RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F'(x)=f(x), dla każdego x
I.

Przykłady funkcji pierwotnych:

a) f(x)=sinx b)

F₁(x)=-cosx G₁(x)=arcsinx

F₂(x)=π-cosx G₂(x)=arcsinx+arcsinx

F₃(x)=-cosx+5 G₃(x)=-arccosx-1

F₄(x)=-cosx+arcsinx, arcsinx
arcsinx

Niech F będzie funkcją pierwotną f na przedziale I. Wówczas:

Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną, ozn.
, funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji {F(x)+c:c
R}, gdzie:

f(x) nazywamy funkcją podcałkową

c nazywamy stałą całkowania

WNIOSEK: Zachodzi wzór:

=F(x)+c

gdzie: F(x) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f(x) na rozważanym przedziale,

c jest dowolną stałą

Przykład:

Interpretacja geometryczna:

F(x)+c₂

F(x)+c₁

F(x)
=F(x)+c

F(x)+c₃ całka nieoznaczona

F(x)+c₄

FAKT: Pochodna całki nieoznaczonej:

Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x
I zachodzi wzór:

FAKT: Całka nieoznaczona pochodnej:

Niech funkcja f' ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x
I zachodzi wzór:

gdzie c
R.

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale I, to jest całkowalna w sensie Newtona na tym przedziale.

Przykład: Obliczyć całki:

Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to:

1)

2)

Przykład: Obliczyć całki nieoznaczone:

Jeżeli funkcje u i v mają na pewnym przedziale ciągłe pochodne u' i v', to:

na tym przedziale.

Przykład: Obliczyć całki:

UWAGA: Dla całek w postaci
, gdzie dla funkcji f(x) istnieje pewna liczba n
N taka, że f⁽ⁿ⁾(x)=0, natomiast g(x) jest przynajmniej n-krotnie całkowalna można zastosować schemat wielokrotnego całkowania przez części:

Przykład: Obliczyć:

x⁵e^x-5x⁴e^x+2x³e^x-60x²e^x+120xe^x+120e^x+c

=f(x)∙G(x) - f'(x)∙G₂(x) + f”(x)∙G₃(x) - ... + f^(n-1)(x)∙G_n(x)+c.

1)

2)

3)

4)

Jeżeli:

gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną funkcji f oraz c
R.

Przykład: Obliczyć całki:

Ciąg dalszy wzorów rekurencyjnych:

5)

Przykład: Obliczyć całki:

6)

7)

Przykład: Obliczyć całki:

1)
, przy założeniu, że f(x)
0 *

dowód:

c.n.d

2)

3)
, przy założeniu, że f(x)>0

dowód:

4)
, przy założeniu, że f(x)
0

Przykład: Obliczyć całki:

*

Jeżeli
to
, a,b
R i a
0.

dowód:

założenie:

c.n.d.

Przykłady: Obliczyć całki:

Funkcję
nazywamy właściwą, gdy stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, tj. m<n

m>n

Funkcję wymierną (właściwą) postaci

, gdzie n
N; a, A
R nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju

Funkcję wymierną (właściwą) postaci:

, gdzie n
N; A, B, p, q
R oraz A=p²-4q<0 nazywamy ułamkiem prostym pierwszego rodzaju.

Każda funkcję wymierną właściwą można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych, przy czym przedstawienie to jest jednoznaczne. Ponadto, jeżeli mianownik funkcji po rozkładzie na czynniki przyjmuje postać:

gdzie a, a_i,..., a_m, p_i, q_i,..., p_s, q_s
R

a
0 Δi=p_i²-4q_i<0 i=1,..., s, a wykładniki k_i,..., k_m, l_i,..., l_s
N,

to funkcję wymierną przedstawiamy jako sumę k_i + k₂ +...+ k_m ułamków prostych pierwszego rodzaju oraz l₁+l₂+...+l_s ułamków prostych drugiego rodzaju, przy czym:

Przykład: Obliczyć całki:

,

gdzie R(sinx,cosx) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych sinx i cosx.

