Pytanie 1

Ekonomia matematyczna formalnie definiowana jest jako takie podejście do analizy ekonomicznej, w którym ekonomista wykorzystując symbole i twierdzenia matematyczne opisuje konkretne zagadnienia ekonomiczne. Wszelakie założenia i wnioski wyrażone są za pomocą symboli matematycznych i równań w miejsce słów i zdań. Również podczas procesu wnioskowania szeroko stosowany jest aparat matematyczny. Takie podejście powoduje stworzenie modelu matematycznego w postaci układu założeń matematycznych o powiązaniach między zmiennymi charakteryzującymi to zjawisko ekonomiczne

Przedmiotem badań ekonomii matematycznej może być każda z gałęzi ekonomii taka jak mikroekonomia czy makroekonomia. Jako nauka jest ściśle powiązana z innymi dyscyplinami takimi jak ekonometria, statystyka, prognozowanie i ocena projektów inwestycyjnych (zarządzanie ryzykiem) a i oczywiście w największym stopniu z matematyką.

Podejście matematyczne do zagadnień ekonomicznych pozwala na zwięzłe i precyzyjne formułowanie problemów, które jest wygodniejsze w rozumowaniu dedukcyjnym. Pociąga to za sobą jawne i jednoznaczne formułowanie założeń, co wyklucza większość nieporozumień i błędów. Dzięki zastosowaniu ekonomii matematycznej uzyskuje się wyspecjalizowaną teorię, którą można sprawdzić formalnie. Testowane teorie są bardziej precyzyjne, dzięki czemu zmniejsza się ich dwuznaczność.

Pytanie 2

Na historię ekonomii matematycznej składają się trzy główne nachodzące na siebie nurty badawcze:

- Okres Marginalizmu oparty o rachunek różniczkowy (1838-1947)

- Okres Teoretyczny oparty o teorię zbiorów i modele liniowe (1948-1960)

- Okres Integracji (1961-1970)

Marginalizm

Za początek ekonomii matematycznej przyjmuje się pracę Augustyna Cournota z 1838 roku, w której zaproponował teorię przedsiębiorstwa oraz teorię interakcji pomiędzy przedsiębiorstwem a konsumentami na rynku. Cournot uważał, że przedsiębiorstwa wybierają nakłady czynników w taki sposób, aby maksymalizować zysk. Rozważał także zrównanie się popytu i podaży przy cenie oczyszczającej rynek danego produktu oraz analizował oligopol, w którym konkurencyjność między sprzedającymi jest ograniczona

Ekonomiści rozwijali teorie formalne posługując się aparatem matematycznym - głównie rachunkiem różniczkowym. Stworzyli teorię zachowania przedmiotów w skali mikro i teorię równowagi ogólnej w oparciu o maksymalizację zysku.

Pod koniec XIX w. Walras, WIcksell i Clark rozszerzyli analizę Cournota przez wprowadzenie funkcji produkcji, a Hotteling stworzył jej pierwszą całościową i spójną koncepcję. W ramach teorii konsumenta zaproponowano funkcję popytu konsumpcyjnego i zastąpiono koncepcję użyteczności kardynalnej użytecznością porządkową. Powstała również koncepcja równowagi mówiąca o zrównaniu się popytu z podażą na wzajemnie powiązanych rynkach.

Pytanie 3

Funkcja użyteczności to sposób przypisywania liczb każdemu możliwemu koszykowi konsumpcji, tak, że bardziej preferowane koszyki otrzymują wyższe numery od mniej preferowanych. Oznacza to, że koszyk (X¹,X²) jest preferowany od koszyka (Y¹,Y²) wtedy i tylko wtedy, gdy użyteczność (X¹,X²) jest większa od (Y¹,Y²)

(X¹,X²) >(Y¹,Y²) u(X¹,X²)>u(Y¹,Y²)

Użyteczność porządkowa ma na celu uporządkowanie koszyków dóbr. Wartości funkcji użyteczności są o tyle ważne, o ile hierarchizują one różne koszyki konsumpcji. Wielkość różnicy użyteczności pomiędzy dwoma koszykami nie ma znaczenia, dlatego nie istnieje tylko jeden sposób przypisania użyteczności poszczególnym koszykom

Wszystkie trzy funkcje użyteczności mają tą własność, że przypisują wyższy numer koszykowi A od B i B od C. Każda monotoniczna transformacja funkcji użyteczności jest funkcją użyteczności o tych samych preferencjach.

