1

1.1 Definicja i interpretacja geometryczna funkcji rzeczywistej o dwóch zmiennych rzeczywistych.

Jeżeli
pryporządkowana jest dokładnie jedna wart. Z∈R to mówimy, że w zb Z określona jest f. rzeczywista o dwuch zmiennych x,y i ozn. ją Z=f(x,y) lub f:D→R.

Def. Granica podwójna w pkt.

Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x,y) w P_o gdy dla każdego ciągu punktów P_n (P_n ? P_o, P_n ? P_o, P_n ∈ D) f(P_n) ? g

1.2. Def. funkcji ciągłej w punkcie.

Niech P_o(x_o,y_o) należy do obszaru określoności funkcji f(x,y).

Def. f(x,y) nazywamy ciągłą w punkcie P_o jeżeli:

1^o f posiada granicę w P_o

2^o f posiada wartość w P_o

3^o g=f(x_o,y_o)=f(P_o)

1.3. Def. pochodnej cząstkowej I rzędu ze względu na zmienną x dla funkcji o dwóch zmiennych.

Niech f(x,y) określona w Q(P_o)

Tw. Schwarza.

Jeżeli f(x,y) ma w obszarze D ciągłe pochodne mieszane II rzędu, to
dla każdego punktu tego obszaru.

1.4. Def. pochodnej cząstkowej I rzędu ze względu na zmienną y.

Niech f(x,y) określona w Q(P_o)

Def. pochodnej kierunkowej dla funkcji o dwóch zmiennych.

f : Q(P_o)

P∈Q(P_o); P≠P_o
jeżeli istnieje ta granica, to będziemy ją nazywać pochodną kierunkową w kierunku prostej P_os.

1.5. Wzory: poch. funkcji uwikłanej
.

1.7. Def. różniczki zupełnej I rzędu

Niech f(x,y) będzie różniczkowalna w punkcie Q(P_o). Składnik liniowy
nazywamy różniczką zupełną funkcji f(x,y) w punkcie P_o oznaczamy symbolem

1.8. Warunek konieczny istnienia ekstremum.

Jeżeli f(x,y) ma w P_o poch.
,
i ma w tym punkcie ekstremum, to
;
.

Warunek wystarczający.

Jeżeli
i
, to f(x,y) posiada w P_o ekstremum gdy W(P_o )>0 (
,
).
.

3

3.1. Def. równania różniczkowego liniowego.

Równanie różniczkowe postaci
, liniowe względem y i y', nazywamy równaniem liniowym rzędu I.

3.2. Def. równania różniczkowego Bernoulliego.

Równanie postaci
nazywamy równaniem różniczkowym Bernoulliego, gdzie p(x) i q(x) są funkcjami ciągłymi w pewnym wspólnyym przedziale a<x<b, a n jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Dla n=0 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe.

Dla n=1 otrzymujemy równanie różniczkowe liniowe jednorodne względem y i y', a więc równanie, w którym zmienne dadzą się rozdzielić.

3.3. Def. równania różniczkowego zupełnego.

Równaniem różniczkowym zupełnym nazywamy równanie różniczkowe rzędu I postaci
, w którym funkcje P(x,y) i Q(x,y) są ciągłe w pewnym obszarze D i takie, że wyrażenie
jest różniczką zupełną pewnej funkcji dwóch zmiennych F(x,y) określonej w obszarze D. Oznacza to, że w obszarze D istnieje taka różniczkowalna funkcja F(x,y), że zachodzą związki:
,
w każdym punkcie tego obszaru.

3.8. Def. równania różniczkowego liniowego II rzędu o stałych współczynnikach.

Równanie różniczkowe liniowe rzędu II o stałych współczynnikach ma postać:
(a≠0)

Równanie to jest liniowe względem y i jej poch., natomiast funkcja f zmiennej x może być w dowolnej postaci, a litery a, b, c oznaczają dowolne stałe.

3.11. Def. równania różniczkowego liniowego rzędu n o stałych współczynnikach.

Równaniem różniczkowym liniowym rzędu n o współczynnikach stałych nazywamy równanie postaci:
;
.