Jeśli:

wówczas x=arctgt i dx=
oraz
i

wyprowadzenie: sin²x+cos²x=1/:cos²x

wówczas
i
oraz
i

wyprowadzenie:

Przykład: Obliczyć całki:

,
,

stosujemy następujące tożsamości trygonometryczne:

Przykład:

gdzie f jest dowolną funkcją, stosujemy podstawienie e^x=t.

Przykład: Obliczyć całkę:

gdzie R jest funkcją wymierną względem zmiennych x i
, n>1, n
N oraz ad-bc
0 stosujemy podstawienie:
.

Jeżeli cx+d
1 to całka przyjmuje postać:

Stosujemy wówczas podstawienie:

Przykład: Obliczyć całki:

gdzie R jest funkcją wymierną wielu zmiennych:

x_i­ ,
i=1,...,r ; p_i/q_i
Q oraz ad-bc
0

stosujemy podstawienie:

gdzie n=NWW (q₁, q₂, ..., q_r) NWW - najmniejsza wspólna wielokrotność

Przykład: Obliczyć całkę:

(t⁸-t⁵):(t²+1)=t⁶-t⁴-t³+t²+t-1

-t⁸-t⁶

=-t⁶-t⁵

t⁶+t⁴

= -t⁵+t⁴

t⁵+t³

= t⁴+t³

-t⁴-t²

= t³-t²

-t³-t

= -t²-t

t²+1

=-t+1

Do obliczania całek typu:

1)
stosujemy podstawienie: x=asint lub x=atght (tg hiperboliczny)

2)
stosujemy podstawienie: x=atgt lub x=asinht

3)
stosujemy podstawienie: x=acost

gdzie a>0

Przykład: Wyprowadzić wzór na
.

Stosujemy podstawienie: x=asint
dx=acostdt

gdzie R jest funkcją wymierną względem zmiennych (x i
) stosujemy podstawienia Eulera obejmujące następujące przypadki:

gdzie x₀ jest jednym z dwóch pierwiastków trójmianu ax²+bx+c

Przykład: Obliczyć całkę
dwoma sposobami:

1)

2)

Przykład: Wyprowadzić wzór na

Podziałem P_n przedziału <a,b> na n podprzedziałów, gdzie n
N, nazywamy zbiór:

P_n={x₀, x₁, x₂,..., x_n-1, x_n}

przy czym a=x₀<x₁<...<x_n-1<x_n=b

Długość podprzedziału <x_k-1, x_k> k=1,2,...,n oznaczana przez Δx_k jest równa:

Δx_k=x_k-x_k-1

Liczbę
nazywamy średnicą podziału P_n.

x₀ x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆ x₇ x_n

a b

Niech x_k*
<x_k-1,x_k> ozn. punkt pośredni k-tego podprzedziału dla k₁=1,2,...,n.

Niech funkcja f będzie ograniczona na przedziale <a,b> oraz niech P_n będzie podziałem tego przedziału. Sumą całkową Riemanna funkcji f odpowiadającej podziałowi P_n przedziału <a,b> oraz punktem pośrednim x_k* dla k=1,2,..., n tego przedziału nazywamy liczbę:

Interpretacja geometryczna sumy całkowej Riemanna.

y

Suma całkowa Riemanna jest przybliżeniem pola

obszaru ograniczonego wykresem funkcji y=f(x)>0 osią

OX i prostymi x=a i x=b (trapezu krzywoliniowego) za

f(x₁*) pomocą sumy pól prostokątów o podstawach Δx_k i

wysokościach f(x_k*), k=1,2,..., n.

a=x₀ x₁x₂ x_n-1 x_n=b x

x₁* x₂* x_n*

Ciąg (P_n) nazywamy ciągiem normalnym podziału jeżeli: odpowiadający mu ciąg średnic (δ_n)=[ δ(P_n)] dąży do zera, tj.

Każdemu ciągowi podziałów (P_n) odpowiada ciąg sum całkowych (σ_n), którego wyraz ogólny σ_n=σ(f,P_n) zależy od wyboru punktów pośrednich:

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów przedziału <a,b> ciąg sum całkowych (σ_n) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnej od wyboru punktów x_k* to tą granicę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f na przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem:

tj. :

Pod pojęciem całki oznaczonej rozumiemy całkę oznaczoną Riemanna.

