12. Wyznaczyć zależności określające przebieg charakterystyk częstotl. logarytmicznych dla elementu: a) inercyjnego I-go rzędu b) różniczkującego rzeczywistego c) całkującego.

Ad. a - inercyjnego

; w przybliżeniu:

Ad. b - różniczkującego

; w przybliżeniu:

Ad. c - całkującego

; w przybliżeniu:

13. Omówić podział obiektów regulacji ze wzg. na ich własności dynamiczne, podać ich transmitancje i przykłady.

Obiekt regulacji - należy rozumieć jako jeden z elementów układu, mający wielkość wejściową i wyjściową, określony swym równ. różniczk. , transmit. operatorową lub współcz. stanu. Obiektem jest wówczas proces, którego przebieg podlega regulacji lub sterowaniu: a) statyczne (bez działania całkującego) N₀(s)≠0; b) astatyczne (z działaniem całkującym) N₀(s)=0.

1-obiekt inercyjny I-go rzędu; 2-obiekt wyższego rzędu; 3-obiekt wyższego rzędu z opóźnień.

; ;

; k - współcz. proporcjonalności obiektów; T₁,T₂,T₃ ­- stałe czasowe; τ₃ - opóźnienie obiektu 3; 4 - obiekt całkuj.; 5 - obiekt z inercyjnością I-go rzędu; 6 - obiekt z inercyjnością II-go rzędu i opóźnieniem; ; ; ;

k - prędkość zmiany wielkości wyjść. na jednostkę zmiany wielkości wejść. w stanie ustalonym; T,T₁,T₂ - stałe czasowe charakteryzujące inercyjność obiektu; τ₆ - opóźnienie transportowe obiektu 6.

14. Podać transmitancję i przebieg odpowiedzi na zakłócenie skokowe dla regulatora: a) PID, b) PI, c) PD.

PI_(ideal) - (transm.); (równ. charakt. skokowej); PD_(ideal) - (transm.); (równ. charakt. skokowej); PID_(ideal) - (transm.); (równ. charakt. skokowej); PD_(rzecz) - (transm.); (równ. charakt. skokowej); PID_(rzecz) - (transm.); (równ. charakt. skokowej);

15. Co nazywamy nastawami regulatora PID i do czego je wykorzystujemy projektując układ automatyki.

Nastawy regulatora PID: wielkości charakteryzujące ten regulator; k_p - współcz. wzmocnienia regulat., T_i - akcja całkująca, T_d - akcja różniczkująca (czas wyprzedzenia). Wielkości te wystepuja we wzorze na transmitancję regul. PID : (idealny). Celem wykorzystywania nastaw regulat. jest uzyskanie przebiegów przejściowych z przeregulowaniem ok. 20% i minimum czasu regulacji t_r . Nastawianie przeprowadza się już po zainstalowaniu regulat. w układzie. Kolejność postępowania przy nastawianiu: 1. Ustawienie regulatora na działanie tylko proporcjonalne (P). Działania całkujące i różniczkujące powinny być wyłączone (T_i →∞ i T_d → 0). 2. Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego k_p regulat., aż do wystąpienia oscylacji niegasnących w układzie (granica stabilności). 3. Pomiar na taśmie rejestratora okresu tych oscylacji T_osc , i odczytanie na skali regulatora wartości krytycznego wzmocnienia proporcjonalnego ( k_p )_kryt , przy którym one wystąpiły. 4. Dla regulatora PID przyjęcie nastawów: k_p=0,6( k_p )_kryt ; T_i=0,5T_osc ; T_d=0,12T_osc . Dla regulator. PID stosunek τ/T < 1.

16. Podać ogólny warunek stabilności układu automatyki i pokazać na przykładzie jego wykorzystanie.

Stabilność jest cechą układu, polegającą na powracaniu do stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które wytrąciło układ z tego stanu. Gdy po zniknięciu zakłócenia układ powraca do tego samego stanu równowagi, wówczas jest stabilny asymptotycznie. Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilności asymptotycznej układu jest to aby pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkniętego miały ujemne części rzeczywiste Re(s_k) < 0 wówczas ; gdzie

A₀ - współcz. o wartości skończonej. W przypadku pierwiastków zespolonych: s_k=u+jv ; więc A_ke^{( u + j v ) t} = A_ke^{u t} (cosvt + jsinvt). Jeżeli chociaż jeden z pierwiastków równania N(s)=0 (równ. charakter. ukł. zamkniętego) ma część rzeczywistą dodatnią: Re( s_k )>0 to i układ jest niestabilny. Aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego :a _n s ⁿ + a _n-1 s ^n-1 +...+a ₁ s + a₀ = 0 miały części rzeczywiste ujemne muszą być spełnione warunki: a) wszystkie współcz. równ. istnieją i są > 0; b) podwyznaczniki Δ_i , od i=2 do i=n-1, wyznacznika głównego Δ_n są > 0. Przykład: ; Równ. charakt. : a ₃ s ³ + a ₂ s ² + a ₁ s = 0. Widzimy, że układ jest niestabilny gdyż współcz. a₀ = 0. Sprawdzanie znaków współcz. oraz podwyznacznika jest zbędne.

