Aproksymacja i interpolacja

Celem pracy jest wyznaczenie wzoru aproksymującego i wartości funkcji w zadanych punktach.

W pracy na podstawie danych doświadczalnych (pierwsze 10 punktów w tabeli) należy wyznaczyć optymalny stopień wielomianu aproksymującego, obliczyć współczynniki tego wielomianu oraz wartość funkcji w zadanych punktach za pomocą tego wielomianu. Dla każdego wariantu podano również dokładność pomiaru zmiennych x i y (odpowiednie wariancji: sigmax i sigmay), które mogą służyć pomocą podczas określenia optymalnego stopnia wielomianu aproksymującego.

Wariant # sigmax= 0.0294 sigmay= 0.7766

Wykonanie ćwiczenia:

Wprowadzić linię trendu, zadając typ: wielomian z odpowiedni stopniem. Wyświetlić wzór wielomianu na wykresie. Współczynniki wykorzystać dla wyznaczenia na arkuszu wartości funkcji aproksymującej i wyznaczenia błędu aproksymacji. Powtórzyć to dla wielomianów różnego stopnia (poczynając od drugiego).

Uwaga: dla wyboru optymalnego stopnia wielomianu zastosować dwa kryteria. Pierwszy jest porównanie błędów aproksymacji dla wielomianów różnego stopnia poczynając od pierwszego. Wzór błędu aproksymacji:

,

gdzie S_n - blęd aproksymacji, czyli suma kwadratów odchyleń mierzonych wartości funkcji y_i od wartości obliczonych f(x_i), odniesiona do stopni swobody aproksymacji (N-n-1) (odchylenia są wywołane błędami przypadkowymi pomiarów), N - liczba punktów, n - stopień wielomianu.

Drugie kryterium jest związane z dokładnością pomiarów. Czyli, jeżeli przy aproksymacji wielomianem n-go stopnia wszystkie błędy będą mniejsze od 3σ_y (bardziej dokładnie należy uwzględnić również odchyłkę dla x, czyli, 3σ_x). Dla tego bardzo przydatnymi są słupki błędów. Wówczas, jeżeli krzywa nie omija żaden punkt na wykresie poza słupkami błędu, aproksymację należy uznać wystarczającej.

W sprawozdaniu należy przedstawić wyniki obliczeń: