Pochodne

Definicja pochodnej:

.

Przykład obliczania pochodnej z definicji

Interpretacja geometryczna pochodnej: pochodna funkcji
w punkcie x jest równa tangensowi nachylenia stycznej do wykresu w tym punkcie (ilustruje „prędkość” zmian tej funkcji).

1. Pochodna ze stałej jest równa zeru

,

2. Pochodna z
,

Przykład:
,

,

Uwaga - w dalszej części rozpatrujemy funkcje mające pochodne w danym punkcie

3. Pochodna z iloczynu stałej razy funkcja jest równa iloczynowi stałej razy pochodna funkcji,

,

,

Przykład:
,

,
,

,

.

4. Pochodna z sumy (różnicy) funkcji jest równa sumie (różnicy) pochodnych z tych funkcji

,

Przykład:
,

,

,

5. Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów: pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji oraz pochodnej pierwszej funkcji przez drugą funkcję,

,

.

Przykład:
,

,
,

,

,

6. Pochodna ilorazu funkcji jest równa pochodnej licznika razy mianownik minus pochodna mianownika razy licznik podzielone przez kwadrat mianownika

,

Przykład:
,

,

,

,

7.
,

8.
,

9.
,

10.
,

11. Pochodna funkcji złożonej jest równa pochodnej funkcji zewnętrznej razy pochodna funkcji wewnętrznej

Przykład: 1

,

,
,

,

Przykład 2:

,

,

Pochodna funkcji rosnącej jest dodatnia, pochodna funkcji malejącej jest ujemna

W ekstremum funkcji pochodna jest równa zeru a druga pochodna zmienia znak (w maksimum z dodatniej na ujemną a w minimum z ujemnej na dodatnią.

x

f=f(x+ x) -f(x)

f(x)



f(x)

f(x)

f(x+x)

f(x+x)