Szereg - uogólnienie sumy liczb na nieskończoną liczbę składników.

Definicja

Niech
będzie ciągiem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. n-tą sumą częściową ciągu
nazywa się sumę

.

Granicę ciągu sum częściowych

(jeśli istnieje, być może nieskończona) nazywa się sumą szeregu o wyrazie ogólnym a_n. Granicę tę oznacza się symbolem

.

Formalnie, szereg jest parą uporządkowaną
jednak (gdy nie prowadzi to do nieścisłości) oznacza się go tak samo jak jego sumę. Jeśli suma szeregu istnieje i jest skończona, to szereg taki nazywamy zbieżnym - w przeciwnym wypadku nazywamy go od zera.

Zbieżność

Tak jak przy ciągach przedstawione symbole stosuje się tak do szeregów zbieżnych jak i rozbieżnych. Należy mieć na uwadze, że suma szeregu nie jest tym samym co suma jego składników (zob. niżej szeregi zbieżne warunkowo). Ponadto, jeśli w szeregu zbieżnym zmienimy, opuścimy lub dołączymy skończoną liczbę wyrazów, to otrzymany szereg też będzie zbieżny.

Warunek Cauchy'ego dla szeregów

Szereg
o wyrazach rzeczywistych bądź zespolonych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Dowód: Ponieważ
, zatem warunek podany w twierdzeniu jest warunkiem Cauchy'ego dla ciągu sum częściowych. Ciąg sum częściowych (a więc szereg) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Jeżeli szereg
jest zbieżny (
), to szereg
nazywamy zbieżnym bezwzględnie. Zbieżność bezwzględna szeregu pociąga za sobą zbieżność w zwykłym sensie.

O szeregach, które są zbieżne, lecz nie bezwzględnie mówi się, że są zbieżne warunkowo. W ich przypadku istnieje skończona granica
, lecz
(suma (bądź całka) wartości bezwzględnych wyrazów ciągu jest nieskończona).

Wyrazy szeregów bezwzględnie zbieżnych można przestawiać w dowolny sposób nie zmieniając przy tym sumy szeregu. Niestety, szeregi warunkowo zbieżne nie mają tak dobrych własności: twierdzenie Riemanna mówi, że przestawiając wyrazy danego szeregu zbieżnego warunkowo można otrzymać jako sumę nowego szeregu dowolną, z góry zadaną liczbę, bądź otrzymać szereg rozbieżny. Dlatego operacje na nich należy wykonywać z najwyższą uwagą.

Dla danego szeregu liczb rzeczywistych
rozważmy szeregi
jego składników dodatnich i
jego składników ujemnych. Szereg
jest bezwzględnie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są oba te szeregi- w takim wypadku jego suma jest równa
. Jeżeli oba te szeregi są rozbieżne odpowiednio do
i
, to szereg może być albo zbieżny warunkowo albo rozbieżny (zobacz też twierdzenie Riemanna).

Działania

W niniejszym paragrafie niech
będą ustalonymi ciągami liczb rzeczywistych bądź zespolonych.

Dodawanie i mnożenie przez skalar

Szereg dany wzorem
nazywamy sumą szeregów
i
. Jeżeli oba szeregi są zbieżne, to ich suma również jest szeregiem zbieżnym. Analogicznie określa się różnicę szeregów. Jeśli c jest liczbą zespoloną bądź rzeczywistą, to

.

Możenie szeregu przez niezerowy skalar nie wpływa na jego zbieżność.

Iloczynem (Cauchy'ego) szeregów
i
nazywamy szereg
, gdzie

.

Odpowiada to ustawieniu wszystkich iloczynów wyrazów a_nb_n w tablicę:

i sumowaniu kolejno grup elementów w kierunku oznaczonym strzałkami. Jest to tzw. sposób Cauchy`ego:

Kryterium Leibniza

Jeżeli ciąg (a_n) spełnia następujące dwa warunki:

to szereg
jest zbieżny.

Dowód

Ponieważ ciąg sum częściowych ciągu
jest ograniczony przez 1, oraz ciąg
jest monotoniczny i zbieżny do 0 to na mocy kryterium Dirichleta szereg
jest zbieżny.