1. Granica funkcji w punkcie
Def. Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x₀ granicę g i piszemy


wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) zbieżnego do x₀ ,
którego wyrazami są argumenty funkcji f różne od x₀ ,
ciąg (f(x_n)) odpowiednich wartości tej funkcji jest zbieżny do g.

Twierdzenia o granicach funkcji

2. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie
Def. Funkcja f ma w punkcie x₀ granicę niewłaściwą ∞, co zapisujemy


wtedy, gdy dla każdego ciągu (x _n) argumentów funkcji f, zbieżnego do x₀ o wyrazach
różnych od x₀, odpowiadający mu ciąg (f(x_n)) wartości funkcji jest rozbieżny do ∞.

3. Granica funkcji w nieskończoności
Def. Mówimy, że funkcja f ma w nieskończoności granicę g, co zapisujemy

,
wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) rozbieżnego do nieskończoności
odpowiedni ciąg (f(x_n))wartości funkcji f ma granicę g.


,
,
,

4. Ciągłość funkcji
Def. Mówimy, że funkcja f określona w otoczeniu punktu x₀ jest ciągła w punkcie x₀,
jeśli ma granicę w tym punkcie równą wartości funkcji, tzn.

.
Def. Funkcję ciągłą w każdym punkcie zbioru nazywamy funkcją ciągłą w tym zbiorze.

Def. Mówimy, że funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

5. Pochodna funkcji
Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x₀ , odpowiadającym przyrostowi argumentu
x₁ - x₀ nazywamy wyrażenie
lub przyjmując oznaczenie

x₁ - x₀ = h iloraz ma postać
.

Def. Jeżeli funkcja f określona w otoczeniu punktu x₀ ma granicę ilorazu różnicowego
w tym punkcie, to granicę tę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x₀
i oznaczamy symbolem f `(x₀). Zachodzi równość



Pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji

Pochodna funkcji złożonej

Tw. Jeżeli w funkcji złożonej
funkcja g ma pochodną g'(x) w punkcie x, a funkcja
h - pochodną h'(u) w punkcie u = g(x), to funkcja złożona
ma w punkcie x
pochodną (
)'(x) i zachodzi wzór

6. Pochodne wybranych funkcji

L.p.

Funkcja

Pochodna

6.

1.

f(x) = c

f '(x) = 0

7.

2.

y = x

y' = 1

8.

3.

y = x²

y' = 2 x

9.

4.

y = x³

y' = 3 x²

10.

5.

y = xⁿ , n∈ N

y'= n x^n-1

11.

7. Zastosowanie pochodnych
a) badanie monotoniczności funkcji

Tw.1 Jeżeli f' (x) > 0 dla każdego x ∈ (a; b), to funkcja f jest rosnąca w przedziale (a; b).
Tw.2 Jeżeli f' (x) < 0 dla każdego x ∈ (a; b), to funkcja f jest malejąca w przedziale (a; b).

b) wyznaczanie ekstremum funkcji

Tw.1 (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f osiąga ekstremum w punkcie x₀ i ma w tym punkcie pochodną,
to
.
Tw.2 (warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu x₀, w którym

oraz:







to funkcja f ma maksimum to funkcja f ma minimum
w punkcie x₀. w punkcie x₀.

c) wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji w przedziale domkniętym
Aby znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji f ciągłej na przedziale
domkniętym
należy:

− obliczyć f(a) oraz f(b),
− obliczyć wartości f w punktach nieróżniczkowalności,
− obliczyć wartości funkcji f w punktach x, gdzie
.
Najmniejsza i największa spośród znalezionych wartości jest zarazem najmniejszą
i największą wartością funkcji w przedziale domkniętym
.

d) styczna do krzywej
Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie M = (x₀, f(x₀)) ma postać: