45. Ekstrema funkcji jednej zmiennej.

Ekstremum lokalne (lub po prostu ekstremum) funkcji to taki punkt, w którym funkcja ma wartość większą lub mniejszą od wszystkich innych punktów w pewnym otoczeniu tego punktu. Na przykład funkcja:

ma dwa ekstrema lokalne - jedno minimum i jedno maksimum.

Ekstremum globalne to taki punkt, w którym funkcja jest większa lub odpowiednio mniejsza niż we wszystkich innych punktach. Powyższa funkcja nie ma ekstremum globalnego.

Minimum lokalne to punkt, w którym funkcja jest mniejsza niż we wszystkich punktach jakiegoś otoczenia tego punktu (minimum globalne to punkt, w którym funkcja osiąga najmniejszą wartość).

Maksimum lokalne to punkt, w którym funkcja jest większa niż we wszystkich punktach jakiegoś otoczenia tego punktu (maksimum globalne to punkt, w którym funkcja osiąga największą wartość).

Jeśli funkcja ma pochodną w danym punkcie, to może on być ekstremum tylko wtedy, gdy pochodna funkcji w tym punkcie wynosi 0. Nie jest to jednak warunek wystarczający: funkcja f(x) = x³ ma pochodną równą 0 w punkcie 0, nie ma natomiast w tym miejscu (ani w żadnym innym) ekstremum.

Aby w danym punkcie występowało ekstremum, dodatkowo

Jeśli funkcja w danym punkcie nie ma pochodnej, punkt ten może, lecz nie musi być jej ekstremum. Na przykład wartość bezwzględna ma minimum w punkcie 0, nie ma natomiast w tym punkcie pochodnej.

Mówimy, że funkcja f(x) ma lokalne maksimum (minimum) w punkcje x=a jeśli f(x) jest określona w pewnym otoczeniu (a - ε , a + ε), ε>0 punktu a oraz zachodzą nierówności:

f(x)≤ f(a) (f(x) ≥ f(a)) dla każdego x∈(a- ε , a + ε).

Lokalne maksimum i lokalne minimum funkcji f(x) w punkcje x=a obejmujemy wspólną nazwą lokalnego ekstremum w tym punkcie.

Mówimy, że funkcja f(x) określona w zbiorze X, ma maksimum (minimum) w punkcie a∈A, gdy zachodzą nierówności:

f(x)≤ f(a) (f(x) ≥ f(a)) dla każdego x∈X.

Określone tak maksimum (minimum) w zbiorze A nazywamy również maksimum (minimum) globalnym funkcji f(x) osiągniętym w punkcie x=a i terminy maksimum globalnego i minimum globalnego obejmujemy wspólną nazwą globalnego ekstremum w tym punkcie.

Jeśli funkcja f(x) jest funkcją różniczkowalną, to punkty a∈D(f) spełniające warunek f ′(a)=0 nazywamy punktami stacjonarnymi funkcji f(x).

Przyjmując powyższą definicję i twierdzenie wnioskujemy, że jeśli w punkcie x=a funkcja f(x) ma ekstremum lokalne, to a jest punktem stacjonarnym tej funkcji.

Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji

Jeśli funkcja f(x):

to f ′(a)=0.

Warunek wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji

Jeśli funkcja f(x) określona i różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x=a spełnia warunek:

f ′(x)≥0 dla x < a i f ′(x)≤ 0 dla x > a (f ′(x)≤0 dla x < a i f ′(x) ≥ 0 dla x > a)

to funkcja f(x) ma maksimum (minimum) lokalne w punkcie x=a.

Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji

Jeśli funkcja f(x) określona i dwustronnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x=a spełnia warunek:

f ′(a)=0, f ′′(a) < 0 ( f ′′(a) > 0)

To w punkcie x=a funkcja f(x) ma maksimum (minimum) lokalne.

