Aksjomaty statyki 1:3 i Podstawowe prawa

1. jeżeli do układu sil działających na c.s. będące w równowadze dodamy lu odejmiemy dwie siły przeciwne lezace na jednej prostej to rownowaga ciala zostanie nie naruszona.przekształcenie α

2. jeżeli do układu sil działających na c.s. dodamy lub odejmiemy skończony układ sil zbieżnych o sumie rownej 0 to rownowaga ciała nie zostanie naruszona- przekształcenie β

3. jeżeli na c.s. dziala zerowy układ sił to ciało może być w równowadze (lub poruszac się ruchem jednostajnie prostoliniowym)

4. dowolne dwie sily P1 i P2 przylozone do jednego punktu można zastąpić wypadkowa R przylozona da tego punktu i przedstawiona jako wektor bedacy przekatna równoległoboku ABCD zbudowanego na wektorach sil

5. kazdemu dzialaniu towarzyszy rowne co do wartości i przeciwnie skierowane przeciwdziałanie

6.kazde cialo nieswobodne można myślowo oswobodzic od więzów zastapujac przy tym ich dzialanie odpowiednimi reakcjami. Dalej cialo to można rozpatrywac jako swobodne podlegające dzialaniu sil czynnych (ociazen) i sil biernych (reakcji)

Baze mnogości trójwymiarowej stanowia trzy dowolne niekomplanearne wektory a,b,c, każdy czwarty wektor tej mnogości d można w jednoznaczny sposo przedstawic jako kombinacje liniowa wektorow azowych:

d=αa+βb+γc, gdzie αa βb γc- składowe wektora, α β γ- współrzędne wektora d w tej bazie (a,b,c)

Ciało sztywne- układ mechaniczny bardzo dużej liczby p.m. wypełniających pewna ograniczona część przestrzeni. C.S. jest w równowadze jeśli jest w spoczynku w danym układzie odniesienia. O układzie sił działających na ciało sztywne mowimy ze jest w równowadze jeżeli ciało to pod działaniem tego układu sił może być w równowadze, czyli pozostawać w spoczynku.

Definicja podstawowa równoważności układu sił- dane układy sil (A) i (B) nazywamy równoważnymi piszac (A)=(B) wtedy i tylko wtedy gdy wykonując na jednym z nich skonczona liczbe przekształceń elementarnych typu α i β w wyniku otrzymamy układ drugi. Relacja ta jest zwrotna (A)=(A), symetryczna (A)=(B) to (B)=(A), przechodnia (A)=(B) i (B)=(C) to (A)=(C).

Macierz transformacji ortogonalnej R: -jest macierza nieosobliwa o właściwościach detR=1, R^-1=R^T, suma kwadratow elementow każdego wiersza o kazdej kolumny rowna się 1, np. c_i1²+c_i2²+c_i3²=1, suma iloczynow odpowiednich elementow dwoch kolumn lub wierszy jest rowna zero np. c₁₁c₂₁+c₁₂c₂₂+c₁₃c₂₃=0

[cosα sinα, -sinα cosα] -R dla układu plaskiego

Moment układu sił względem bieguna- jest równy sumie momentów wszystkich sil tego układu względem tego bieguna- M_Q(a_i/A_i)=ΣQA_ix a_i=r_i xa_i

Moment siły względem osi- moment siły (a/A) względem osi l nazywamy moment wektora rzutu sily na plaszczyzne π_l prostopadla do osi l obliczony względem punktu przebicia płaszczyzny π_l przez oś l. moment ten jest rowny zero gdy: - wektor sily jest równoległy do osi, -prosta działania siły przecina oś l

Moment statyczny figury plaskiej względem osi jest rowny iloczynowi powierzchni tej figury do osi. Moment statyczny wzg osi przechodzodzacy przez srodek figury jest rowny 0.

Sx= Ai·yi , Sy=Ai ·xi

Momentem statyczny c.s. względem płaszczyzny nazywami iloczyn masy m (dm) p.m i jego odległości r od tej płaszczyzny S_π=m·r [kg·m]

dla u.p.m: S_π=Σmr, dla c.s S_π=∫r dm, gdzie dla bryly ∫∫∫rγdV, dla tarczy ∫∫rμdA, dla preta ∫r λdL

Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych:

S_πx =S_yz=∫xdm, S_πy =S_xz=∫ydm, S_πz= S_xy=∫zdm, ogolnie S=∫r dm gdzie S={ S_πx, S_πy, S_πz}, r={x,y,z}

Masowy moment statyczny- jest rowny iloczynowi masy c.s. i odległości srodka masy od płaszczyzny.

Momentem bezwładności p.m. względem płaszczyzny- nazywamy iloczyn masy tego punktu m i kwadratu jego odległości od tej płaszczyzny.

I_π=m·r² [kg·m²]

Moment bezwładności względem osi jest rowny sumie momentow wzgledem dwoch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej osi.

