szereg symetryczny asym. prawostronna asym. lewostronna

1. Wskaźnik skośności

2. Współczynnik skośności

3. Klasyczny współczynnik asymetrii

4. Pozycyjny współczynnik asymetrii (mierzy asymetrię w środkowej części rozkł.)

ZALEŻNOŚCI KORELACYJNE

Z korelacją mamy do czynienia wtedy, gdy wraz ze zmianą wartości jednej cechy zmienia się średnia wartość drugiej cechy (np. X to wzrost, Y to waga; X to zm.niezależna, Y to zm.zależna)

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona: - współczynnik do pomiaru siły związku między cechami X i Y w k™órych występuje zależność korelacyjna o charakterze liniowym. Współczynnik r korelacji liniowej Pearsona przyjmuje zawsze wartości z przedziału [-1, 1]. Znak współczynnika informuje o kierunku korelacji (liniowa ujemna lub liniowa dodatnia). Wartość bezwzględna
informuje o sile korelacji liniowej. W szczególnym przypadku, gdy
= 1, wówczas mamy do czynienia z korelacja˛ funkcyjna˛ (tzn. zależność´ Y od X można wyrazić´ za pomocą˛ funkcji Y = aX + b, gdzie a, b są˛ pewnymi stałymi). Współczynnik r mierzy tylko korelację o charakterze prostoliniowym. Gdy r = 0, wówczas mówimy, że nie ma korelacji liniowej (ale może być krzywoliniowa).

(druga część wzoru dla szeregu szczeg.)

|r| - mówi nam o sile korelacji:

mniej niż 0,2 - brak zależności liniowej, może być krzywoliniowa; 0,2 - 0,4 - zależność istnieje ale jest słaba; 0,4 - 0,7 - korelacja liniowa o umiarkowanej sile; 0,7 - 0,9 - korelacja silna, znaczna; 1 - korelacja funkcyjna

Znak współczynnika mówi nam czy korelacja jest dodatnia czy ujemna.

r_XY = r_YX

Współczynnik korelacji rang Spearmana: obliczana dla danych rangowych jest współczynnik korelacji rang Spearmana. Współczynnik r_S przyjmuje wartości z przedziału [-1, 1].

Wartość r_S = 1 oznacza, że istnieje całkowita zgodność uporządkowań wg rang a_i i b_i . Wartość r_S = -1 oznacza z kolei pełna˛ przeciwstawność uporządkowań między rangami.

Wartość r_S = 0 oznacza brak korelacji rang.

d_i = a_i - b_i różnica pomiędzy rangami

ranga - numer miejsca jaki znajduje wartość bądź wariant cechy w uporząd. niemalejąco lub nierosnąco ciągu wartości tej cechy.

r_S ∈< -1, 1>

r_S=1 istnieje całkowita zgodność uporządk. wg rang a_i i b_i

r_S=-1 pełna przeciwstawność uporządkowań między rangami

r_S=0 brak korelacji rang

REGRESJA LINIONA

Zmienna objaśniana (zmienna zależna) - zmienna będąca przedmiotem badania. Na ogół oznaczamy ją symbolem Y.

Zmienne objaśniające (zmienne niezależne) - zmienne, za pomocą których chcemy objaśnić zmiany zmiennej zależnej. Na ogół oznaczamy je symbolami X₁; X₂…

Funkcja regresji - funkcja odwzorowująca zależność pomiędzy zmienną objaśnianą Y a zmiennymi objaśniającymi.

W przypadku wielu zmiennych objaśniających mówimy o regresji wielorakiej, natomiast w przypadku jednej zmiennej objaśniającej - o regresji jednej zmiennej.

Równanie linii regresji:

a - współczynnik kierunkowy regresji; interpretacja: jeżeli X wzrośnie o jednostkę, to Y zmieni się (wzrośnie, spadnie) o wartość a jednostek.

b - wskazuje poziom zmiennej zależnej Y przy X=0, ale interpretujemy go wtedy gdy ma to uzasadnienie ekonomiczne, np.: x-liczba osób w gosp.dom.; y-wydatki na żywność; y=100x+200 (nie ma sensu interpretować 200 ponieważ nie ma wydatków gdy nie ma ludzi)

współczynniki a i r mają zawsze te same znaki, mogą mieć różne wartości

Relacja łącząca współczynnik regresji i współczynnik korelacji liniowej Pearsona. Współczynniki a i r maja˛ zawsze ten sam znak, przy czym współczynnik b nie musi należeć do przedziału [-1, 1], w przeciwieństwie do współczynnika r korelacji liniowej Pearsona.