Równanie to, będące bezpośrednim uogólnieniem równania rzędu II, jest liniowe względem y i wszystkich jej pochodnych; występujące w równaniu współczynniki a_o, a₁,…,a_n są stałe, a f(x) jest dowolną funkcją.

3.12. Zagadnienie trajektorii.

Trajektorią izogonalną rodziny krzywych nazywamy krzywą, która w każdym swym punkcie przecina krzywą rodziny przechodzącą przez ten punkt pod stałym kątem
. Jeżeli
to trajektorię nazywamy ortogonalną.

Tw. Jeżeli rodzina krzywych F(x,y,c)=0 ma równanie postaci f(x,y,y')=0 to rodzina trajektorii ortogonalnych ma równanie
, a rodzina trajektorii izogonalnych:
.

4

4.1. Definicja przekształcenia Laplace'a.

K_o - klasa oryginału

K - zb. wszystkich F o zmiennej s

α: K_o→K

s∈α

4.3. Wzór: różniczkowanie oryginału (dla pochodnej ni rzędu). Dowolna własność przekształcenia Laplace'a.

4.4. Wzór: całkowanie oryginału. Dowolna własność przekształcenia Laplace'a.

4.5. Twierdzenie o podobieństwie dla przekształcenia Laplace'a.

Jeżeli f(t)∈K_o oraz a>0 to

4.6. Twierdzenie o przesunięciu dla przekształcenia Laplace'a.

Jeżeli f(t) )∈K_o oraz t_o≥0, to

4.7. Twierdzenie o tłumieniu dla przekształcenia Laplace'a.

Jeżeli f(x)∈K_o dla dowolnego stałego a

4.8. Definicja splotu funkcji.

Niech
f,g∈L (<0,x>), to
- nazywamy splotem funkcji w przedziale <0,x>

4.9. Własności splotu funkcji.

1)

2)

4.10. Twierdzenie Borela.

Jeżeli f₁(t) i f₂(t) są oryginałami, to istnieje α-transformata ich splotu, przy czym

5

Szeregi liczbowe

5.3 Warunek konieczny zbieżności szeregu liczbowego.

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu liczb jest, aby jego ogólny wyraz dążył do 0.

5.4 5.5 Kryterium d'Alamberta zbieżności, rozbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli
oraz
to
jest zbieżny gdy q<1, rozbieżny gdy q>1. Przy q=1 kryterium nie daje rozstrzygnięcia: szereg może być zbieżny albo rozbieżny.

5.6 5.7 Kryterium Cauchy'ego zbieżności i rozbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli
oraz
to szereg
jest zbieżny gdy q<1, a rozbieżny gdy q>1; gdy q=1 to kryterium nie daje rozstrzygnięcia.

5.8 Kryterium porównawcze zbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli dla szeregu
, gdzie
można wskazać taki zbieżny szereg
, dla którego zachodzi
to szereg
jest też szeregiem zbieżnym.

5.9 Kryterium porównawcze rozbieżności szeregu liczbowego.

Jeżeli dla szeregu
można wskazać taki rozbieżny szereg
, w którym
to szereg
jest również szeregiem rozbieżnym.

5.10 Kryterium całkowe zbieżności szeregu liczbowego.

Szereg o wyrazie ogólnym
jest rozbieżny, jeżeli f(x) jest funkcją monotonicznie malejącą i całka niewłaściwa
jest zbieżna; natomiast jeżeli całka ta jest rozbieżna to szereg o wyrazie ogólnym f(n) jest rozbieżny. Przy czym dolną granicę całkowania c należy tak obrać, żeby funkcja f(x) w przedziale c<x<∞ była oznaczona i nie miała punktów nieciągłości.

5.11 Definicja szeregu liczbowego przemiennego.

Szereg

gdzie
są liczbami dodatnimi, nazywamy szeregiem przemiennym.

5.12 Kryterium Leibniza zbieżności szeregu przemiennego.

Jeżeli:
oraz
to szereg przemienny jest szeregiem zbieżnym.

