Całkowanie przez podstawienie
to funkcja f jest całkowalna w
i zachodzi:
Równoważnie, jeśli całkę można sprowadzić do postaci:
,
to można zmienić podstawę całkowania na g(x):
Całkowanie przez części
Jeśli potrafimy znaleźć takie h(x), że h'(x) = f(x), to możemy przekształcić tę całkę do postaci:
W przypadku całek oznaczonych granice całkowania uwzględnia się także w części równania zostającej poza całką:
Przykład zastosowania metody całkowania przez części:
Całka niewłaściwa
Całka niewłaściwa — rozszerzenie pojęcia całki Riemanna na przedziały nieograniczone albo takie, w których całkowana funkcja jest nieograniczona.
Całki na przedziale nieskończonym
Załóżmy, że dla każdego A > a funkcja
jest całkowalna w przedziale [a,A]. Granicę
nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w granicach od a do
. Jeżeli granica ta istnieje i jest skończona, to mówimy że całka ta jest zbieżna, w przeciwnym przypadku mówimy, że jest rozbieżna. Analogicznie określamy całkę niewłaściwą w granicach od
do a i od
do
.
Całki z funkcji nieograniczonej
Załóżmy, że funkcja
jest nieograniczona oraz jest ograniczona i całkowalna w dowolnym przedziale [a,b − η], gdzie 0 < η < b − a lecz jest nieograniczona w każdym przedziale [b − η,b] na lewo od punktu b, który nazywamy punktem osobliwym funkcji f. Granicę
nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,b]. Gdy granica ta jest skończona, to mówimy, że całka jest zbieżna, w przeciwnym przypadku, tj. gdy jest nieskończona bądź nie istnieje, mówimy że jest rozbieżna. Analogicznie, określamy przypadek gdy punkt a jest punktem osobliwym.
Całka oznaczona
Całka oznaczona, pojęcie analizy matematycznej (rachunku całkowego). Całka oznaczona funkcji f(x) w granicach od a do b nazywa się wyrażenie: a∫b f (x)dx = F(b) - F(a), gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x). Interpretacją geometryczną całki oznaczonej jest pole powierzchni ograniczonej prostymi x=a i x=b, krzywą wykresu y=f(x) oraz prostą y=0 (osią odciętych). Pola poniżej osi odciętych mają znak "-" (minus).
Wyszukiwarka