BADANIE ANHARMONICZNOŚCI DRGAŃ WAHADŁA MATEMATYCZNEGO

WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO

ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO

1.Wprowadzenie teoretyczne

Wahadłem matematycznym płaskim nazywamy punkt materialny poruszający się po łuku w polu grawitacyjnym ruchem harmonicznym.

Równanie ruchu:

oraz
czyli

Energia wahadła

Ścisłe rozwiązanie wahadła, całka eliptyczna

Końcowy wynik jest to zależność okresu drgań T wahadła matematycznego od maksymalnego kąta wychylenia.

Z analizy tego wzoru wynika, że okres drgań wahadła matematycznego rośnie wraz ze wzrostem maksymalnego wychylenia
. Zjawisko anharmoniczności drgań polega na zależności okresu T od wychylenia początkowego
.

Gdy będziemy zmniejszać wartość kąta, to w końcu przy okres przestanie zależeć od wychylenia i otrzymamy:

Ostatnie przybliżenie (formalnie dla
) prowadzi do niezależności okresu wahań od amplitudy. Jest to tak zwany izochronizm wahań (przypadek drgań harmonicznych).

W praktyce występowanie zjawiska izochronizmu dla wahadła matematycznego w skończonym przedziale wartości
związane jest z oczywistą niedokładnością przyrządów pomiarowych. Im większa jest ta niedokładność, tym większy przedział wartości
, w którym występuje niezależność okresu drgań T od wychylenia początkowego.

Przyspieszenie ziemskie wygodniej wyliczyć przy pomocy wahadła różnicowego, w celu zminimalizowania błędów pomiaru długości. Używając wahadła matematycznego, przeprowadza się kilka eksperymentów dla różnej długości (a tego samego kąta maksymalnego wychylenia), a następnie przeprowadza wyliczenia dla różnicy długości, którą można zmierzyć o wiele precyzyjniej.

Tak więc dla długości l₀ okres drgań będzie:

zaś dla innej mniejszej długości l_i będzie krótszy i wyniesie:

Podnosząc oba równania do kwadratu i odejmując stronami po przekształceniach otrzymamy:

2.Opis wykonywanego doświadczenia:

Użyte przyrządy:

-statyw z przyczepioną miarką

-wahadło (ciężarek na sznurku)

-stoper elektroniczny z fotokomórką

Nasze doświadczenie składało się z dwóch części:

Otrzymaliśmy następujące wyniki:

Zależność okresu wahadła przy amplitudzie kątowej 25°:

Ponieważ nasz układ pomiarowy nie był całkiem symetryczny półokres wahadła puszczanego z prawej (p) i lewej (l) strony różnił się nieznacznie.

Zależność okresu wahadła (p i l to odpowiednio prawy i lewy półokres) od amplitudy kątowej przy stałej długości nici 75cm:

3.Opracowanie wyników:

Najpierw udowodnijmy, że wahadło jakim dysponowaliśmy jest anaharmoniczne. Jeśli byłoby izochroniczne to spełniona byłaby zależność

czyli okres wahadła nie zależałby od kąta wychylenia początkowego. I tak dla nici o długości 75cm=0,750m wahadło miałoby stały okres T=1,737s. Jak widać na poniższym wykresie znacznie różni się to od wyników doświadczalnych, wśród których możemy zaobserwować wyraźnie tendencję, iż im większy kąt wychylenia początkowego, tym dłuższy jest okres wahadła.

Jak widać na wykresie dane doświadczalne zdecydowanie rozmijają się z powyższym przybliżeniem. Okazało się, że możemy je zastosować tylko dla amplitudy kątowej dążącej do zera, co w praktyce oznacza, że możemy je wykorzystać dla kąta <10°. Dla większych kątów prawdziwsze jest natomiast przybliżenie podane już wcześniej:

gdzie
to nasza amplituda kątowa. Wtedy:

Gdzie przy l=0,750m, okres t1 to okres doświadczalny, t to okres z przybliżeniem uwzględniającym kąt. Niestety można zauważyć, że podczas naszego doświadczenia musiał wystąpić jakiś błąd gruby, ponieważ wyniki teoretyczne i empiryczne różnią się o pewną wartość prawie stałą.

Niemniej jednak udowodniliśmy, że nasze wahadło było wahadłem anaharmonicznym.

Teraz przejdźmy do obliczania g.

Stosując wzór:

oraz poniższe podstawienie:

otrzymujemy:

Co na wykresie przedstawia się następująco:

Wedle takich wartości wyliczamy współczynnik kierunkowy prostej metodą najmniejszych kwadratów, i z danego współczynnika a wyliczamy g:

I tak otrzymujemy:

g=10,02m/s² +/-0.025m/s²

3.Dyskusja błędów:

Podczas wykonywania doświadczenia wystąpiły następujące błędy systematyczne:

Co przy α oszacowanej na 5° i β=25° daje nam

β

γ

b a

α

l

Błąd naszych zmiennych x i y liczymy metodą różniczki zupełnej i takie odchylenie nanieśliśmy na wykres w postaci słupków błędów:

Gdzie Δl=0,001m, zatem:

Jak widać błąd tu jest bardzo mały.

Dla y natomiast, gdy ΔT =0,006ms:

Prosta na wykresie to właśnie funkcja dopasowana metodą najmniejszych kwadratów, gdzie nasze a=3,940, a odchylenie standardowe a to 0,096. I tak, gdy nasze g=10,019 to metodą różniczki zupełnej:

Po podstawieniu wartości Δg=0,25 m/s².

4.Dyskusja otrzymanych wyników:

Celem naszego doświadczenia było wykazanie anaharmoniczności wahadła a także wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego g. Mimo iż wyniki doświadczenia mającego potwierdzać anaharmoniczność wahadła różnią się sporo nawet od modelu teoretycznego przyjmowanego za bardzo dobre, utrzymują tendencję rosnącą, co potwierdza tezę. Podczas pomiarów dla kąta 20° i 25°wystąpiły czynniki zewnętrzne.

Niestety nasz wynik g znacznie odbiega od ideału podanego w tablicach (g=9,807m/s²), jednak mieści wzór w granicy założonego przez nas błędu. Na tak dużą rozbieżność mogło wpłynąć wiele rzeczy. Przede wszystkim od samego początku psuł się nam stoper i mógł się rozregulować troszkę zakres (to by tłumaczyło błąd gruby podczas badania anaharmoniczności). Nie mogliśmy też ustawić wahadła poprawnie w pionie. Aby zapewnić swobodny spadek wahadła mogliśmy np. zastosować metodę naciągania go na cienką nitkę, po której podpaleniu wahadło zostałoby wprawiane w ruch.(Nasza prosta y=ax miała tak naprawdę postać y=ax+b, ale b było bardzo małe w dodatku w granicy swojego własnego odchylenia, więc je pominęliśmy).

Mimo iż naszym początkowym założeniem było 30°, okazało się, że stoper liczy drugi półokres, dla którego amplituda była już mniejsza o około 5°

Kolejne wartości p i l to kolejne wyniki odczytane ze stopera dla prawego i lewego półokresu. Pomiary kąta też obarczone są tu wyżej opisanym błędem i przy większych kątach, od 30° w górę należało odjąć 5°