Osią środkową- nazywamy miejsce geometrycznie punktow względem których wektor momentu układu jest równoległym do wektora sumy lub rowna się 0. Jeżeli istnieje wypadkowa to istnieje oś środkowa

Para sił- ponieważ suma ukłądu sił tworzących parę sił jest wekorem zerowym to moment jest stały i nie zależy od polożenia bieguna. Moment pary sił jest wektorem swobodnym prostopadłym do płaszczyzny pary sił. -dwie pary sil sa rowne gdy maja rowne momenty, -uklad złożony z kilku par jest równoważny parze o momencie rownym sumie momentow par układu.

Parametr układu- jest to iloczyn skalarny wektora sumy układu i wektora momentu tego układu który ma wartość stałą - R=M_Q·S= const

Punkt materialny- w układach ciągłych jest to iloczyn gęstości masy z jakiej wykonane jest cialo i rozniczki geometrycznej ciala.

Przekształcenia elementarne-

1. przez PEL typu „α”rozumiemy usunięcie lub dołączenie do udkladu sił (A) układu złożonego z dwoch wektorow przeciwnych leżących na jednej prostej.

2.przez PEL typu „β” rozumiemy usunięcie lub dołączenie do układu (A) układu zlozonego z kilku wektorow o wspolnym punkcie alokacji i o sumie rownej wektorowi zerowemu

, s=b₁+b₂+...+b_n=0

Wtóre przekształcenia elementarne-

1.w przypadku ciała sztywnego siłę wolno przesówac wzdłuż prostej jej działania

2. kilka sił o wspólnym punkcie alokacji można zastąpić ich sumą o tym samym punkcie zaczepienia

Płaski układ sił- proste dzialania wszystkich sil układu leza w jednej płaszczyźnie.

Postulat o więzach- ruch i polożenie ciała sztywnego nieswobodnego nie zmienia się jeżeli hego więzy zostana usunięte a ich oddziaływanie zastąpimy odpowiednio dobranymi reakcjami

Praca wirtualna- dL=P·ds=P·dr; dL-praca wirtualna, ds- wirtualne przemieszczenie, możliwe ale nie rzeczywiste przemieszczenie zgodne z warunkami kinetycznymi

Reakcje- są to oddziaływania więzów ciala nieswobodnego i wyznaczamy me z warunkow koniecznych i wystarczających o ukladach sil działających na cialo sztywne nieswobodne

Reakcje wewnętrzne są to sily wzajemnego oddziaływania cial i jako takie tworza układ sil przeciwnych lezacych na jednej prostej

Redukcja układu- zastapienie jednego układu sil np. (A) innym, na ogol prostszym układem (B), ale o identycznym dzialaniu.

Tw o redukcji ukł. płaskiego

- każdy płaksi układ sił jest równoważny układowi złożonemu z dwoch wektorow sił których punkty alokacji można obrac w plaszczeznie układu.

-dowolny układ sil jesr rowny układowi złożonemu z sumy tego układu zaczepionej w dowolnie obranym punkcie oraz pary o momencie rownym momentowi tego układu względem tego punktu

Tw o redukcji ukł przestrzennego- dowolny przestrzenny układ sil jest równoważny układowi pewnych trzech sił, których punkty zaczepienia nie leżą na jednej prostej.

,
, k=1,2,3

s(A)=c₁+c₂+c₃

Równania równowagi statycznej-

1.przestrzenny dowolny układ sil- ;)

2. p. równoległy układ sil ΣP_i3=0, ΣM_i1=0, ΣM_i2=0

3.p. zbieżny układ sił ΣP_i1=0, ΣP_i2=0, ΣP_i3=0

1. plaski dowolny układ sil- np. ΣP_ix1=0, ΣP_ix2=0, ΣM_iQ=0

2. płaski równoległy układ sil- np. ΣP_i2=0, ΣM_iQ=0

3. płaski zieżny - np. ΣP_i1=0, ΣP_i2=0

Tw o równoważności układu sił- warunkiem koniecznym I wystarczajacym na to aby układy (A) i (B) były równoważnymi potrzeba i wystarcza aby sumy obu układów oraz ich momenty względem tego samego bieguna były odpowiednio sobie równe

S(A)=S(B) i M_Q(A)=M_Q(B)

Tw o równoważności 1-

zał: S(A)=S(B), M_Q(A)=M_Q(B)

teza: (A)=(B)

Tw o równoważności 2:

zał: M_Q1(A)=M_Q1(B), M_Q2(A)=M_Q2(B), M_Q3(A)=M_Q3(B)

teza: (A)=(B)

Tw o redukcji układu do obranego bieguna- w układzie sil wolno którykolwiek wektor sily przenieść do innego punktu alokacji pod warunkiem dolaczenia do układu pary sil o momencie przeniesionego wektora zaczepionego w starym punkcie alokacji a obliczonego względem nowego punktu zaczepu

M_Q(a_i/A_i)= QA x a_i

Tw o redukcji układu sił- dowolny uklad sił jest równoważny układowi złożonemu z wektora sumy tego ukąłdu zaczepionego w dowolnie obranym biegunie oraz pary sił o momencie układu obliczonym względem tego bieguna.