Współczynnik determinacji, określa stopień dopasowania wartości teoretycznych do danych empirycznych:

∈<0,1> im bliżej 1 tym lepsze dopasowanie.

R² = 0,95 około 95% zmiennej Y jest wyjaśniana przez model regresjii.

Średni błąd szacunku:

mówi nam o ile przeciętnie teoretyczne wartości zmiennej zależnej odchylają się (różnią się) od wartości empirycznych.

SZEREGI CZASOWE OKRESU/MOMENTU:

Szereg czasowy momentów, to szereg zawierający informacje o poziomach badanego zjawiska w określonych momentach pewnego przedziału czasowego, np. stan ludności Polski w określonych latach. Szereg czasowy okresów zawiera informacje o rozmiarach zjawiska w ciągu kolejnych okresów danego przedziału czasowego, np. liczba urodzeń w danych latach.

Analiza szeregów:

1. Analiza opisowa szeregu czasowego:

średnia arytmetyczna (szeregi czasowe okresów)

średnia chronologiczna (szeregi czasowe momentów)

wariancja i odchylenie standardowe:

2. Porównanie poziomów zjawiska w czasie - analiza dynamiki zjawisk:

-przyrosty absolutne (różnica pomiędzy poziomem zjawiska w czasie t a poziomem zjawiska w czasie t* przyjętym za podstawę:

inf. o ile wzrósł/zmalał poziom zjawiska w okresie/momencie t w porównaniu z jego poziomem w okresie/momencie bazowym

-przyrosty względne
o ile procent wyższy/niższy jest poziom zjawiska w okresie/momencie t w porównaniu do jego poziomu w okresie/momencie bazowym t*. Określany również mianem wskaźnika tempa przyrostu/spadku.

-indeks dynamiki indywidualny
; y₁=oznacza poziom zjawiska w okresie/momencie sprawozdawczym; y₀=oznacza poziom zjawiska w okresie/momencie t₀ uznanym za podstawę porównań.

Indeksy indywidualne dzielimy na: jednopodstawowe (stała podstawa porównań-np. rok 2000) i łańcuchowe (podstawa porównań to np. rok poprzedni)

Średnie tempo zmian wielkości zjawiska (dla indeksów łańcuchowych):

średnie tempo zmian

n stopień pierwiastka - to liczba indeksów łańcuchowych pod pierwiastkiem(!!!)

-indeks dynamiki zespołowy/agregatowy - stosowany w przypadku zjawisk złożonych, tj. zjawisk będących zespołem zjawisk niejednorodnych.

agregatowy indeks wartości
p₁,p₀=ceny jedn. prod. w okresie badanym/bazowym; q=ilości

agregatowy indeks ilości (ceny stałe)

agregatowy indeks cen

interpretacja indeksów wg formuły Laspeyresa:

indeksy ilości/cen informują o ile zmieniłaby się (wzrosła/spadła) wartość całego agregatu produktów w porównywanych okresach, gdyby ceny/ilości produktów były stałe na poziomie z okresu podstawowego.

interpretacja indeksów wg formuły Paaschego:

indeksy ilości/cen informują o ile zmieniłaby się (wzrosła/spadła) wartość całego agregatu produktów w porównywanych okresach, gdyby ceny/ilości produktów były stałe na poziomie z okresu badanego.

Równość indeksowa:

Wyodrębnienie tendencji rozwojowe metodą analityczną

Trend - własność szeregu czasowego.

- szacowany poziom zjawiska, t - zmienna czasowa, a - wyraz wolny, b- współczynnik kierunkowy linii trendu

b - mówi o przeciętnych zmianach zjawiska w pewnych okresach czasu.

a - poziom zjawiska w okresie poprzedzającym okres badany.

Q₁

Q₃

Me

X_MIN

X_MAX

Interpretacja:

znak współ. (+) - asym. prawostronna

znak współ. (-) - asym. lewostronna

wartość bezwzgl. mówi o sile asymetrii; im bliżej 1 tym silniejsza asymetria