3.2. Niedokładność przyrządów pomiarowych

Jednym z najważniejszych oddziaływań systematycznych powodujących niedokładność pomiaru jest niedokładność przyrządu pomiarowego. Warunkiem stosowalności przyrządu pomiarowego i systemu pomiarowego jest znajomość jego właściwości metrologicznych. Opis tych właściwości, podawany przez wytwórcę, musi być zrozumiały przez użytkownika, stąd też wynika potrzeba standaryzacji tego opisu.

Rozważymy na początek model niedokładności najpopularniejszego przyrządu pomiarowego - miernika. Wejściem przyrządu jest wartość prawdziwa , tego co miernik mierzy, wyjściem przyrządu jest wskazanie miernika (zakładamy, że dokonano wszelkich możliwych korekcji). Działanie miernika jest niedoskonałe i jego wskazanie jest obarczone w stosunku do wartości prawdziwej błędem miernika y

    y  (3.18)

Błąd ten ma zwykle charakter błędu systematycznego, zapiszemy więc

      (3.19)

Wartość błędu  (poprawki w teorii niepewności) jest nieznana, w procesie wzorcowania miernika wyznacza się tylko przedział [D, D], w którym ona leży. Zachodzi więc

(3.20)

Przedział [D, D] nazywać można przedziałem niepewności wskazań miernika, przedziałem niepewności poprawki miernika, lub wprost przedziałem niepewności miernika, granicę (symetrycznego) przedziału niepewności miernika D nazywa się błędem granicznym miernika lub niedokładnością miernika. Parę wartości ±D nazywa się także granicami błędu miernika.

Niedokładność D miernika pracującego w warunkach odniesienia jest charakterystycznym parametrem opisującym liczbowo jego niedokładność. Niedokładności D wyznacza się w procesie wzorcowania czyli kalibracji miernika. Niedokładność miernika D może być różna dla różnych wskazań

(3.21)

gdzie: () - krzywa niedokładności miernika,

[Ymin, Ymax] - zakres miernika,

Ymin, Ymax - dolna i górna granica zakresu miernika.

Krzywe niedokładności ±() i granice zakresu [Ymin, Ymax] wyznaczają obszar dopuszczalnych błędów (poprawek) miernika czyli obszar niepewności miernika. Dla wygody ustala się pewne uprzywilejowane krzywe niedokładności dokonując normalizacji niedokładności. Najczęściej stosuje się normalizację addytywną, i multiplikatywno-addytywną.

Normalizacja addytywna polega na ustaleniu w całym zakresie miernika stałej niedokładności D, wyrażanej zwykle jako ułamek  długości zakresu pomiarowego Ymm

(3.22)

Wartość , wyrażoną jako ułamek długości zakresu, można nazwać niedokładnością addytywną.

Normalizacja multiplikatywno-addytywna polega na ustaleniu zależności niedokładności od wskazania

(3.23)

Ułamek  można nazwać niedokładnością multiplikatywną, a ułamek  - niedokładnością addytywną.

Niedokładność miernika D określa graniczne błędy bezwzględny i względny pomiaru tym miernikiem. Dla miernika o niedokładności normalizowanej addytywnie wynoszą one

(3.24)

a dla miernika o niedokładności normalizowanej multiplikatywno-addytywnie wynoszą one

(3.25)

Dla określonych typów mierników o niedokładnościach normalizowanych addytywnie ustala się zwykle pewne standardowe wartości niedokładności addytywnych , najczęściej są to liczby z ciągu (1; 1,5; 2; 2,5; 5)×10n, n = 4, 3, 2. Mierniki o jednakowej niedokładności addytywnej są zaliczane do tej samej klasy dokładności. Klasę dokładności oznacza się symbolem, który najczęściej ma postać liczby k równej niedokładności addytywnej  ustalonej dla tej klasy, wyrażonej w procentach. Liczbowy symbol klasy k jest nazywany wprost klasą. Oznacza to, że miernik klasy dokładności k ma błąd addytywny

(3.26)

Teoria niepewności wymaga randomizacji nieznanej poprawki . Poprawka  miernika dla jego określonego wskazania jest nieznana co do wartości, a przy powtarzaniu pomiaru w warunkach powtarzalności poprawka ta będzie raczej niezmienna. Randomizacji poprawki można dokonać rozważając losowy wybór miernika ze zbioru wszystkich mierników o tej samej niedokładności D. Każdy miernik będzie na ogół miał inną poprawkę , ale wszystkie poprawki (nieznane co do wartości) będą leżały w przedziale [D, D]. W ten sposób poprawka  stanie się zmienną losową  , której można przypisać rozkład gęstości prawdopodobieństwa. O tym rozkładzie przyjmuje się najczęściej hipotezę rozkładu prostokątnego (R) czyli równomiernego w przedziale [D, D], rzadziej rozkładu normalnego (N), którego przedział [3σ, 3σ] pokrywa się z przedziałem [D, D] poprawek. Wariancje wymienionych rozkładów wynoszą

(3.27)

Niepewność standardowa (bezwzględna) miernika jest równa odchyleniu standardowemu (czyli pierwiastkowi wariancji) rozkładu poprawki 

(3.28)

i dla przyjmowanych rozkładów poprawek wynosi

(3.29)

Nie ma racjonalnych argumentów przemawiających za którymś z tych rozkładów. W dalszych rozważaniach będziemy przyjmowali prostokątny rozkład poprawek miernika.

Niedokładność mierników analogowych jest najczęściej normalizowana addytywnie. Dla określonych typów mierników ustala się klasy dokładności. Reprezentatywnymi przykładami mogą tu być mierniki elektryczne wskazówkowe, dla których klasy dokładności ustala norma PN-70/E-06501.

Przykład 3.2

Dany jest woltomierz analogowy o zakresie Emax  300 V i klasie dokładności k  0,5. Obliczyć graniczne błędy bezwzględne i względne oraz niepewność standardową bezwzględną i względną pomiaru napięcia tym woltomierzem dla jego wskazań

E1  300 V, E2  200 V, E3  100 V, E3  30 V,

Graniczny błąd bezwzględny i niepewność standardowa bezwzględna pomiaru napięcia woltomierzem są jednakowe dla wszystkich jego wskazań i wynoszą

Graniczny błąd względny liczymy z zależności

i otrzymujemy

,
,
,

Niepewność standardową względną pomiaru napięcia liczymy z zależności

i otrzymujemy

,
,
,

Typowym przedstawicielem mierników cyfrowych jest woltomierz cyfrowy, najczęściej budowany w wersji wzbogaconej jako multimetr cyfrowy. Niedokładność przyrządów cyfrowych najczęściej normalizuje się multiplikatywno-addytywnie. Wytwórcy określają niedokładność przyrządu stosując zwykle sformułowanie:

"niedokładność (lub niepewność lub błąd lub dokładność - ta ostatnia nazwa jest merytorycznie niewłaściwa) wynosi ± odczytu (lub wskazania) ± zakresu."

Ułamki  i  wyraża się często w procentach lub w ppm-ach. Niekiedy niedokładność określa się nie jako ułamek  zakresu Ymax, tylko jako liczbę  jednostek ostatniej pozycji, wówczas

(3.30)

gdzie

(3.31)

jest wartością jednostki ostatniej pozycji wskazania (nazywaną także rozdzielczością lub kwantem), a Nmax - maksymalną liczbą (bez uwzględniania przecinka) wskazywaną przez przyrząd. Między  i  istnieje związek

(3.32)

Odpowiednio do zależności (3.94) wytwórcy określają niedokładność przyrządu stosując sformułowanie:

"niedokładność (lub niepewność lub błąd) wynosi ± odczytu (lub wskazania) ± jednostek ostatniej pozycji"

skracane często do

"niedokładność (lub niepewność lub błąd) wynosi ± rdg ± dgt"

gdzie "rdg" jest skrótem ang. reading - odczyt, a "dgt" jest skrótem ang. digit - cyfra.

Przykład 3.3

Dany jest woltomierz 4 i 1/2 cyfrowy (maksymalna wskazywana liczba 20 000) o niedokładności   5×104 odczytu    2 cyfry. Obliczyć błąd graniczny bezwzględny i względny oraz niepewność standardową bezwzględną i względną woltomierza dla jego wskazań

E1  1,8957 V, E2  1,0990 V, E3  0,5003 V, E4  0,2013 V,

Pomiary wykonujemy na zakresie Emax = 2 V, dla którego q = 104 V.