Tw o redukcji do najprostszej postaci 1.układ przestrzenny:

1.1 R≠0 skrętnik (wektory główne Si M SA kolinearne) 1.2 R=0 i S≠0 ukłąd redukuje się do wypadkowej, 1.3 R=0 i M_Q(A)≠0 ukłąd redukuje się do pary sil 1.4 R=0, S=0, M=0 układ redukuje się do układu zerowego

2. układ płaski- 2.1 S≠0 - wypadkowa 2.2 s=0, M≠0- para sil, 2.3 S=0, M=0 układ zerowy

Tw o równowadze układu (c.s.)- warunkiem koniecznym i wystarczający, równowagi układu sil działających na cialo sztywne jest aby suma tego układu oraz moment tego układu względem dowolnego bieguna był wektorem zerowym.

Tw o równowadze układu sił (c.s)- wkw na to aby uklad sil działających na c.s był w równowadze jest aby momenty tego układu względem trzech nie lezacych na jednej prostej biegunow były wektorami zerowymi.

Tw o trzech siłach (c.s)- układ trzech sił jest w równowadze jeżeli sily te leza w jednej płaszczyźnie bądź SA rownolegle bądź tworza układ zbieżny o sumie rownej 0.

Tw o zmianie bieguna- przy zmianie bieguna moment zmienia się o (RQxa) moment wektora sumy układu zaczepionego w pkcie Q (starym biegunie) a obliczony względem bieguna nowego (R).

M_R(A)= RQ x a + M_Q(A)

Tw o geometrycznej niezmienności układu złożonej z 3 tarcz- w.k i w.jest V=3T-p-2b-2≤0 orazpunkt przeciec kierunkow par pretow miedzy tarczami nie mogą lezec na jednej prostej. Układ tarc jest geometrycznie niezmiennym jeżeli można go zastąpić jedna tarcza. Trzy tarcze wzajemnie polaczone za pomoca przegubow tworzących trojkat są układem wewnętrznie geometrycznie niezmiennym.

Tw Steinera- moment dewiacji zmienia się o iloczyn masy c.s i odległości miedzy płaszczyznami obu układów.

Tensor momentu bezwładności -

lub

T'=R·T·R^T

daje nam pelna informacje o rozkładzie masy w rozwazanym c.s., jest to tensor symetryczny, wyznacznik macierzy I jest dodatni, różny od zera.

Rzutem wektora d na prosta l lub płaszczyznę π, nazywamy wektor którego początkiem jest rzut prostokątny początku wektora d a koncem prostokątny rzut konca wektora na prosta l lub płaszczyznę π.

Stopien zmienności mechanizmu- określamy przez liczbe posiadanych przez niego stopni swobody względem dowolnego układu współrzędnych związanego nieruchomo z podłożem Suma- jest to wektor swobodny nie związany z żadnym punktem. Układy równoważne maja rowne sumy jeżeli (A)=(B) to S(A)=S(B) i mowimy ze suma układu jest niezmiennikiem względem przekształceń elementarnych

Układ zerowy- układ złożony z wektorow zerowych zaczepionych w dowolnych punktach

Układ mechaniczny ciał sztywnych- zbior skończony cial sztywnych które sa ze soba polaczone za pomoca tak zwanych więzów wewnętrznych a z układem odniesienia są polaczone wiezami zewnętrznymi.

Wektory główne układu sił- wektory sumy i momentu układu

Wektory kolinearne są to wektory o tym samym kierunku, a więc wektory równoległe do jednej prostej lub też leżące na jednej prostej. Wektory te tworzą więc kąt 0° albo 180° (zależnie od ich zwrotów). Korzystając z definicji iloczynu wektorowego, stwierdzić można, iż warunkiem kolinearności dwóch wektorów a i b jest zerowanie

Wektory komplanarne (współpłaszczyznowe) są to trzy wektory liniowo zależne, równoległe do tej samej płaszczyzny, tzn leżą w tej samej płaszczyźnie.

Więź elementarna(wahacz) podstawowy element systemy konstrukcyjnego, ma postać sztywnego pręta łączącego dwa elementy. Reakcja więzu d=const (sztywnego preta) ma jego kierunek.

Więzy dwustronne skleronomiczne- wiezy w których równaniu parametr czasu nie wystepuje w sposób jawny.

Więzy- są to ograniczenia stopni swobody przy czym ograniczenia te matematycznie podajemy w postaci równan uzależniających od siebie współrzędne , fizycznie w postaci innych ciał ograniczających swobode ruchu.

Wypadkowa- jeżeli droga przekształceń elementarnych dowolny układ (A) da się zredukowac do układu złożonego z jednej sily o scisle określonym punkcie zaczepienia to ten układ zredukowany nazywamy wypadkowa.

Zasada prac przygotowanych (wirtualnych) - w.i k.w. równowagi dowolnego układu punktów jest aby suma prac przygotowanych wszystkich sił szynnych i reakcji więzów przy dowolnym przemieszczeniu przygotowanym była rowna zeru ΣPi·dr_i+ ΣR_k·dr_k=0

Zbieżny układ sil- proste działania wzytskich sił przecinaja się w jendym punkcie (tworzą pęk prostych) pkt. ten nazywamy srodkiem układu zbieżnego