17. Podać treść kryterium HURWITZA i przykład jego zastosowania.

Aby wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego :a _n s ⁿ + a _n-1 s ^n-1 +...+a ₁ s + a₀ = 0 miały części rzeczywiste ujemne musząbyć spełnione warunki: a) wszystkie współcz. równ. istnieją i są > 0; b) podwyznaczniki Δ_i , od i=2 do i=n-1, wyznacznika głównego Δ_n są > 0. Wyznacznik Δ_n , utworzony ze współczynników równania charakt. ma n wierszy i n kolumn: ;;; ... . Przykład:; Warunki stabilności: a₄ > 0, a₃ >0, a₂ > 0, a₁ > 0, a₀ > 0; ; Δ₂ < 0 - układ niestabilny.

18. Omówić i zilustrować przykładem kryterium NYQUISTA dla: a) ch-k amplitudowo - fazowych, b) logarytmicznych.

Kryterium Nyquista ma duże znaczenie praktyczne, ponieważ pozwala badać stabilność układu zamkniętego na podstawie przebiegu charakterystyki częstotliwościowej układu otwartego, którą można wyznaczyć zarówno analitycznie jak i doświadczalnie. Ch - ki amplitudowo fazowe - wynika bezpośrednio warunek |G₀(jω_x)|<1 gdzie ω_x - pulsacja dla której G₀(jω_x)= - π. Jeżeli otwarty układ regulacji automatycznej jest stabilny i jego charakterystyka amplitudowo - fazowa G₀(jω_x) dla pulsacji od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po zamknięciu będzie on również stabilny. rys18ab Ch-ka logarytmiczna - jeżeli ch-ka częstotliwościowa układu otwartego podana jest w postaci logarytmicznej charakterystyk : amplitudowej L(ω) i fazowej ϕ(ω), to L(ω_x) = 20 log (G₀(j ω_x)) < 0. Zamknięty układ regulacji automatycznej jest stabilny, wtedy gdy logarytmiczna ch-ka amplitudowa układu otwartego ma wartość ujemną przy pulsacji odpowiadającej przesunięciu -π.

19. Omówić wpływ na stabilność układu automatyki: a) zmian wzmocnienia regulatora, b) akcji całkującej regulatora, c) akcji różniczkującej regulatora.

a) Zwiększenie wzmocnienia układu otwartego wpływa niekorzystnie na stabilność (ch-ka ampilt. przesuwa się do góry przy nie zmienionym położeniu ch-ki fazowej). Aby poprawić stabilność należy zmniejszać wzmocnienie regulatora PI do wartości k_p = 0,1. Obecnie produkowane regulatory mają najmniejszą wartość k_p = 0,2 do 0,4 dlatego w celu uzyskania k_p = 0,1 można dodać element korekcyjny (T_ds+1)(Ts+1) (zastąpienie regul. PI regulat. PID - rzeczywisty). b) Wpływ działania całkującego na stabilność układu jest także niekorzystny, zwłaszcza przy małych wartościach stałej czasowej T_i (stałe przesunięcie fazowe -π/2 i zwiększenie wartości L(ω) dla ω < 1/T_i). Jedynie dla układu, gdzie występuje tylko jedno działanie calkujące, jego wpływ może być korzystny przy bardzo dużych wartościach T_i. W niektórych układach usunięcie akcji całkującej i pozostawienie tylko działania proporcjonalnego regulat. powoduje, że układ staje się stabilny (z niewielkim zapasem stabilności). c) Akcja całkująca jako jedyna ma korzystny wpływ na stabilność układu. Jest to jedna z głównych przyczyn wprowadzenia działania D do regulatorów przemysłowych (PD, PID). W przypadku korekcji równoległej można zastosować element korekcyjny o transmitancji T_s/(T_s+1), który to tworzy dodatkową pętlę sprzężenia zwrotnego, wpływającą na dynamikę układu, a zanikającą w stanach ustalonych.