Cel i zakres ćwiczenia.

Ćwiczenie obejmuje zakres podstawowych wiadomości o płaskim stanie naprężeń , a także o

układach prętów zachowujących się jak ciało sztywne , które powszechnie nazywane są kratownicami.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z komputerową metodą elementów skończonych ( w skrócie

MES ) służącą do wytrzymałościowej analizy konstrukcji. W ćwiczeniu będzie przeanalizowana

następująca kratownica płaska

I 4 IV V Px = 5000 N

Py = 3000 N

1 5 3 6

II III

A B

rys.1

o parametrach:

materiał - stal St1

dopuszczalne naprężenie rozciągające - kr = 100 [ N / m]

modół Younga - E = 2.1 * 10 [ N / m]

pole przekroju - F = 1 * 10 [ m]

długość prętów 1;2;3;4;7 - l = 0.3 [ m ]

5;6 - l = 0.424 [ m ]

granica plastyczności - Re = 200 [ N / m]

Analiza i rozwiązanie zadanej kratownicy.

Zanim przystąpi się do rozwiązywania kratownicy , należy sprawdzić , czy jest ona statycznie

wyznaczalna. Jest to warunek konieczny rozwiązania kratownicy płaskiej.

Zatem

p = 2w - 3 ; gdzie p - liczba prętów

w - liczba węzłów

Jak widać na rys.1 p = 7 w = 5 ** 7 =2 * 5 - 3 ** 7 = 7

Jak wynika z powyższego obliczenia , liczba niewiadomych jest równa liczbie równań równowagi

statycznej ( kratownica jest statycznie wyznaczalna ) i można przystąpić do dalszych obliczeń.

Kolejnym krokiem jest wyznaczenie reakcji występujących w podporach ( korzystając z warunku

równowagi sił i momentów w dowolnym układzie płaskim ). Rozkład sił obciążających i reakcji przedstawiony jest na poniższym rysunku

l Px

l Py

RAy RBy

RAx

Pix = RAx + Px = 0 ** RAx = - Px ** RAx = -5000 [ N ]

Piy = RAy + RBy - Py = 0 ** RAy = Py - RBy

Miy = RBy * a - Py * 2a - Px * a = 0 ** RBy * a = 2a * Py + Px * a

RBy = 2 * Py + Px

RBy = 2 * 3000 + 5000

RBy = 11000 [N]

RAy = Py - RBy

RAy = 3000 -11000

RAy = - 8000 [N]

Następną czynnością jest obliczenie sił działających w poszczególnych prętach ( korzystając z zasady równowagi sił )

- dla pręta nr 6 i 7 ( węzeł V )

Py = 3000

Px = 5000

S7

S6

Pix = - S7 + Px - S6 * cos 45* = 0

Piy = - S6 * sin 45* - Py = 0 ** S6 = -Py / sin 45* = - 4242,64 [N]

S7 = +Px - S6 * cos 45*

S7 = 8000 [N]

- dla pręta nr 1 i 2 ( węzeł II )

S2 Pix = - S2 - RAx = 0 ** S2 = - RAx

S1 Piy = - S1 - RAy = 0 ** S1 = - RAy0

RAx = 5000 S1 = 8000 [N]

RAy = - 8000 S2 = 5000 [N]

- dla pręta nr 5 i 3 ( węzeł III )

S5 S3 Pix = S2 - S6 * sin 45* + S5 * sin 45* = 0

S6 Piy = S3 - S5 * cos 45* - S6 * cos 45* + RBy = 0

S5 = ( - S2 + S6 * sin 45* ) / sin 45* = -11313,708 [N]

S2 S3 = S5 * cos 45* - S6 cos 45* - RBy

Rby = 11000 S3 = 7999,999 - ( - 2999,999 ) - 11000

S3 = 0 [N]

- dla pręta nr 4 ( węzeł IV )

S4 S7

Pix = S7 - S4 = 0 ** S4 = S7

S4 = 8000 [N]

Zatem siły działające osiowo w prętach są następujące:

nr pręta 1 2 3 4 5 6 7

siła [N] + 8000 + 5000 0 + 8000 - 11313,7 -4242,64 + 8000

Teraz należy obliczyć naprężenia osiowe w poszczególnych prętach.