Przedział <a,b> nazywamy przedziałem całkowania

a nazywamy dolną granicą całkowania

b nazywamy górną granicą całkowania

f(x) nazywamy funkcją podcałkową

Niech f będzie funkcją ciągłą przyjmującą na przedziale <a,b> wartości nieujemne, tj. f(-x)>0

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej:

Niech D oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresem funkcji f(x), osią OX oraz prostymi x=a i x=b. Granica sum pól prostokątów (z interpretacji geometrycznej sumy całkowej) przybliżających ten trapez zbiega przy średnicy podziału δ(P_n)→0 do pola trapezu.

Jeżeli istnieje całka oznaczona Riemanna dla funkcji f to mówimy, że funkcja jest

R - całkowalna na przedziale <a,b>.

UWAGA: Ograniczoność nie jest warunkiem wystarczającym R - całkowalności funkcji!!!

Np. funkcja Dirichleta D(x)

D(x) jest ograniczona ale nie jest całkowalna

IQ - liczby niewymierne

Q - liczby wymierne

Jeżeli funkcja f jest ograniczona na przedziale <a,b> i ma na tym przedziale skończoną liczbę punktów nieciągłości I rodzaju, to jest na tym przedziale całkowalna.

WNIOSEK: Funkcja ciągła na przedziale domkniętym, jest na tym przedziale całkowalna.

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na przedziale <a,b> to:

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale <a,b> i c
(a,b) to:

Przyjmujemy:

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na przedziale <-a,a> oraz:

DOWÓD:

Przykład: Obliczyć całki oznaczone:

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale <a,b> to istnieje punkt c
<a,b>, taki, że:

Interpretacja geometryczna:

Niech f będzie całkowalna na <a,b> i α
<a,b> będzie dowolnie ustaloną liczbą. Dla dowolnego x
<a,b> określamy funkcję:

nazywaną funkcją górnej granicy całkowania.

Jeżeli funkcja f jest całkowalna na <a,b> i α
<a,b> to funkcja F(x) jest funkcją ciągłą zmiennej x, w tym przedziale.

DOWÓD: Wystarczy pokazać, że dla dowolnie wybranych x, x+h
<a,b> zachodzi
. Weźmy: x, x+h
<a,b>

M - wartość stała

Jeśli f jest funkcją całkowalną na x
<a,b> i α
<a,b> to funkcja:

jest różniczkowalna i ma pochodną.

F'(x)=f(x) w każdym punkcie x
<a,b>, w którym funkcja f jest ciągła.

DOWÓD: Weźmy x, x+h
<a,b>, h
0

x₀(h) → punkt należący do przedziału <x, x+h>, zależny od wyboru h.

c.n.d.

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale <a,b>, F jest dowolną pierwotną funkcji f na tym przedziale, to:

Powyższy wzór nazywamy wzorem Newtona - Leibniza.

DOWÓD: Weźmy dowolną funkcję pierwotną funkcji f postaci
, dla dowolnego a.

Policzmy:

Stąd:

Policzmy:
c.n.d.

Przykład: Obliczyć całki oznaczone:

Jeżeli funkcje u i v mają ciągłe pochodne u' i v' na <a,b> to:

DOWÓD:

F(x)=u(x)∙v(x) ; u, v, u', v' są ciągłe

F'(x)=u'(x)∙v(x)+u(x)∙v'(x)

u(x) ∙v'(x)=F'(x)-u'(x) ∙v(x)

Przykład: Obliczyć całki oznaczone przez części:

Jeżeli:

to:

Przykład: Obliczyć całki oznaczone przez podstawianie:

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIERWSZEGO RODZAJU → całki o nieograniczonym przedziale całkowania

Niech funkcja f będzie określona na przedziale <a,+∞), tzn. f: <a,+∞)→R i niech f będzie całkowalna w każdym punkcie przedziale domkniętym <a,b>
<a,+∞) dla t>a.

