Prawo Hooke'a: (przy małych odkształceniach) odkształcenie sprężyste ciała jest proporcjonalne do przyłożonych do ciała sił: F=-kx₀ F - siła sprężystości, k-współczynnik sprężystości sprężyny, x_o- odkształcenie ciała

Rozważamy ciężarek o masie m zawieszony na sprężynie - tzw wahadło sprężynowe.

Ciężarek spoczywa, gdy znajduje się w położeniu równowagi. Działają na niego wtedy dwie równoważące się siły: siła ciężkości P=mg oraz siła sprężystości rozciągniętej sprężyny, działająca w kierunku przeciwnym do kierunku odkształcenia

F₀=-kx_O. Z równania równowagi P+F_o=0 wynika, że mg = kx₀. Z zależności tej możemy obliczyć współczynnik sprężystości k sprężyny zależny od materiału, z którego sprężyna jest wykonana
. Gdy ciężarek jest odchylony o x od położenia równowagi, pojawia się niezrównoważona siła sprężystości F = -kx, a całkowite wydłużenie sprężyny jest równe z = x₀ + x. Równanie ruchu tego ciała możemy wtedy zapisać
, co po przekształceniu da wzór:
. Ruch ciężarka zawieszonego na wahadle sprężynowym jest więc ruchem harmonicznym.

Aby obliczyć okres drgań wahadła sprężynowego korzystamy z zasady zachowania energii: E_k + E_p = const,

E_k jest sumą energii kinetycznej ciężarka E_kc oraz energii kinetycznej sprężyny E_ks. Energia kinetyczna ciężarka dana jest wzorem:
. Aby obliczyć energię kinetyczną sprężyny bierzemy pod uwagę jej element dy, którego prędkość zależy od odległości od punktu zawieszenia sprężyny. Gdy sprężyna jest jednorodna, prędkość elementów dy przypadających na jednostkę długości sprężyny y otrzymujemy dzieląc różnicę prędkości końców sprężyny dx/dt przez długość sprężyny l, a energia kinetyczna tego elementu dana jest wzorem:

, czyli
.

Energia potencjalna układu względem stanu równowagi obliczamy jako pracę potrzebną do wydłużenia sprężyny o x:
.

Podstawiamy powyższe wzory do E_kc + E_ks + E_p = const i obliczamy pochodną tego wyrażenia po czasie . Po uproszczeniu otrzymujemy równanie ruchu układu:
.

Z zależności
, wynika że
. Wzór na okres drgań układu sprężyna-ciężarek dany jest zatem wzorem:
.

Moduł Younga
, gdzie σ jest naprężeniem normalnym, zdefiniowanym jako stosunek siły normalnej do pola przekroju ciała, a ε jest odkształceniem względnym, równym stosunkowi przyrostu długości do długości początkowej.

Moduł sztywności
, gdzie τ jest naprężeniem stycznym, zdefiniowanym jako stosunek siły stycznej do pola przekroju ciała, a γ jest odkształceniem ciała, równym tangensowi kąta nachylenia ciała pod wpływem siły stycznej.

Dla sprężyny
, gdzie n jest ilością zwojów, R promieniem zwoju, a r promieniem druta, z którego wykonano sprężynę.

Literatura:

PWN Warszawa 1975

ZADANIE A

Dla pomiarów dopasowano linię prostą y = a x najlepiej odpowiadającą otrzymanym wartością - współczynniki dopasowania są następujące:

Dla sprężyny 1

- obliczam współczynnik a prostej y = a x

=
= 3,275 [m
]

- obliczam błąd bezpośredni

=
= 0,224 [m
]

- przyrównuję współczynnik kierunkowy a do wzoru na wydłużenie sprężyny (zależne od masy)

x =
, co pozwala na wyznaczenie współczynnika sprężystości k :

b =
=> k =
, gdzie g= 9,81

k=
= 2,995 [N
]

- szacuję błąd tak obliczonej wartości k metodą różniczki zupełnej

k =

k =
+
=
+
= 0,510 [N
]

