RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE -wprowadzenie

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie, w którym występuje nieznana funkcja jednej zmiennej i jej pochodne.

Przykład 1

Jak powstaje równanie różniczkowe?

Jak szybko stygnie kawa?

Jak szybko topią się lody?

Zbudujmy prosty model matematyczny tego zjawiska.

t- czas

temperatura ciała w chwili t

temperatura początkowa ciała

- temperatura otoczenia

Zmiana temperatury po upływie czasu h jest proporcjonalna do różnicy temperatur między ciałem a otoczeniem.

współczynnik proporcjonalności,
.

Współczynnik proporcjonalności jest ujemny gdyż ciało po upływie czasu
stygnie
, gdy ma temperaturę wyższą od temperatury otoczenia
.

Ciało ogrzewa się
, gdy ma temperaturę niższą od temperatury otoczenia
.

Przyjmując dla prostoty
i przechodząc do granicy
otrzymujemy równanie różniczkowe

,

Rozwiązanie równania łatwo odgadnąć jest to np. funkcja
oraz każda funkcja postaci

gdzie C oznacza dowolna stałą.

Uwzględniając warunek początkowy
dostajemy rozwiązanie wyjściowego zagadnienia

Rozwiązanie można łatwo zmodyfikować by uwzględniało dowolną temperaturę otoczenia.

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci

***

gdzie F oznacza znaną funkcję a niewiadomą jest funkcja
jednej zmiennej x i w którym występują pochodne tej funkcji.

Rząd najwyższej pochodnej występującej w równaniu nazywamy rzędem równania.

Pierwsze dwa równania są rzędu pierwszego, trzecie równanie jest rzędu drugiego.

Funkcję
określoną w pewnym przedziale, która zmienia równanie *** w tożsamość nazywamy rozwiązaniem szczególnym równania (całką szczególną skrót RS lub CS)

Wykres tej funkcji nazywamy krzywą całkową.

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE RZĘDU PIERWSZEGO

*

Zadanie polegajace na wyznaczeniu funkcji spełniającej równanie różniczkowe * i przechodzącej przez zadany punkt
inaczej spełniającej warunek początkowy
nazywamy

zagadnieniem Cauchy'ego dla równania rzędu pierwszego.

Zajmiemy się równaniem rzędu pierwszego w postaci normalnej

.

Przez rozwiązanie równania rozumiemy dalej zarówno podanie rozwiązania w postaci jawnej, to znaczy podanie wzoru na szukaną funkcję
jak też podanie rozwiązania w postaci uwikłanej, czyli
gdzie C jest stałą.

równanie o zmiennych rozdzielonych

Def. Równanie postaci

(1)

gdzie funkcja f jest ciągła w przedziale X, funkcja g jest ciągła i różna od zera w przedziale Y nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.

Równanie to rozwiązujemy, "rozdzielając zmienne", czyli grupując wyrażenia z y po jednej stronie, a wyrażenia z x po drugiej stronie znaku równości.

Rozdzielamy zmienne, otrzymujemy:

całkujemy

skąd dostajemy całkę ogólna równanie (1)

gdzie G, F są funkcjami pierwotnymi funkcji g i f, C oznacza dowolną stałą.

Całka szczególna równania (1) spełniająca zadany warunek początkowy (CSsWP)

gdzie liczby
są dane ma postać

Przez każdy punkt
prostokąta
przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa równania (1).

Zadanie 1

Rozwiązać równanie
.

Równania różniczkowe sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych

Równanie postaci

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych (1) za pomocą podstawienia
.

Równanie

gdzie
są to dane liczby

sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych (1) za pomocą podstawienia
.

Zadanie 2

Rozwiązać równanie

Równania liniowe rzędu pierwszego

Def. Równanie różniczkowe rzędu pierwszego nazywamy liniowym, jeśli jest to równanie pierwszego stopnia ze względu na niewiadomą funkcje i jej pierwszą pochodną. Zapisujemy je w postaci

( skrót RL)

gdzie p i f są to dane funkcje ciągłe, określone w przedziale X.

Równanie nazywamy

jednorodnym jeśli
na przedziale X (skrót RJ),

niejednorodnym jeśli f(x)≠0 (skrót RN).

RJ

RN

Dla dowolnych wartości początkowych
gdzie
równanie linowe ma dokładnie jedno rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy
. Wszystkie rozwiązania istnieją w całym przedziale X.

Równanie jednorodne jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, ma rozwiązanie ogólne

skrót RORJ

gdzie P jest funkcją pierwotną funkcji p, C jest dowolną stałą.

Uwaga

RJ ma jedno rozwiązanie zerowe (
), które otrzymujemy ze wzoru kładąc

oraz nieskończenie wiele rozwiązań niezerowych.

Rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest dane wzorem

skrót RSRN

Rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego jest dane wzorem

RORN=RORJ+RSRN

31