Granicę:

nazywamy całką niewłaściwą pierwszego rodzaju na przedziale <a,+∞) dla t>0 i oznaczamy:

Zapisujemy:

Analogicznie definiujemy całkę niewłaściwą funkcji f na przedziale (-∞,a>:

Jeżeli funkcja f jest określona na przedziale (-∞,+∞) oraz całkowalna na każdym przedziale domkniętym <t₁,t­₂>
R to jej całkę niewłaściwą na przedziale (-∞,+∞) definiujemy następująco:

Mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, lub istnieje, jeśli odpowiednia granica z powyższej definicji jest właściwa, natomiast całka niewłaściwa jest rozbieżna (nie istnieje) jeśli ta granica jest niewłaściwa lub nie istnieje.

Przykład: Zbadać zbieżność całek:

całka zbieżna

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU → całki niewłaściwe funkcji ograniczonej

Jeśli funkcja f jest nieograniczona w lewostronnym sąsiedztwie punktu b i całkowalna w każdym przedziale domkniętym zawartym w <a,b>, tj. w przedziale <a,b-ε> dla dowolnego 0< ε<b-a to granicę:

nazywamy całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale <a,b> co zapisujemy:

Interpretacja geometryczna:

ε→0⁺ b- ε → b

Jeśli funkcja f jest ograniczona w prawostronnym sąsiedztwie punktu a i całkowalna w każdym przedziale domkniętym zawartym w (a,b> tj. przedziale <a+ε, b> dla dowolnego 0< ε<b-a to granicę:

nazywamy całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale <a,b> co zapisujemy:

Interpretacja geometryczna:

ε→0⁺
a+ε → a

Przykład: Zbadać zbieżność całek:

całka zbieżna

granica nie istnieje więc całka jest rozbieżna

Jeżeli funkcja f jest nieograniczona zarówno w prawostronnym sąsiedztwie punktu a jak i w lewostronnym sąsiedztwie punktu b oraz całkowalna w każdym przedziale domkniętym w (a,b), tj. w przedziale (a+ε₁, b-ε₂) dla dowolnego 0<ε₁<b-a i 0<ε₂<b-a to sumę granic:

i

nazywamy całką niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f na przedziale <a,b> co zapisujemy:

Punkt c wybieramy w ten sposób, aby funkcja podcałkowa f(x) była ograniczona.

Interpretacja geometryczna:

a<c<b

Przykład: Zbadać zbieżność całki:

całka zbieżna

Całkę niewłaściwą drugiego rodzaju funkcji f(x) na przedziale (a,b) zawierającym dokładnie jeden punkt c
(a,b), w sąsiedztwie którego funkcja f(x) jest nieograniczona definiujemy w sposób następujący:

Interpretacja geometryczna:

Przykład: Zbadać zbieżność całki:

granica nie istnieje, więc

całka jest rozbieżna

Mówimy, że całka niewłaściwa drugiego rodzaju jest zbieżna (istnieje), jeżeli odpowiednia granica (suma granic) w powyższych definicjach jest właściwa, natomiast całka niewłaściwa jest rozbieżna (nie istnieje), jeśli granica ta jest niewłaściwa lub nie istnieje.

Niech dane będą funkcje f(x) i g(x) ciągłe na przedziale <a,b> o wartościach nieujemnych, tzn. f(x)>0 i g(x)>0 spełniające nierówność f(x)>g(x) dla dowolnego x
<a,b>. wtedy pole figury (trapezu krzywoliniowego) ograniczonej prostymi x=a, x=b, krzywymi y=f(x) i y=g(x) wyraża się wzorem:

Interpretacja geometryczna:

Niech dane będą funkcje f₁(y) i g₁(y) ciągłe ma <c,d> o wartościach nieujemnych, tzn. f₁(y)>0 i g₁(y)>0 dla y
<c,d>. Wówczas pole figury ograniczonej prostymi y=c i y=d i krzywymi f₁(y) i g₁(y) wyraża się wzorem:

Interpretacja geometryczna:

Przykład: Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji y=x² i y=
.

y=x²

y=

x²=
/²

x⁴=x

x(x³-1)=0

x(x-1)(x²+x+1)=0

x=0 i x=1

Przykład: Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji y=
i y=x dla x>0 oraz

prostą y=0.

I sposób:

y=

x=

y=x

x³-1=0

x=1

|D|=|D₁|+|D₂|

|D|=

II sposób:

x²=
x=

Jeżeli funkcja f(x) ciągła na przedziale <a,b> dana jest parametrycznie równaniami: x=x(t) y=y(t) dla t

, przy czym x(α)=a i x(β)=b funkcje x(t), y(t) oraz dodatnia pochodna
są ciągłe na przedziale
, to pole figury płaskiej, ograniczonej daną krzywą i osią OX wyraża się wzorem:

Przykład: Obliczyć pole figury ograniczonej cykloidą oraz osią OX.

x(t)=2(t-sint)

y(t)=2(1-cost) t
<0,2π>

x'(t)=2(1-cost)
(t)>0

y(t)>0

Łukiem zwykłym nazywamy linię o równaniu y=f(x), x
<a,b>, gdzie f(x) jest funkcją ciągłą. Punkty A[a, f(a)] i B[b, f(b)] nazywamy końcami łuku
. Jeżeli A
B to łuk nazywamy otwartym, a jeżeli A=B to łuk nazywamy zamkniętym lub zwykłą krzywą zamkniętą. Jeżeli funkcja f(x) posiada ciągłą pochodną to łuk zwykły nazywamy gładkim.

Oznaczmy przez A_k(x_k, y_k), gdzie y_k=f(x_k), k=0,1,2,...,n, A=A₀ i B=A_n. Łącząc punkty A_k otrzymujemy łamaną A₀A₁,... A_n-1A_n wpisaną w łuk
. Weźmy pod uwagę długość łamanej A₀A₁,..., A_n-1A_n.

Interpretacja geometryczna:

Długością L łuku
nazywamy granicę (o ile istnieje) długości łamanej wpisanej w ten łuk przy ilości odcinków łamanej dążącej do nieskończoności i długości najdłuższego odcinka łamanej dążącej do zera.

Jeżeli funkcja f posiada ciągłą pochodną na <a,b>, to długość łuku
określonego równaniem y=f(x) dla x
<a,b> wyraża się wzorem:

Przykład: Obliczyć długość łuku y=lnx dla x

.

Jeżeli funkcja f dana jest równaniem parametrycznym x=x(t) i y=y(t) dla t
<α,β>, przy czym x(α)=a i y(β)=b oraz x(t) i y(t) posiadają ciągłe pochodne w <α,β>, to długość łuku L jest równa:

Przykład: Obliczyć długość cykloidy

x=r(t-sint)

y=r(1-cost) 0<t<2π r>0

x'(t)=r(1-cost) y'(t)=rsint

Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła na przedziale <a,b>. Ponadto niech T oznacza trapez krzywoliniowy ograniczony wykresami funkcji f(x), osią OX, oraz prostymi x=a i x=b. wtedy objętość V bryły powstałej przez obrót trapezu T wokół osi OX wyraża się wzorem:

Interpretacja geometryczna:

Przykład: Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót wokół osi OX elipsy o równaniu

Dla kuli a=b=R

Jeżeli funkcja f dana jest równaniami parametrycznymi x=x(t), y=y(t) dla t
<α,β>, przy czym x(α)=a, y(β)=b oraz funkcje x(t), y(t) i
są ciągłe w <α,β> to objętość bryły powstałej przez obrót trapezu T wokół osi OX wyraża się wzorem:

Przykład: Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej o równaniu x=2cost y=2sint t

x'=-2sint sint>0 t

Niech funkcja nieujemna f będzie ciągła wraz z pierwszą pochodną na przedziale <a,b>. ponadto niech T będzie trapezem krzywoliniowym ograniczonym wykresem funkcji f(x), osią OX oraz x=a i y=b. Wtedy pole S powierzchni bocznej bryły powstałej przez obrót trapezu wyraża się wzorem:

Przykład: Wyprowadzić wzór na pole powierzchni kuli o promieniu r.

x²+y²=r²

Jeżeli funkcja f dana jest równaniami parametrycznymi x=x(t), y=y(t), t
<α,β>, przy czym x(α)=a, y(β)=b oraz y(t)>0, funkcje x(t), y(t),
i
są ciągłe w <α,β>, to pole S wyraża się wzorem:

Przykład: Obliczyć pole powierzchni bryły utworzonej przez obrót dookoła osi OX cykloidy o równaniu x=r(t-sint) y=r(1-cost) t
<0,2π>