Zakres cyfrowy woltomierza wynosi N  2×104 V, jego niedokładność można przedstawić jako   5×104 odczytu    1×104 zakresu.

Obliczamy błąd graniczny bezwzględny i względny z zależności

i mamy

i

i

i

i

Niepewność standardową bezwzględną i względną obliczamy z zależności

i

i mamy

i

i

i

i

Obliczone niepewności bezwzględne należy na koniec zaokrąglić tak, aby ostatnia cyfra niepewności zgadzała się co do pozycji z ostatnią cyfrą wskazania (ściślej estymaty wartości mierzonej), w naszym przykładzie niepewności bezwzględne należałoby więc wyrazić za pomocą jednej cyfry. Jeżeli jednak przewiduje się korzystanie z obliczonych niepewności standardowych do dalszych obliczeń, należy je wyrażać za pomocą większej liczby cyfr (dwóch, trzech).

Rozważymy teraz model niedokładności wzorca miary. Działanie wzorca traktujemy jako przetwarzanie wartości nominalnej (czyli deklarowanej) wielkości odtwarzanej w wartość prawdziwą wielkości odtwarzanej. Wartość nominalna wielkości odtwarzanej jest nazywana wartością nominalną (deklarowaną) wzorca lub wskazaniem wzorca, wartość prawdziwa wielkości odtwarzanej - wartością prawdziwą wzorca. Wzorzec może być jednomiarowy, jeżeli formuje tylko jeden przejaw wielkości odtwarzanej, i wielomiarowy nastawny, jeżeli formuje wiele przejawów wielkości odtwarzanej, odpowiednio do nastawionych wartości nominalnych.

Działanie wzorca jest niedoskonałe, wartość prawdziwa wielkości odtwarzanej jest w stosunku do wartości nominalnej obarczona błędem

   + y  (3.33)

Błąd ten ma zwykle charakter błędu systematycznego, zapiszemy więc

      (3.34)

Wartość błędu  (poprawki w teorii niepewności) jest nieznana, w procesie wzorcowania wzorca wyznacza się tylko przedział [D, D], w którym ona leży. Zachodzi więc

(3.36)

Przedział [D, D] nazywać można przedziałem niepewności poprawki wzorca lub wprost przedziałem niepewności wzorca, granicę (symetrycznego) przedziału niepewności wzorca D nazywa się błędem granicznym wzorca lub niedokładnością wzorca. Parę wartości ±D nazywa się także granicami błędu wzorca. Niedokładność D wzorca w warunkach odniesienia jest charakterystycznym parametrem opisującym liczbowo jego niedokładność. Niedokładności D wyznacza się w procesie wzorcowania czyli kalibracji wzorca miary.

Niedokładność wzorca jednomiarowego opisuje się zwykle ustalając dla niego niedokładność względną czyli błąd graniczny względny

(3.37)

rzadziej niedokładność bezwzględną D (graniczny błąd bezwzględny).

Niepewność standardową wzorca określa się tak jak dla miernika jako wariancję jego poprawki, stosując taki sam zabieg hipotetycznej randomizacji poprzez losowy wybór wzorca ze zbioru wszystkich wzorców o tej niedokładności. Najczęściej przyjmuje się prostokątny rozkład randomizowanych poprawek. Dla rozkładu prostokątnego niepewność standardowa bezwzględna i niepewność standardowa względna wzorca są związane z niedokładnością D wzorca zależnościami

(3.38)

Coraz częściej niedokładność wzorców miary opisuje się podając ich niepewność standardową.

Opis niedokładności wzorców wielomiarowych nastawnych jest identyczny z opisem niedokładności mierników. Stosuje się normalizację addytywną, multiplikatywno-addytywną a także multiplikatywną. Ta ostatnia polega na ustaleniu granicznego błędu względnego stałego w całym zakresie możliwych nastaw wzorca.

Typowymi wzorcami jednomiarowymi są wzorce napięcia (ogniwa wzorcowe, wzorce półprzewodnikowe) i oporniki dekadowe; typowymi wzorcami nastawnymi - oporniki dekadowe.