Dla prętów rozciąganych ( pręty nr 1,2,4,7 ) trzeba skorzystać z następującej zależności :

= ; gdzie oznacza naprężenie osiowe działające w pręcie

P - siła osiowa działająca w pręcie

F - pole przekroju pręta

Pole przekroju dla wszystkich prętów jest jednakowe i wynosi F = 1 * 10 [ m]

1 = 8000 / 1 * 10 = 8 * 10 [ N / m]

2 = 5000 / 1 * 10 = 5 * 10 [ N / m]

4 = 8000 / 1 * 10 = 8 * 10 [ N / m]

7 = 8000 / 1 * 10 = 8 * 10 [ N / m]

Dla prętów ściskanych ( pręty 5 i 6 ) naprężenia wynoszą :

5 = - 11313.7 / 1 * 10 = - 1.13137 * 10 [ N / m]

6 = - 4242.64 / 1 * 10 = - 4.24264 * 10 [ N / m]

Zatem naprężenia osiowe działające w prętach są następujące:

nr pręta 1 2 3 4 5 6 7

napr [ N / m] +8 * 10 +5 * 10 0 +8 * 10 - 1.13137 * 10 - 4.24264 * 10 +8 * 10

Jednak przy obliczaniu prętów ściskanych należy zachować szczególną uwagę , gdyż mogą one ulegać wyboczeniu. Dlatego trzeba wyznaczyć siłę krytyczną ( jest to siła , która może spowodować

wyboczenie pręta idealnie prostego ) , a następnie na podstawie tej siły wyliczyć naprężenia krytyczne.

Siłę krytyczną można obliczyć ze wzoru Eulera :

Pkr = * E * J / l ; gdzie E - modół Younga

J = 8.33 * 10 - moment bezwładności przekroju względem

osi prostopadłej do płaszczyzny wyboczenia

l - długość pręta

Pkr = 9.595 [N]

Natomiast naprężenie krytyczne określone jest następująco :

kr = Pkr / F

kr = 9.595 / 1 * 10 [ N / m]

kr = 9.595 * 10 [ N / m]

Teraz można przystąpić do sprawdzenia , czy naprężenia w prętach ściskanych nie przekraczają

naprężeń krytycznych ( * kr - jest to warunek bezpieczeństwa )

*5 * = 1.13137 * 10 *6 * = 4.24264 * 10

*kr * = 9.595 * 10

5 * kr 6 * kr

Podobnie należy sprawdzić , czy naprężenia osiowe w prętach rozciąganych ( nr 1,2,4,7 ) nie

przekraczają dopuszczalnych naprężeń rozciągających.

kr

7 = 8 * 10 2 = 5 * 10

kr = 1 * 10

1 * kr 2 * kr

UWAGA !

Jak wynika z powyższych warunków , naprężenia osiowe w prętach ściskanych znacznie przekraczają

naprężenia krytyczne ( podobnie jak w prętach rozciąganych - naprężenia są o wiele większe od napężeń

dopuszczalnych ). W konsekwencji taka kratownica ulegnie znacznej deformacji , a nawet zniszczeniu. Wobec tego

łatwo zauważyć , że jest ona źle zaprojektowana i nie może być wykorzystana w praktyce . W takim przypadku należy

zweryfikować zadane parametry kratownicy ( przy założeniu , że kratownica ma być obciążona siłami takimi jak podano

na początku , należy zmniejszyć długość prętów lub zwiększyć ich przekrój oraz dobrać lepszy materiał ). Po dobraniu

nowych parametrów należy przeprowadzić jeszcze raz rzetelne obliczenia.

Wyniki programu komputerowego MES.

Reakcje w podporach :

RAx = -5000 [N] RAy = - 8000 [N] RBy = 11000 [N]

Siły i naprężenia osiowe działające w prętach :

Numer Siła Naprężenie

pręta osiowa osiowe

1 +8 * 10 +8 * 10

2 +5 * 10 +5 * 10

3 0 0

4 +8 * 10 +8 * 10

5 - 1.13137 * 10 - 1.13137 * 10

6 - 4.24264 * 10 - 4.24264 * 10

7 +8 * 10 +8 * 10

Schemat rozkładu sił i naprężeń w kratownicy

+ +

+ +

+

+

Deformacja kratownicy

Wnioski.

Zadana kratownica jest statycznie wyznaczalna . Gdyby było więcej prętów , konstrukcja była by

przesztywniona . W przeciwnym przypadku stała by się mechanizmem. Ponieważ naprężenia występujące w prętach są większe od dopuszczalnych , to nie może być ona wykorzystana w praktyce.

Należy zatem dobrać nowe przekroje i długości prętów , a następnie wykonać ponowne obliczenia.

Wyniki obliczeń , które przeprowadziłem są zgodne z wynikami uzyskanymi w programie MES.