Fale stojące - rezonans akustyczny

Rozpatrzmy dwie nakładające się na siebie fale bieżące o tej samej częstości
i tej samej amplitudzie A, rozchodzące się wzdłuż osi x w przeciwnych kierunkach.

Fale te są opisane równaniami:

Ich suma daje:

Korzystając ze związku trygonometrycznego, w postaci

wypadkową nakładających się fal możemy przedstawić

Otrzymane wyrażenie opisuje proces drgań, który nazywamy falą stojącą.

Proces ten polega na tym, że drgania w pewnych punktach ulegają wzmocnieniu, a w innych są osłabione.

W każdym punkcie fali stojącej zachodzą drgania o częstości
i amplitudzie zależnej od x wg relacji

A_f.st. = 2A cos kx

gdzie, dla uproszczenia zapisu przyjęto, że
.

W punktach x spełniających warunek

amplituda drgań osiąga wartość maksymalną - punkty te nazywamy strzałkami.

Inne charakterystyczne punkty to takie, dla których występuje warunek

W punktach tych amplituda drgań spada do zera - noszą one nazwę węzłów fali stojącej.

***

Warunkiem powstania fali stojącej jest, aby nakładające się na siebie fale były falami spójnymi, tzn. miały dokładnie te same częstości
i stałą (niezależną o czasu) różnicę faz
.

Ogólnie - zjawisko nakładania się fal spójnych nazywamy interferencją.

Praktycznie fale stojące realizuje się poprzez nakładanie się fal - padającej i odbitej na granicy różnych ośrodków.

***

Fale stojące odgrywają istotna rolę w działaniu instrumentów muzycznych. Drgania o częstościach spełniających warunki powstania fal stojących osiągają znaczące natężenia, inne drgania są w dużym stopniu wygaszane. Efekt ten ma charakter rezonansowy i dlatego bywa nazywany rezonansem akustycznym.

Rozpatrzmy bliżej kilka modelowych przypadków:

- drgania struny - w zamocowanej na obu końcach strunie wytwarzają się

drgania poprzeczne o znaczącym natężeniu dla niektórych częstości, spełniających warunek wystąpienia fali stojącej. W rozpatrywanym przypadku tym warunkiem jest pojawienie się węzłów fali stojącej w punktach zamocowania struny.

Z rys. obok widać, że jest on spełniony, jeśli połowa długości fali
mieści się całkowitą liczbę razy (n) na

długości struny L, tzn., jeśli zachodzi

(n = 1, 2, ...........)

Stąd wynika, że rezonansowe częstotliwości drgań struny, zwane też częstotliwościami drgań własnych, opisane są wzorem

gdzie: v - jest prędkością rozchodzenia się fali w strunie.

*

Fale stojące w piszczałkach (drgania podłużne):

- rura zamknięta na obu końcach - warunkiem powstania fali stojącej jest wystąpienie węzłów (odbicie od środowiska sztywnego) na końcach rury. Sytuacja identyczna jak w przypadku struny - stąd częstotliwości rezonansowe opisane są wzorem

(n = 1, 2, .............)

- rura zamknięta na jednym i otwarta na drugim końcu - warunek rezonansu akustycznego to: węzeł na końcu zamkniętym i strzałka na końcu otwartym.

Warunek ten powoduje, że fale stojące powstają wtedy, gdy na długości rury L mieści się nieparzysta liczba ćwiartek fali, tzn.

skąd wynikają częstotliwości harmoniczne

.

- rura otwarta na obu końcach - aby powstał rezonans dla takiej rury, na jej

końcach muszą powstać strzałki; na długości rury L musi się mieścić całkowita

liczba połówek długości fali, tzn.

gdzie:

n = 1, 2, 3, ...........

Częstotliwości harmoniczne dla takiej rury wynoszą

.

Równanie falowe

Rolę, jaką odgrywa w odniesieniu do ruchu cząstek (klasycznych) II zasada dynamiki Newtona, spełnia dla ruchu falowego tzw. równanie falowe.

Rozważając drgania poprzeczne (np. struny), weźmy pod uwagę bardzo mały element o długości dx wychylony z położenia równowagi o odcinek y.

Jeżeli pole przekroju pop-rzecznego struny wynosi S a gęstość materiału jest
, to masa tego elementu

Zakładamy, że dla małych wychyleń z położenia równo-wagi element przemieszcza się tylko w kierunku osi y.

Zatem na końcach tego elementu występują siły
, których składowe „x” są sobie równe i przeciwnie skierowane.

W kierunku pionowym działa niezrównoważona wypadkowa siła od składowych „y”, tzn.

gdzie:
jest naprężeniem struny.

Na podstawie II zasady dynamiki Newtona siłę tę opisuje wzór

Porównując ze sobą dwa ostatnie wyrażenia, otrzymujemy

Pierwszy wyraz w ostatnim równaniu - z definicji pochodnej - stanowi
; i jeżeli oznaczymy stałą
jako v² , wówczas otrzymujemy równanie

które właśnie nazywamy jednowymiarowym równaniem falowym.

Wprowadzone oznaczenie
jest uzasadnione tym, że jak można się przekonać, wielkość v ma wymiar i znaczenie prędkości rozchodzenia się fali.

W ten sposób otrzymujemy wzór na prędkość fazową fali poprzecznej:

***

Warto zauważyć, że powyżej zapisane równanie falowe obowiązuje także w przypadku fal podłużnych. Analogiczne rozważania, jak wyżej, prowadzą do wzoru na prędkość rozchodzenia się fal podłużnych

gdzie:
nosi nazwę objętościowego modułu sprężystości ciała, w którym rozchodzi się fala podłużna.

dla ciał stałych B = E jest modułem Younga,

dla gazów B =
p ( p - ciśnienie gazu,
= c_p\ c_v jest stosunkowi dwóch rodzajów ciepła właściwego przy stałym ciśnieniu i przy stałej objętości.

***

W przypadku ogólnym (trójwymiarowym) równanie falowe przybiera postać

gdzie:
jest laplasjanem funkcji
- wychylenia z położenia równowagi.

- 1 -

2b_ruch falowy

y+dy

y

y

x+dx

x

x