6

Szeregi funkcyjne

6.1 Definicja szeregu potęgowego.

Szeregiem potęgowym nazywamy szereg funkcyjny postaci

lub postaci

, gdzie
(i=1,2...) są stałymi współczynnikami.

6.2 Wzory na promień zbieżności szeregu potęgowego.

Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy kres górny zbioru wart bezwzg. wszystkich wartości x, dla których ten szereg jest zbieżny (oznaczamy jako R).

6.3, 6.4, 6.5, Znaczenie promienia zbieżności szeregu potęgowego dla
R=r > 0, R=0, R=∞.

Jeżeli istnieje granica

to

6.6 Twierdzenie o rozwinięciu funkcji w szereg Taylora.

Każda funkcja
, analityczna wewnatrz pewnego koła o środku a, może być w każdym punkcie tego koła w sposób jednoznaczny przedstawiona w postaci szeregu potęgowego:
, gdzie współczynnikami
rozwinięcia są liczby zespolone określone wzorem
. W ten sposób otrzymujemy szereg Taylora:

6.7 Twierdzenie o rozwinięciu funkcji w szereg Maclaurina.

Jest to rozwinięcie funkcji
w szereg według potęg zmiennej x. Jest to przypadek szczególny szeregu Taylora dla a=0.

Reszta szeregu Maclaurina:
gdzie
oraz

6.8 Warunki Dirichleta.

Mówimy, że funkcja
spełnia w przedziale domkniętym warunki Dirichleta jeżeli:

-
przedziałami monotoniczna w

-
ciągła w
z wyjątkiem skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w każdym punkcie nieciągłości:

6.9. Definicja szeregu Furiera w przedziale <-π,π>

szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny w postaci:

a_n , b_n - stałe

Jeżeli szereg ten jednostajnie zbieżny w przedziale -π<x<π ,to suma jego f(x) jest sumą ciągłą i współczynniki tego szeregu dodają się wyraźnie przez

a_n - jest średnią wartością funkcji f(x0 w przedziale <-π,π>

6.10. Rozwinąć funkcję f(x) = e^x w szereg Maclaurina i zbadać zbieżność tego szeregu.

dla x∈R

dla x∈R szereg jest zbieżny

6.11. Rozwinąć funkcję f(x) = sinx w szereg Maclaurina i zbadać zbieżność tego szeregu.

dla x∈R

R=∞ dla x∈R szereg jest zbieżny

6.12. Rozwinąć funkcję f(x) = cosx w szereg Maclaurina i zbadać zbieżność tego szeregu.

dla x∈R

R=∞ dla x∈R szereg jest zbieżny

6.13. Rozwinąć funkcję f(x) = ln(x+l) w szereg Maclaurina i zbadać zbieżność tego szeregu.

dla x∈<-1,1>

szereg jest zbieżny dla x∈(-1,1)

7

7.1. Tw. o zmianie całki podwójnej na iterowaną dla obszaru normalnego względem osi OX.

Jeżeli obszar D jest obszarem normalnym względem osi OX danym nierównościami
,
, przy czym
, gdy
, to
. Występujące funkcje są ciągłe i ograniczone w D.

7.2. Tw. o zmianie całki podwójnej na iterowaną dla obszaru normalnego względem osi OY.

Jeżeli obszar D jest obszarem normalnym względem osi OY danym nierównościami
,
, przy czym
, gdy
, to
.

Występujące funkcje są ciągłe i ograniczone w D.

7.3. Tw. o zmianie zmiennych w całce podwójnej.

Jeżeli:

1^o odwzorowanie
;
   przekształca jednoznacznie wnętrze    obszaru Δ (regularnego) na wnętrze    obszaru D (regularnego),

2^o
,

3^o

- domknięty i    ograniczony,

4^o
w
,to

7.4. Tw. o zmianie zmiennych prostokątnych na biegunowe w całce podwójnej.

Wprowadzamy współrzędne biegunowe
,
i mamy
7.5. Zastosowanie całki podwójnej: objętość bryły.

1^o

2^o
,

.

7.6. Zastosowanie całki podwójnej: pole płata powierzchniowego.

D - obszar płaski, regularny, ograniczony jedną krzywą zamkniętą K,

Niech

.

