Indukcja matematyczna

Zasada indukcji matematycznej mówi, że:

jeżeli:

1° pewna liczba naturalna n₀ ma własność W,

2° z tego, że dowolna liczba naturalna k≥n_o ma własność W ,wynika, że liczba k+1 ma własność W,

to każda liczba naturalna n≥n_o ma własność W.

Chcąc udowodnić prawdziwość wzoru, w którym występuje zmienna naturalna n, dla wszystkich możliwych n, to musimy:

1° sprawdzić prawdziwość tego wzoru dla n=1

2° zakładając prawdziwość wzoru dla n=k (założenie indukcyjne), wykazać jego prawdziwości dla n=k+1 (teza indukcyjna).

Z tego wyniknie prawdziwość wzoru dla wszystkich liczb naturalnych.

Dwumian Newtona

Dwumianem Newtona nazywamy wzór na n-tą potęgę dwumianu a+b. We wzorze tym używamy symbolu (n nad k), zwanego symbolem

Newtona i określonego następująco:

przy czym:

gdzie symbol k! Oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do k, przy czym 0!=1. Zachodzi związek:

Wzór na dwumian Newtona jest następujący:

Wzór na współczynniki:

Ciągi nieskończone

Jeżeli każdej liczbie naturalnej n zostanie przyporządkowana jedna liczba rzeczywista u_n, to mówimy, że został określony nieskończony ciąg liczbowy.

Ciąg nieskończony zapisuje się w postaci:

u₁, u₂, …, u_n, … lub {u_n}.

Liczby u₁, u₂, … nazywamy wyrazami ciągu u_n; symbol u_n nazywamy wyrazem ogólnym tego ciągu.

Ciąg nieskończony {u_n} ma granicę g, jeżeli dla każdej liczby dodatniej ε można znaleźć w ciągu (istnieje w ciągu) takie miejsce N, że dla każdego n≥N zachodzi nierówność:

Ciąg mający granicę g zapisuje się następująco:

Mówimy, że ciąg nieskończony {u_n} ma granicę ∞, jeżeli dla każdej liczby M>0 można znaleźć w ciągu (istnieje w ciągu) takie miejsce N, że dla każdego n≥N zachodzi nierówność:

Ciąg mający granicę + ∞ zapisuje się następująco:

Mówimy, że ciąg nieskończony {u_n} ma granicę - ∞, jeżeli dla każdej liczby M>0 można znaleźć w ciągu (istnieje w ciągu) takie miejsce N, że dla każdego n≥N zachodzi nierówność:

Ciąg mający granicę - ∞ zapisuje się następująco:

Nie każdy ciąg ma granicę. Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną, nazywamy ciągiem zbieżnym. Wszystkie inne ciągi nieskończone nazywamy ciągami rozbieżnymi. Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu nieskończonego nie wpływa na istnienie granicy ciągu ani na jej wartość.

Tw.1. Jeżeli ciąg {a_n} ma granicę a i ciąg {b_n} ma granicę b, to ciąg {a_n+b_n} ma granicę a+b.

Tw.2. Jeżeli ciąg {a_n} ma granicę a i ciąg {b_n} ma granicę b, przy czym żaden z wyrazów ciągu {b_n} nie równa się zeru, ani też jego granica b nie równa się zeru, to ciąg ilorazów {a_n/b_n} ma granicę a/b.

Tw.3. Jeżeli licznik i mianownik ułamka są wielomianami tego samego stopnia względem zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka przy n→∞ równa się stosunkowi współczynników przy najwyższych potęgach n.

Tw.4. Jeżeli mianownik ułamka jest wielomianem stopnia wyższego względem zmiennej naturalnej n aniżeli licznik, to granica takiego ułamka przy n→∞ równa się zeru.

Tw.5. Jeżeli licznik ułamka jest wielomianem względem zmiennej naturalnej n stopnia wyższego niż mianownik, to gdy n→∞, wartość bezwzględna ułamka dąży do nieskończoności.

Tw.6. Jeżeli ciąg {a_n} o wyrazach nieujemnych ma granicę a, to ciąg gdzie jest ustaloną liczbą naturalną, ma granicę

Tw.7. (twierdzenie o trzech ciągach). Jeżeli wyrazy ogólne trzech ciągów {a_n}, {u_n}, {b_n} spełniają dla n≥n_o nierówność:

i jeżeli ciągi {a_n} i {u_n} mają wspólną granicę g, to ciąg {u_n} ma tę samą granicę.

Ważny wzór!

gdzie e=2,71828… jest podstawą logarytmów naturalnych.

jeżeli