1. Definicja pochodnych cząstkowych I-go rzędu w P₀

Jeżeli istnieje skończona granica
to mówimy, że istnieje pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) w P₀ względem x, równa tej granicy i oznaczamy ją:

lub
lub

Jeżeli istnieje skończona granica

to mówimy, że istnieje pochodna cząstkowa funkcji f(x,y) w P₀ względem y, równa tej granicy i oznaczamy ją:

lub
lub

2. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

Mówimy że funkcja f(x,y) ma w P₀ (x₀,y₀) maksimum (minimum) lokalne jeśli

4. Warunek konieczny istnienia ekstremum.

Jeśli f(x,y) ma w U(P₀,δ) pochodne cząstkowe I-go rzędu i osiąga w P₀ ekstremum to

punkt P₀ nazywamy punktami STACJONARMYMI

Warunek wystarczający istnienia ekstremum.

Jeżeli f(x,y) ma w U(P₀,δ) ciągłe pochodne cząstkowe II-go rzędu i zachodzą warunki:

to w P₀ istnieje maksimum (minimum) jeżeli
,
,

(

).

Jeżeli W(P₀)<0 to ekstremum w P₀ nie istnieje. Jeżeli W(P₀)=0 to nic nie wiadomo.

6. Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.

Liczbę zespoloną interpretujemy jako punkt (a, b) na płaszczyźnie Gausa, w której wyróżniamy dwie wzajemnie prostopadłe osie zwane odpowiednio:

-poziomą-oś rzeczywista

-pionową-oś urojona

Niech z=a+bi

Imz

b (a,b)

Rez

a

7.Działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej (kartezjańskiej)

Mnożenie:z₁z₂=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂)i

Dzielenie:

Pierwiastkowanie:

Potęgowanie:

Wyprowadzenie wzoru na z_1*z₂, z_1/z₂

z₁z₂=(a₁+b₁i)(a₂+b₂i)=a₁a₂+b₁ia₂+a₁b₂i+b₁b₂i²=(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+b₁a₂)i

10. Równanie o zmiennych rozdzielnych.

Równanie rozdzielnych zmiennych nazywamy równanie postaci:

Ponieważ y'=dz/dx powyższe równanie można zapsać też:

Otrzymane równanie obustronnie całkujemy:

np.

11. Równanie różniczkowe jednorodne.

Równanie różniczkowe jednorodne nazywamy rónanie typu
,
gdzie f jest funkcją ciągłą w I i zależy tylko od ilorazu
, przy czym

Równanie to rozwiązujemy przez podstawienie

i sprowadzić do równania o rozdzielnych zmiennych

12. Równanie różniczkowe liniowe jednorodne

Równaniem różniczkowym liniowym I-go rzędu nazywamy równanie postaci

Jeżeli g(x)=0 to jest to równanie liniowe jednorodne.

Równanie liniowe rozwiązujemy metodą UZMIENNIANIA STAŁEJ (metoda LAGRANGEA

13. Równanie różniczkowe Bernoulliego.

Równanie różniczkowe Bernoulliego jest to równanie postaci:

Dla n=0 i n=1 jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy to równanie przez postawienie.
i sprowadzamy w ten sposób do r. liniowego.

14 Równanie różniczkowe zupełne

Jeżeli w równaniu postaci:

Zachodzi
to równanie to nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym. Przy tak spełnionym warunku rozwiązaniem tego równania, jest f-cja U(x,y), którą wyznaczamy z układu równań:

a całką ogólną : U(x,y)=c

15. Równanie liniowe II-go rzędu o stałych współczynnikach, równanie charakterystyczne i postacie rozwiązania w zależności od delty.

Równanie liniowe II-go rzędu o stałych współczynnikach nazywamy równanie postaci:

W przypadku gdy f(x)=0 to jest to równanie różniczkowe liniowe jednorodne

Dla równania tego przewidujemy rozwiązanie w postaci

Jest to tzw równanie charakterystyczne, rozpatrujemy 3 przypadki:

1)delta>0

2)delta=0

3)delta<0

1)delata>0 i równanie ma 2 pierwiastki rzeczywiste różne r1,r2 czyli y1=e^rx, y2=e^e2x. Na mocy odpowiedniego twierdzenia również tw. Kombinacja liniowa tych rozwiązań jest rozwiązaniem:

2) delta=0: pierwiastki są rzeczywiste i równe czyli r₁=r₂=r₃. Rozwiązaniem są wiec y₁₌e^rx oraz y₂₌xe^rx czyli

3)delta<0: pierwiastki sa liczbami zespolonymi sprzężonymi czyli r₁=a+bi , r₂=a-bi i rozwiązaniami sa y₁=e^axcosbx , y₂=e^axsinbx , a wiec y=c₁ e^axcosbx + c₂ e^axsinbx

17. Definicja obszaru normalnego względem osi ox oraz względem osi oy.

Obszar D_ЄR² nazywamy obszarem normalnym względem osi ox, jeśli jest określony nierównościami.

y

D

g=f₂(x)

f=f(x)

a b

Obszar D_ЄR² nazywamy obszarem normalnym względem osi oy, jeśli jest określony nierównościami:

y

d

D x=φ₂(y)

x=φ₁(y)

c

20.Zastosowanie calki podwojnej w geometri

objetosc

Pole Plata powierzchniowego

Pole