7.7. Zastosowanie całki podwójnej: masa obszaru płaskiego.

Jeżeli

- gęstość obszaru
(domknięty i ograniczony), to
.

7.8. Zastosowanie całki podwójnej: moment statyczny i moment bezwładności obszaru płaskiego.

- gęstość powierzchniowa masy

- masa

Moment statyczny:

.

Moment bezwładności:

.

7.9. Zastosowanie całki podwójnej: środek ciężkości obszaru płaskiego.

Współrzędne środka masy obszaru D o gęs. powierzchni masy σ wyrażają się wzorami

.

8

8.1. Twierdzenie o zamianie całki potrójnej na podwójną dla bryły normalnej względem płaszczyzny XOY.

8.2. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce potrójnej.

Jeżeli f(x,y,z) ∈ c(V), to

8.3. Twierdzenie o zamianie zmiennych prostokątnych na sferyczne w całce potrójnej.

8.4. Zastosowanie całki potrójnej: objętość bryły.

Objętość obszaru V⊂R wyraża się wzorem

8.5. Zastosowanie całki potrójnej: masa bryły.

Masa obszaru V⊂R o gęstości objętościowej masy μwyraża się wzorem

9

9.1. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na pojedynczą dla krzywej pojedynczej względem osi OX.

Jeśli równanie drogi całkowania dane są w postaci jawnej y=ϕ(x) i jeżeli „a” i „b” są odp. Odciętymi punktów A i B przy czym a<b to

9.3. Tw. o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na pojedyńczą dla krzywej płaskiej o równaniach parametrycznych.

Jeżeli funkcja
jest ciągła na otwartym, zwykłym łuku gładkim L o przedstawieniu parametrycznym
,
,
, to całka
istnieje, przy czym

9.4. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej nieskierowanej na pojedynczą dla krzywej przestrzennej o równaniach parametrycznych.

Jeżeli f(x,y,z) jest ciągła ma otwartym, zwykłym łuku gładkim L o przedstawieniu parametrycznym x=x(t), y=y(t), z=z(t), t∈<α,β> to

Istnieje przy czym

9.5. Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej: długość krzywej.

Jeżeli
, to ciąg
jest stały
, więc całka
przedstawia długość łuku
.

9.6. Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej: masa krzywej.

Jeżeli
jest gęstością liniową masy łuku L, to całka
przedstawia masę tego łuku.

10

10.2. Twierdzenie o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na pojedynczą dla krzywej pojedynczej względem osi OY.

Jeżeli pole wektorowe F=(P,Q) jest ciągłe na łuku gładkim Γ opisanym równaniem y=x(y) gdzie a<y<b i orientacja łuku Γ jest zgodna ze wzrostem zmiennej y to:

10.3. Tw. o zamianie całki krzywoliniowej skierowanej na pojedyńczą dla krzywej płaskiej o równaniach parametrycznych.

Jeżeli
,
są ciągłe na otwartym zwykłym, gładkim łuku
o przedstawieniu
,
,
zgodnym z kierunkiem tego łuku, to całka
istnieje, przy czym

10.5. Napisać wzór na pole obszaru płaskiego przy pomocy całki krzywoliniowej skierowanej.

Niech
,
, w obszarze
ograniczony krzywą
.

.

10.6. Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej: praca siły.

- praca siły wzdłuż krzywej AB.

10.7. Sformułować i udowodnić twierdzenie o niezależności całki krzywoliniowej skierowanej od drogi całkowania.

Tw. Jeżeli funkcje P(x,y) i Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D, to spełnione równości
w każdym punkcie tego obszaru jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, żeby całka
po otwartym, kawałkami gładkim łuku zwykłym
nie zależała od kształtu tego łuku, a tylko od punktów AB.

10.8. Sformułować i udowodnić twierdzenie Greena.

Jeżeli
,


(D domknięty i ograniczony) ,D - obszar normalny względem osi OX i OY, przy czym krzywa K - brzeg obszaru D skierowana dodatnio względem wnętrza, to całka krzywoliniowa po krzywej K (zamkniętej)