Użyteczność kardynalna w odróżnieniu od porządkowej próbuje określać wielkość różnicy użyteczności pomiędzy dwoma koszykami. Przykładowo można przyjąć, że użyteczność koszyka A jest dwa razy większa niż B, jeśli jesteśmy skłonni dać dwa koszyki B za jeden A. Jednakże i tu nie istnieje jednoznaczny sposób przypisania użyteczności.

Pytanie 4 (160 słów)

Uszeregowanie leksykograficzne jest pojęciem odnoszącym się do kryterium wyboru jednego koszyka chętniej niż drugiego na podobnej zasadzie jak alfabetyczne posortowanie słów w słowniku.

Przykładem może być osoba będąca miłośnikiem jabłek. Załóżmy istnienie trzech koszyków X⁰, X¹, X², z których każdy składa się z dwóch dóbr owoców X₁ i czekolady X₂. Pytaniem, które zada taka osoba przy wyborze koszyka będzie „Gdzie jest najwięcej owoców. Zakładając, że ilość owoców X⁰₁>X¹₁ to wybór wygląda X⁰>X¹. Jeśli jednak założyć że ilość owoców w pierwszym koszyku i w trzecim jest identyczna X⁰₁=X²₁ to przy dokonywaniu wyboru osoba będzie się kierowała drugim w kolejności składnikiem koszyka - tutaj czekoladą i jeśli X⁰₂<X²₂ wtedy X⁰<X² a więc X¹<X⁰<X².

Wyboru dokonuje się na podstawie preferowanego dobra tzn. tam gdzie tego dobra jest więcej, na pozostałe składniki koszyka patrząc tylko w przypadku równej ilości dobra preferowanego. Podobnie przy alfabetycznym sortowaniu na początku patrzymy na pierwszą literę wyrazu i dopiero, gdy w dwóch pozycjach są identyczne porównujemy drugą z kolei

Pytanie 5

1.Marshalowskie prawo popytu konsumpcyjnego.

Z warunków koniecznych maksymalizacji funkcji użyteczności

przy ograniczeniu budżetowym

wynika, że:

Stąd popytam na dobro i-te jest

Ponadto

Własności: Jedność rzędu zerowego, addytywność.

2.Hicksowskie funkcje popytu. Problem dualny

Minimalizuj

Przy ograniczeniu

Warunki konieczne

Z warunków wynika że

Obliczając funkcję popytu mamy:

czyli po przekształceniach mamy

Pytanie 6

Jednym z głównych założeń funkcji produkcji jest wzajemna substytucja czynników produkcji. Do zmierzenia poziomu substytucji służą KSS - Krańcowa Stopa Substytucji oraz σ - elastyczność substytucji. Wartość σ może być liczbą z zakresu od 0 do ∞. Im większa σ tym większa jest substytucyjność dwóch nakładów. Przypadki graniczne

σ =0 -> dobra komplementarne

σ=+∞ -> substytuty doskonałe

Najpopularniejszy przykład funkcji Cobb-Douglasa to Y= AK^α * L^1-α gdzie K - nakłady kapitału, L to nakłady pracy o K/L=k - to techniczne uzbrojenie pracy

dla danej funkcji KSS zależy tylko od k i KSS rośnie liniowo wraz ze wzrostem k

-> stała elastyczność substytucji = 1 (wzrost k o 1% powod wzrost KSS o 1%)

Nieco później zaczęto stosować funkcję produkcji CES (constant elastity od substitution). Gdzie już jej sama nazwa wskazuje na stałą elastyczność substytucji.

