników równania charakterystycznego, ma n wierszy i n kolumn:

Kryterium umo_liwia stwierdzenie stabilnosci nieasymptotycznej i

asymptotycznej. Stabilnosc nieasymptotyczna zachodzi wtedy, gdy w

równaniu charakterystycznym współczynnik:

Nie mo_na badac stabilnosci układów, w których wystepuja człony opóźniające

Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista - pozwala badac stabilnosc układu (tylko) zamknietego na podstawie przebiegu charakterystyki czestotliwosciowej układu otwartego, która mo_na wyznaczyc zarówno analitycznie, jak i doswiadczalnie

Kryterium Nyquista- przypadek 1

Układ otwarty jest stabilny. Równanie harakterystyczne układu twartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich zesciach rzeczywistych (mo_e miec pierwiastki zerowe).

Przypadek ten dotyczy znacznej wiekszosci układów. Kryterium dnoszace sie tylko do tego przypadku nazywa sie uproszczonym

Warunek stabilnosci układu zamknietego:

Je_eli równanie charakterystyczne układu

otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o

dodatnich czesciach rzeczywistych, to układ

zamkniety jest stabilny, je_eli charakterystyka

amplitudowo-fazowa układu otwartego GO(j_) dla

pulsacji _ od 0 do +_ nie obejmuje punktu (-1,j0).

Je_eli otwarty układ regulacji automatycznej jest

stabilny i jego charakterystyka amplitudowofazowa

GO(j_) dla pulsacji _ od 0 do +_ nie

obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po

zamknieciu bedzie on równie_ stabilny.

W przypadku zło_onego kształtu krzywych GO(j_) wygodnie jest posługiwanie sie z tzw. „reguły lewej strony”: układ zamkniety jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje sie w obszarze le_acym po lewej stronie charakterystyki GO(j_), idac w strone rosnacych _.

Kryterium Nyquista- przypadek 2

Warunek stabilnosci układu zamknietego:

Je_eli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej półpłaszczyznie zmiennej s, to po zamknieciu bedzie on stabilny

wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego dla pulsacji _ od 0 do +_ okra_a m/2 razy punkt (-1,j0) w

kierunku dodatnim

Zastosowanie tego kryterium wymaga znajomosci liczby pierwiastków równania charakterystycznego układu otwartego z dodatnia czescia rzeczywista, co bardzo

ogranicza jego znaczenie. Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdy_ układy automatyki spotykane w praktyce sa zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0).

Zapas stabilności

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

układów otwartych (po zamknieciu: układ a stabilny,

układ b niestabilny)

Logarytmiczne kryterium Nyquista

Warunek stabilnosci dla charakterystyk czestotliwosciowych podanych

w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(_)

i fazowej _(_):

Charakterystyka amplitudowofazowa, charakterystyka Black'a:

Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla

zło_onych układów otwartych (a - stabilny, b - niestabilny)

Je_eli układ otwarty jest stabilny, to układ zamkniety stabilny jest wtedy, gdy liczba wartosci dodatnich L(_x) jest parzysta, a niestabilny - gdy liczba wartosci dodatnich L(_x) jest nieparzysta

Zalety kryterium Nyquista

_ Charakterystyki czestotliwosciowe układu otwartego mo_na wyznaczyc doswiadczalnie i analitycznie

_ Mo_na nie tylko zbadac stabilnosc, ale tak_e okreslic oddalenie układu od granicy stabilnosci

_ Umo_liwia badanie stabilnosci układów zawierajacych człony opózniajace

Kryterium Michajłowa

Kryterium Michajłowa pozwala na wykreslne sprawdzenie stabilności układu regulacji automatycznej.

Równanie charakterystyczne układu zamknietego mo_na przedstawic

w postaci:

Kryterium Michajłowa

Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny

wtedy i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(j_) przy zmianie

pulsacji od 0 do + _ wynosi n_/2, gdzie n oznacza stopien równania

charakterystycznego.

Krzywa N(j_) nazywa sie niekiedy krzywa charakterystyczna lub hodografem Michałowa

Jako zmienna niezale_na s mo_emy wybrac m.in. zbiór punktów

poło_onych na osi liczb urojonych, wówczas s = j_:

Ka_dy z czynników (j_ - sk) mo_na przedstawic graficznie jako ró_nice

dwóch wektorów, wektora j_ oraz wektora sk przedstawiajacego k-ty

pierwiastek równania charakterystycznego.

Funkcje N(j_), jako funkcje zmiennej zespolonej, mo_na przedstawic

w postaci wykładniczej:

Je_eli przyjmujemy, _e sposród n pierwiastków równania charakterystycznego (n-m) pierwiastków znajduje sie w lewej półpłaszczyznie, a m pierwiastków w prawej, to zmiana argumentu N(j_) przy zmianie _ od -_ do +_ wyniesie:

Kryterium Michajłowa - układ regulacji automatycznej jest stabilny wtedy

i tylko wtedy, gdy zmiana argumentu krzywej N(j_) przy zmianie pulsacji od 0 do + _ wynosi n_/2, gdzie n oznacza stopien równania charakterystycznego.

Kryterium Nyquista- przypadek 2

Układ otwarty jest niestabilny. Równanie charakterystyczne układu

otwartego ma (n-m) pierwiastków w lewej półpłaszczyźnie

zmiennej s oraz m pierwiastków w prawej półpłaszczyznie .

Przykłady odpowiedzi układu