Wartość współczynnika sprężystości dla sprężyny 1 i oszacowanie błędu jego wyznaczenia:

k= (2,995
0,510) [N
]

Dla pomiarów dopasowano linię prostą y = a x najlepiej odpowiadającą otrzymanym wartością - współczynniki dopasowania są następujące:

Dla sprężyny 2

- obliczam współczynnik a prostej y = a x

=
= 0,508 [m
]

- obliczam błąd bezpośredni

=
= 0,049 [m
]

- przyrównuję współczynnik kierunkowy a do wzoru na wydłużenie sprężyny (zależne od masy)

x =
, co pozwala na wyznaczenie współczynnika sprężystości k :

b =
=> k =
, gdzie g= 9,81

k=
= 19,311 [N
]

- szacuję błąd tak obliczonej wartości k metodą różniczki zupełnej

k =

k =
+
=
+

= 3,831 [N
]

Wartość współczynnika sprężystości dla sprężyny 2 i oszacowanie błędu jego wyznaczenia:

k= (19,311
3,831) [N
]

ZADANIE B

Dla pomiarów dopasowano linię prostą y = a x + b najlepiej odpowiadającą otrzymanym wartością - współczynniki dopasowania są następujące:

Dla sprężyny 1

- obliczam współczynnik a prostej y = a x + b

=
= 0,012 [
]

- obliczam błąd bezpośredni

=
= 0,001 [
]

- obliczam współczynnik b prostej y = a x + b

=
= 0,219 [
]

- obliczam błąd bezpośredni

= 0,001
= 0,119 [
]

- przyrównuję współczynnik kierunkowy a i b do wzoru na kwadrat okresu drgań (wraz z masą m obciążającą sprężynę)

=
+
, co pozwala na wyznaczenie współczynnika sprężystości k i
:

a =
=> k =

k=
= 3289,868 [N
]

b =
=>

= 18,25 [g]

- szacuję błąd tak obliczonej wartości k i
metodą różniczki zupełnej

k =

k =
=

= 9,015 [N
]

=
=

+

= 4,086 [N
]

Wartość współczynnika sprężystości dla sprężyny 1 i oszacowanie błędu jego wyznaczenia:

k= (3289,868
9,015) [N
]

= (18,25
4,086 ) [g]

Dla sprężyny 2

- obliczam współczynnik a prostej y = a x + b

=
= 0,001 [
]

- obliczam błąd bezpośredni

=
= 0,002 [
]

- obliczam współczynnik b prostej y = a x + b

=
= 0,014 [
]

- obliczam błąd bezpośredni

= 0,002
= 0,238 [
]

- przyrównuję współczynnik kierunkowy a i b do wzoru na kwadrat okresu drgań (wraz z masą m obciążającą sprężynę)

=
+
, co pozwala na wyznaczenie współczynnika sprężystości k i
:

a =
=> k =

k=
= 39478,418 [N
]

b =
=>

= 18,25 [g]

- szacuję błąd tak obliczonej wartości k i
metodą różniczki zupełnej

k =

k =
=

= 1,086 [N
]

=
=

+

= 1242,285 [g]

Wartość współczynnika sprężystości dla sprężyny 2 i oszacowanie błędu jego wyznaczenia:

k= (39478,418
3,831) [N
]

= (18,25
1242,285 ) [g]

Podczas wyznaczania współczynnika sprężystości metodą statyczną ( obciążenie masą sprężyny) wystąpiły nieznaczne niepewności wynikające głównie z pomiaru wydłużenia sprężyny ( możliwy błąd przy odczycie wartości ze skali oddalonej od sprężyny oraz minimalne drgania sprężyny). Na niepewności ma także wpływ przybliżenie stałej g .

Przy metodzie dynamicznej (wprawienie w ruch drgający sprężynę) wystąpiły znaczne błędy pomiarowe spowodowane natężeniem siły wprawiającej w drgania sprężynę oraz refleksem człowieka. Dla niewielkich mas zawieszonych na sprężynie duża częstotliwość drgań mogła spowodować znaczne błędy przy wyznaczaniu okresu drgań (np. mierzono czas 19-21 okresów a nie 20).