Niech Ø ≠ D ⊂ X = {x}. Niech będzie dana funkcja f:D→R (D jest dziedziną funkcji f). Niech x₀ ∈ D.

Def.: Pochodną funkcji f:D→R w dowolnym punkcie x ∈ D nazywa się skończoną granicę:

Def.: Mówi się, że funkcja f(x) określona w pewnym otoczeniu U punktu x jest różniczkowalna w tym punkcie jeżeli
.

Funkcja
jest pewną funkcją określoną w otoczeniu U punktu x o własnościach
oraz g(0) = 0.

Na mocy definicji pochodnej funkcji w punkcie x i jej różniczkowalności w tym punkcie:

⇒
⇒
.

Przechodząc do granicy dla x → 0:

Def.: Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna to wyrażenie Ax = f ^I(x)x nazywa się różniczką funkcji f(x) w punkcie x przy przyroście x i oznacza jako df(x,x) a wyrażenie x^.g(x) nazywa się resztą rozkładu i oznacza jako r.

Różniczką funkcji f(x) w punkcie x przy przyroście argumentu x jest iloczyn jej pochodnej w tym punkcie przez przyrost argumentu: df(x,x) = f ^I(x) x

Oznaczając dowolny przyrost argumentu symbolem dx (≡ x) i nazywając go różniczką argumentu otrzymuje się zapis: df(x,dx) = f ^I(x)^.dx a stąd
.

Def.: Niech funkcja f(x) jest określona w przedziale J skończonym lub nieskończonym. Funkcją pierwotną funkcji f(x) nazywa się każdą funkcję F(x) taką, że jej pochodna jest równa f(x):
lub że jej różniczka jest równa f(x)dx:
dla każdego x ∈ J

Tw.: Funkcje F(x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f(x) ⇔
, gdzie c jest pewną ustaloną liczbą.

Dowodzi się, że każda funkcja ciągła w przedziale J ma funkcję pierwotną.

Def.: Każdą funkcję pierwotną funkcji f(x) nazywa się całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznacza symbolem

Jeżeli
to także
dla dowolnego c ∈ J

Funkcję f(x) nazywa się funkcją podcałkową a wyrażenie f(x)dx wyrażeniem podcałkowym. Operację wyznaczania funkcji pierwotnej funkcji f(x) nazywa się całkowaniem funkcji f(x).

Ogólna reguła całkowania: doprowadzić wyznaczaną całkę do postaci którejś całki podstawowej przy pomocy przekształceń algebraicznych lub trygonometrycznych lub zastosowania reguł całkowania. Wzory całek podstawowych otrzymano przez odwrócenie podstawowych wzorów różniczkowania.

Podstawowe wzory całkowania:

Podstawowe reguły całkowania:

- całkowanie przez części

- całkowanie przez podstawienie, jeżeli x = g(t) jest monotoniczna i całka z prawej strony istnieje

Nie można podać jednej, ogólnej reguły wyznaczania całki dowolnej funkcji. Technikę całkowania zdobywa się przez doświadczenie. Najczęściej doprowadza się całkę do postaci znanej z tablic, zawierających zwykle kilkaset wzorów całek różnych funkcji elementarnych (w poradniku Bronsztejna i Siemiendialewa jest ich 515).

Z metod ogólnych najczęściej stosowanych można wskazać:

np.:
,
,

Funkcje, które nie są całkowalne elementarnie:
,
,
,
,

wzór rekurencyjny - całkowanie wykonywane do etapu, gdy trójmian kwadratowy (dwumian kwadratowy po podstawieniach) z mianownika wystąpi w pierwszej potędze

wzór rekurencyjny - całkowanie wykonywane do etapu, gdy trójmian kwadratowy (dwumian kwadratowy po podstawieniach) z mianownika wystąpi w pierwszej potędze

wyrażenie wymierne wielomianowe
:

jeżeli M ≥ N wyrażenie przedstawia się w postaci sumy części całkowitej i ułamka właściwego (m < n):
(dzięki podzieleniu licznika przez mianownik i wyodrębnieniu tych składników); całkowanie części całkowitej (wielomianu) odbywa się zgodnie z podstawowymi wzorami całkowania; całkowanie ułamka właściwego odbywa się zgodnie z regułami całkowania wyrażeń wymiernych wielomianowych,

jeżeli M < N (m < n) całkowanie zgodnie z regułami całkowania wyrażeń wymiernych wielomianowych lub metodą uniwersalną:

Każde wielomianowe wyrażenie wymierne będące ułamkiem właściwym i nieskracalnym można doprowadzić do sumy ułamków „łatwo” całkowalnych:

Każdy wielomian P(x) stopnia n o postaci
można przedstawić w postaci iloczynu
, gdzie _i są pierwiastkami tego wielomianu, k_i są krotnościami tych pierwiastków, a trójmiany kwadratowe x² + p_jx + q_j nie są już rozkładalne w R. Wtedy

Wartości współczynników A, B i C wyznacza się przez sprowadzenie ułamków z prawej strony do wspólnego mianownika i ich dodanie, uporządkowanie licznika i przyrównanie współczynników przy niewiadomych w kolejnych potęgach do odpowiednich współczynników b z lewej strony i rozwiązanie powstałego układu równań z niewiadomymi A, B i C

Uwaga: Jeżeli wielomian z mianownika P(x) jest w pełni rozkładalny na iloczyny pierwszego stopnia i ma tylko pierwiastki jednokrotne:
to
, gdzie
,
, ...,

wyrażenie niewymierne - całkowanie przez części

wyrażenie niewymierne będące funkcją kilku takich samych wyrażeń wymiernych złożonych z wielomianów pierwszego stopnia
- całkowanie przez podstawienie standardowe
gdzie r jest wspólnym mianownikiem ułamków

wyrażenie niewymierne będące funkcją pierwiastka trójmianu kwadratowego
- całkowanie przez podstawienia standardowe Eulera:

wyrażenie będące funkcją funkcji trygonometrycznych - całkowanie przez podstawienia uniwersalne: