Indeksy statystyczne
Pojęcia podstawowe
Szeregiem czasowym (chronologicznym, dynamicznym) nazywa się uporządkowany (wg czasu) zbiór obserwacji statystycznych charakteryzujących zmiany zjawiska w czasie.
Szeregi czasowe momentów zawierają informacje o poziomie zjawiska w określonych momentach czasu.
Ludność w wieku produkcyjnym, stan w dniu 31 grudnia w latach 1990 -1995.
Lata |
Liczba ludności w wieku produkcyjnym w mln (stan w dn. 31.12) |
1990 |
21,9 |
1991 |
21,5 |
1992 |
21,9 |
1993 |
22,0 |
1994 |
22,0 |
1995 |
22,2 |
Szeregi czasowe okresów podają rozmiary danego zjawiska w kolejnych okresach czasu.
Roczne wydobycie węgla w Polsce w latach 1990-1995.
Lata |
Wielkość produkcji w mln ton |
1990 |
193 |
1991 |
193 |
1992 |
178 |
1993 |
148 |
1994 |
140 |
1995 |
190 |
Przeciętny poziom zjawiska:
szeregi czasowe okresów - średnia arytmetyczna:
szeregi momentów - Średnia chronologiczna:
Miary zmian, jakim podlega badane zjawisko
Przyrost absolutny
,
yt - poziom zjawiska w okresie (momencie) badanym,
yt0 - poziom zjawiska w okresie podstawowym.
jednopodstawowy: t1=t-1 (przyrost poziomu z okresu na okres)
łańcuchowy: t1=t0 (przyrost poziomu w stosunku do stałego okresu podstawowego)
Przyrost względny (stosunkowy):
; 
; 
Indeksy indywidualne
indeksy jednopodstawowe:
,
indeksy łańcuchowe:
.
Przykład
Opiszemy zmiany stanu ludności Polski w wieku produkcyjnym w latach 1991 - 1999 na podstawie danych zawartych w tabeli.
Lata |
Liczba ludności w wieku produkcyjnym w mln (stan w dn. 31.12) |
Przyrosty bezwzględne jednopodstawowe y0=y1990(mln) |
Przyrosty bezwzględne łańcuchowe (mln) |
Przyrosty względne jednopodstawowe y0=y1990 |
Przyrosty względne łańcuchowe |
Indeksy jednopodstawowe y1990=1 |
Indeksy łańcuchowe |
1990 |
21,9 |
0 |
|
0 |
|
1,000 |
|
1991 |
21,5 |
-0,4 |
-0,4 |
-0,018 |
-0,018 |
0,982 |
0,982 |
1992 |
21,9 |
0 |
0,4 |
0,000 |
0,019 |
1,000 |
1,019 |
1993 |
22,0 |
0,1 |
0,1 |
0,005 |
0,005 |
1,005 |
1,005 |
1994 |
22,0 |
0,1 |
0 |
0,005 |
0,000 |
1,005 |
1,000 |
1995 |
22,6 |
0,7 |
0,6 |
0,032 |
0,027 |
1,032 |
1,027 |
1996 |
22,8 |
0,9 |
0,2 |
0,041 |
0,009 |
1,041 |
1,009 |
1997 |
23,0 |
1,1 |
0,2 |
0,050 |
0,009 |
1,050 |
1,009 |
1998 |
23,2 |
1,3 |
0,2 |
0,059 |
0,009 |
1,059 |
1,009 |
1999 |
23,4 |
1,5 |
0,2 |
0,068 |
0,009 |
1,068 |
1,009 |
Mając dane indeksy łańcuchowe można na ich podstawie wyznaczyć indeks jednopodstawowy za pomocą prostych przekształceń, a mianowicie:
Również w drugą stronę, dysponując indeksami jednopodstawowymi można wyznaczyć indeksy łańcuchowe jako:
.
Przeciętne tempo zmian:
gdzie
Przykład
.
Indeksy agregatowe (zespołowe)
Indeks wartości wyraża się wzorem:
gdzie dla okresu badanego (t) oraz podstawowego (0):
- cena j-tego artykułu,
- ilość j-tego artykułu,
- wartość j-tego artykułu,
k- liczba wyróżnionych artykułów.
Indeks ilości wyznaczamy według formuły:
Laspeyresa : 
Paaschego: 
.
Indeks cen wyznaczamy według formuły:
Laspeyresa: 
Paaschego: 
.
Dla niezbyt odległych okresów porównawczych czasami stosowane są wskaźniki ilości i cen według formuły Fishera:
Przykład
Produkcja pewnego przedsiębiorstwa oraz ceny zbytu poszczególnych wyrobów w roku 2001 i 2002 kształtowały się następująco:
Rodzaj artykułu |
Cena w zł |
Ilość |
|
|
|
2001 |
2002 |
2001 |
2002 |
A |
2 |
2,25 |
200 |
250 |
B |
1,5 |
1,6 |
50 |
120 |
C |
1,5 |
2 |
160 |
80 |
Wykorzystując podane informacje ustalić dynamikę wartości, ilości i cen zbytu tego przedsiębiorstwa.
|
p0 |
p1 |
q0 |
q1 |
p0q0 |
p1q1 |
p0q1 |
p1q0 |
Rodzaj artykułu |
Cena w zł |
Ilość |
|
Wartość |
|
|
|
|
|
2001 |
2002 |
2001 |
2002 |
2001 |
2002 |
|
|
A |
2 |
2,25 |
200 |
250 |
400 |
562,5 |
500 |
450 |
B |
1,5 |
1,6 |
50 |
120 |
75 |
144 |
180 |
60 |
C |
1,5 |
2 |
160 |
80 |
240 |
160 |
120 |
320 |
|
|
|
|
Suma |
715 |
866,5 |
800 |
830 |
Indeks: |
wartości |
|
1,2790 |
|
cen |
Laspeyresa |
1,1888 |
|
|
Paasche'go |
1,1431 |
|
|
Fishera |
1,1657 |
|
ilości |
Laspeyresa |
1,1189 |
|
|
Paasche'go |
1,0759 |
|
|
Fishera |
1,0972 |
Wyszukiwarka