Uogólnienie warunku dostatecznego

Jeżeli funkcja f(x) jest n-krotnie różniczkowalna, tj. posiada pochodne f^(k)(x) do rzędu k=n≥2 włącznie, f ′(x), f ′′(x),…, f^(n-1)(x), f⁽ⁿ⁾(x) oraz spełnione są warunki:

Funkcja f(x) ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne właściwe. Jest to maksimum, gdy

f⁽ⁿ⁾(x₀)<0 lub minimum gdy f⁽ⁿ⁾(x₀)>0.

Funkcję f(x) określoną w przedziale otwartym C nazywamy wypukłą (wklęsłą) w tym przedziale, jeśli:

(f(tx₁ + (1-t)x₂) ≥ tf(x₁) + (1 - t) f(x₂))

Funkcję f(x) nazywamy wypukłą (wklęsłą) w punkcie x₀ jeśli jest ona określona w pewnym otoczeniu punktu x₀ i istnieje otoczenie postaci (x₀ - ε , x₀ + ε), ε>0, takie, że funkcja f(x) jest wypukła (wklęsła) w przedziale (x₀ - ε , x₀ + ε).

Funkcja f(x) różniczkowalna w punkcie x₀ jest w tym przedziale wypukła (wklęsła), gdy spełniona jest nierówność:

f(x)> f(x₀)+ f ′(x₀)(x - x₀) (f(x)< f(x₀)+ f ′(x₀)(x - x₀))

dla x z pewnego sąsiedztwa punktu x_o, czyli x∈(x₀ - ε , x₀ + ε)\{x₀}.

Warunek wystarczający wypukłości i wklęsłości na przedziale

Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na przedziale (a,b) oraz:

f ′′(x)> 0 dla każdego x∈(a,b) (f ′′(x)< 0 dla każdego x∈(a,b))

dla x z pewnego sąsiedztwa punktu x_o, czyli x∈(x₀ - ε , x₀ + ε)\{x₀}

to funkcja f(x) jest wypukła (wklęsła) na przedziale (a, b).

Warunek wystarczający wypukłości i wklęsłości funkcji w punkcie x₀

Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x₀ oraz spełnione są warunki:

(1) f ′′(x)> 0 (f ′′(x)< 0)

(2) funkcja f ′′(x) jest ciągła w punkcie x₀,

to funkcja f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x₀.

Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia

Jeżeli funkcja f(x) ma ciągłą pochodną drugiego rzędu w otoczeniu punktu x₀ i x₀ jest punktem przegięcia funkcji f(x), to f ′′(x)=0.

Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu (x₀ - ε , x₀ + ε) punktu x₀ oraz:

(1) f ′′(x)> 0 dla x∈(x₀ - ε , x₀ ) i f ′′(x)< 0 dla x∈(x₀ , x₀ + ε)

lub

(2) f ′′(x)< 0 dla x∈(x₀ - ε , x₀ ) i f ′′(x)> 0 dla x∈ (x₀ , x₀ + ε)

to x₀ jest punktem przegięcia funkcji f(x).

Asymptoty pionowe funkcji f(x)

Prosta x=a nazywana jest asymptotą pionową funkcji f(x), gdy przynajmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f(x) w punkcie x=a jest niewłaściwa, tzn.:

lub

W zależności dokładniej od tego, która z tych granic jest niewłaściwa możemy mówić o asymptocie lewostronnej bądź prawostronnej w punkcie x=a bądź o asymptocie obustronnej.

Asymptoty ukośne

Załóżmy, że funkcja f(x) jest określoną dla wszystkich x dostatecznie dużych (małych), wtedy możemy mówić o granicy funkcji

lub (
)

Prostą o równaniu y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną funkcji f(x) przy x->+∞,( x->-∞) jeśli spełniony jest warunek:

(
).

Prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną funkcji f(x) przy x->+∞,( x->-∞) wtedy i tylko wtedy, gdy

(
) i
(
).