1. Wstęp

Prosta sieciowa i jej wskaźniki

Prosta sieciowa jest wynikiem translacji punktu (atomu) w określonym kierunku. W krysztale jest nieskończenie wiele prostych sieciowych, gdyż każde dwa punkty (atomy) wyznaczają prostą sieciową.

Wskaźniki prostej sieciowej są to liczby całkowite służące do oznaczania prostej sieciowej. Przyjęto oznaczać je literami u, v, w. Określają one współrzędne najbliższego punktu leżącego na danej prostej, identycznego z początkiem układu. Wskaźniki zapisuje się w nawiasach [ ], gdy chodzi o konkretną prostą lub < > gdy chcemy oznaczyć rodzinę nierównoległych prostych.

Płaszczyzna sieciowa i jej wskaźniki

Płaszczyzna sieciowa jest wynikiem poddania translacji prostej sieciowej w określonym kierunku, różnym jednak od kierunku prostej. Każde trzy punkty nie leżące na jednej prostej wyznaczają płaszczyznę sieciową. W związku z tym płaszczyzn tych jest w krysztale nieskończenie wiele.

Wskaźnikami płaszczyzny sieciowej nazywamy liczby, które wskazują na ile części płaszczyzna najbliższa początku układu dzieli podstawowy period identyczności danej osi. Wskaźniki oznacza się literami h, k, l odpowiednio dla osi x, y, z. Zasady zapisu wskaźników płaszczyzn sieciowych są podobne jak przy zapisie prostych sieciowych, z tym że, ujmuje się je w nawiasy ( ),jeśli odnoszą się do konkretnej płaszczyzny, względnie płaszczyzn równoległych lub w nawiasy { }, gdy chcemy wyrazić rodzinę płaszczyzn powstałych przez permutację wskaźników

Pas krystalograficzny

Pasem krystalograficznym nazywamy zespół płaszczyzn sieciowych równoległych do jednej i tej samej prostej sieciowej, zwanej osią pasa. Pas krystalograficzny wyznaczają dwie nierównoległe do siebie płaszczyzny sieciowe, przy czym oś pasa oś pasa jest równoległa do krawędzi przecięcia się tych dwóch płaszczyzn.

1.4 Współczynnik wypełnienia

Charakterystycznymi wielkościami sieci przestrzennej są: liczba koordynacyjna oraz współczynnik wypełnienia przestrzeni, który wyrażony jest stosunkiem objętości sieci przestrzennej zajętej przez atomy do całkowitej jej objętości. Im bardziej zwarte jest ułożenie atomów w sieci przestrzennej kryształu, tym większa jest liczba koordynacyjna oraz współczynnik wypełnienia przestrzeni.

1.5 Metody rentgenograficzne

Do rentgenograficznych badań strukturalnych wykorzystuje się promieniowanie rentgenowskie o długości fali w zakresie 0.01 - 10 nm, wykorzystując odkryte przez Lauego zjawisko dyfrakcji promieniowania na sieci kryształu. W zależności od sposobu rejestracji promieniowania rozróżnia się metody fotograficzne i dyfraktometryczne. Wiadomo, że promienie rentgenowskie ulegają dyfrakcji na kryształach zgodnie z prawem Bragga.

nλ = 2 d sinθ

gdzie: n - tak zwany rząd odbicia,

d - najmniejsza odległość między płaszczyznami atomowymi powodującymi

odbicie,

θ - kąt odbłysku (odbicia - jest równy kątowi padania).

Obliczenia i wyniki

Określić oś pasa krystalograficznego powstałego z przecięcia się dwóch płaszczyzn (1 0 0) i (0 1 0) oraz (1 1 0) i (0 0 1).

i j k

1 0 0 = i(0-0) + j(0-0) + k(1-0) = [0 0 1]

0 1 0

i j k

1 1 0 = i(1-0) + j(0-1) + k(0-0) = [1 -1 0]

0 0 1

2.2 Narysować płaszczyznę prostopadłą do dwóch płaszczyzn (1 2 3) i (2 3 4)

(1 2 3)

(2 3 4)

Rys. 1 - Dwie płaszczyzny tworzące oś pasa krystalograficznego

i j k

1 2 3 = i(8-9) + j(6-4) + k(3-4) = (-1 -2 -1) [-1 -2 -1]

2 3 4

(-1 -2 -1) -płaszczyzna prostopadła do dwóch płaszczyzn

[-1 -2 -1] -oś pasa krystalograficznego

Współczynnik upakowania. Podstawowe układy krystalograficzne.

2.3.1 Wszystkie kryształy w zależności od ich budowy można zaliczyć do siedmiu podstawowych układów krystalograficznych; charakterystyka elementarnej komórki sieciowej jest następująca:

układ regularny a=b=c, α=β=γ=90°

układ tetragonalny a=b≠c α=β=γ=90°

układ rombowy a≠b≠c α=β=γ=90°

układ heksagonalny a=b≠c α=β=90°, γ=120°

układ jednoskośny a≠b≠c α=γ=90°, β≠90°

układ romboedryczny a=b=c α=β=γ≠90°

układ trójskośny a≠b≠c α≠β≠γ≠90°

Obliczyć współczynnik upakowania:

dla sieci prostej

dla sieci ściennie centrowanej A1 (lub RSC)

3) dla sieci przestrzennie centrowanej układu regularnego A2 (lub RPC)

Ad1)

4/3 π r³ 4/3 π (1/2 a)³ π

WspUp = ------------- = --------------------- = ------

a³ a³ 6

Rys. 2 - Sieć prosta

Ad 2) Elementarna komórka A1 ma osiem atomów na narożach i po jednym atomie w środku każdej ściany, jak to przedstawia rys.3. Każdy atom ma 12 najbliższych atomów położonych w odległości:

a√2

------------

2

gdzie a oznacza parametr sieci przestrzennej. Na jedną elementarną komórkę sieciową przypada:

1 1

8* ------ + 6 ------ = 4 atomy

8 2

Rys. 3 - Sieć regularna płasko centrowana

a√2

r = --------------

4

4/3 π r³ *4 4/3 π (a√2/4)³*4 16/3 π a³ (2√2/64) 4√2 π

WspUp = ------------------- = ------------------------ = ----------------------- = ----------

a³ a³ a³ 24

Ad 3) Elementarna komórka sieciowa RPC ma osiem atomów w narożach oraz jeden w geometrycznym środku sześcianu (rys. 4). Każdy atom ma osiem najbliższych atomów położonych w odległości:

a√3

-----------

2

Liczba atomów przypadająca na jedną komórkę sieciową wynosi:

1

8* ------- + 1 = 2 atomy

8

Rys. 4 - Sieć regularna przestrzennie centrowana

a√3

r = ---------

4

4/3 π r³ *2 8/3 π (a³√3/4)³ 8/3 π (a³3√3/64) 2√3π

WspUp = ----------------- = --------------------- = ----------------------- = ----------

a³ a ³ a ³ 16

Obliczanie stosunku c/a.

x² + (a√3/3)² = a²

x² + (a²/3) = a²

x² = 2/3 a²

x = a√6/3

c = 2x = 2a√6/3

a=1 c/a = 1.63333

2.5 Obliczanie odległości płaszczyzny (1 1 1) od środka układu współrzędnych.

d² + (a√3/6)² = (a√2/2)²

d² = a²/2 - a²/12

d² = 5a²/12

d = a√5/2√3 = a√15/6

d = 0.645 a = 1