Q=A[δK^-p+(1-δ)L^-p]^-1/p gdzie A>0, 0<δ<1, -1<p≠0

σ = 1/(1+p) - elastyczność substytucji zależy od parametru p

dla p->0 funkcja CES dąży do funkcji Cobba Douglasa i σ=1

dla p->-1 z funkcji CES otrzymujemy funkcję liniową (izokwantę) a σ->+∞

dla p->∞ CES przyjmuje postać niesubstytucyjnej funkcji produkcji Leontiewa

Pytanie 7

Funkcja produkcji Cobb-Douglasa

Funkcja Lagranga dla problemu przedsiębiorstwa jest postaci

Warunki Kuhna-Tackera dla tego problemu są następujące

Czyli

Przekształcając otrzymujemy

Podstawiając mamy

Funkcja popytu na i-ty czynnik produkcji jest postaci

Funkcja podaży produktu jest postaci

Funkcja zysku jest postaci

Pytanie 8

Korzystając z przykładu z zadania 7 gdzie

Funkcja produkcji Cobb-Douglasa

Funkcja popytu na i-ty czynnik produkcji jest postaci

Funkcja podaży produktu jest postaci

Funkcja zysku jest postaci

Z twierdzenia Hotelinga

Różniczkując funkcje zysku mamy

Czyli

A więc

Czyli

A więc

Czyli

A więc

Z twierdzenia Shepharda

Warunki Kuhna Tuckera można zapisać w postaci

Z warunków tych wynika że

Iloraz krańcowych produktywności nakładów czynnika produkcji jest równy ilorazowi ich cen jednostkowych

Przedsiębiorstwo produkuje na funkcji produkcji

Pytanie 10

Z ryzykiem mamy doczynienia w sytuacji gdy nie wiemy czy określone zdarzenie wystąpi, ale znamy prawdopodobieństwo jego realizacji. Ryzyko jest miarą możliwej dyspersji wyniku. Działanie w warunkach ryzyka jest nieodłącznym atrybutem każdej gospodarki.

Pojęcie niechęci do ryzyka najłatwiej wyjaśnić na przykładzie. Przypuśćmy że konsument posiada obecnie majątek wartości 10 jednostek pieniężnych (j.p) i rozważa grę, która daje mu 50% prawdopodobieństwa wygrania 5 j.p. i 50% prawdopodobieństwa utraty 5 j.p. Natomiast jej oczekiwana użyteczność wynosi

U

Oczekiwana użyteczność gry jest średnią z dwóch liczb U(5) i U(15). Użyteczność oczekiwanej wartości gry wynosi U(10). Użyteczność gry jest mniejsza od użyteczności jej wartości oczekiwanej, to znaczy

W tym przypadku mówimy że konsument jest niechętny ryzyku (cechuje go awersja do ryzyka), ponieważ woli mieć oczekiwaną wartość gry niż uczestniczyć w hazardzie. Funkcja użyteczności konsumenta niechętnego ryzyku jest wklęsła - jej nachylenie staje się coraz mniejsze w miarę jak majątek rośnie. Krzywa funkcji użyteczności wyraża stosunek konsumenta do ryzyka. Im bardziej funkcja użyteczności jest wklęsła, tym większą awersję do ryzyka wykazuje konsument.

Jeśli preferencje konsumenta przybiorą taki kształt, że będzie on wolał samą grę od jej oczekiwanej wartości, będzie to oznaczać że lubi on ryzyko. Jego funkcja użyteczności jest wypukła, jej nachylenie staje się coraz większe w miarę wzrostu majątku. Im bardziej funkcja jest wypukła, tym bardziej konsument lubi ryzyka.

Liniowość funkcji użyteczności oznacza neutralność konsumenta wobec ryzyka. Konsumenta nie interesuje ryzykowność gry - interesuje się wyłącznie wartością oczekiwaną

Miary niechęci do ryzyka mogą być różne. Dwie podstawowe to

gdzie

V=V(c) - funkcja odzwierciedlająca zadowolenie decydenta z konsekwencji c podjętej przez siebie decyzji.

Jeśli A'(c)<0 to decydenta cechuje malejąca niechęć do absolutnego ryzyka

Jeśli A'(c)=0 to decydenta cechuje stała niechęć do absolutnego ryzyka

Jeśli A'(c)>0 to decydenta cechuje rosnąca niechęć do absolutnego ryzyka

Jeśli R'(c)<0 to decydenta cechuje malejąca niechęć do relatywnego ryzyka

Jeśli R'(c)=0 to decydenta cechuje stała niechęć do relatywnego ryzyka

Jeśli R'(c)>0 to decydenta cechuje rosnąca niechęć do relatywnego ryzyka

(Y) c - bogactwo

U(Y) V(c) - całkowita użyteczność bogactwa Y

U'(Y) V'(c) - krańcowa użyteczność bogactwa Y

U''(Y) V''(c) - stopa zmian użyteczności krańcowej względem bogactwa

Obie miary A(c) i R(c) są miarami lokalnymi

Pytanie 12

W teorii nauk ekonomicznych sytuacją przetargową nazywamy sytuację w której dwóch graczy (indywidualnych lub zbiorowych) mających sprzeczne interesy, może odnieść korzyść. Natomiast samym przetargiem nazywamy drogę jej rozwiązania. Polega on na wzajemnym składaniu sobie ofert i kontrofert przez strony, które powinny prowadzić do porozumienia. Jest to proces czasochłonny i wieloetapowy, a jego wynik jest nie pewny. Gdy podmioty mają wspólny interes w zawarciu transakcji, równocześnie mają sprzeczne interesy odnośnie ceny. Sprzedający jest zainteresowany sprzedażą po jak najwyższej cenie, kupujący po jak najniższej. Sytuacja wymiany w której strony mają sprzeczne interesy odnośnie warunków jej przeprowadzenia nazywamy sytuacją przetargową.

Przykładem takiej sytuacji i jej stron mogą być negocjacje pomiędzy sprzedającym a kupującym nieruchomości, negocjacje płacowe między pracodawcą a pracobiorcą, negocjacje między dwoma partiami w celu utworzenia koalicji rządzącej. Przetarg jest rodzajem aukcji i jedną z najstarszym form działania rynku.

Innym przykładem może być przetarg firmy na dostarczenie jej sprzętu komputerowego. Jedną stroną jest firma ogłaszająca zapotrzebowanie na sprzęt, drugą firmy sprzedające. Przetarg zależnie od rodzaju tematu może być na szczeblu regionalnym, krajowym lub światowym (??)

Pytanie 14

Decyzja zarządu na podstawie danych historycznych

W celu podjęcia decyzji przez zarząd należy obliczyć wartość oczekiwaną zysku każdej możliwej decyzji

E(A)=0,8*18+0,2*13=17

E(B)=0,8*11+0,2*15=11,8

E(C)=0,8*7+0,2*32=12

Zarząd powinien zatem podjąć decyzję o produkcji wyrobu B

Decyzja zarządu przy dodatkowej informacji o stanie rynku

Dodatkową informację możemy przedstawić za pomocą tabeli

Należy sprawdzić czy zmieniły się nasze prawdopodobieństwa o decyzji P(S_j/I_k)

Otrzymaliśmy nowe prawdopodobieństwa i teraz na ich podstawie dla każdego I_k, k=1,2 należy policzyć wartości oczekiwane zysku dla każdej decyzji

Dla k=1

E(A)=0,8889*18+0,1111*13=17,4445

E(B)=0,8889*11+0,1111*15=11,4444

E(C)=0,8889*7+0,1111*32=9,7775

Dla k=2

E(A)=0,6957*18+0,3043*13=16,4785

E(B)= 0,6957*11+0,3043*15=12,2172

E(C)= 0,6957*7+0,3043*32=14,6075

Decyzja zarządu po uzyskaniu dodatkowej informacji nie zmieni się - wybór padnie na produkt A. Maksymalną wartością informacji jaką zarząd może za nią zapłacić jest różnica między wartością oczekiwaną zysku przy dodatkowej informacji a wartością określoną priori.

W tym przypadku jest to

E(I_k)=0,54*17,4445+0,46*16,4785=17,00014

E(I_k)-E(A)=17,00014-17=0,00014

Jak widać dodatkowa informacja jest bardzo nie wiele warta