Ekstremum warunkowe

Niech
,
. Będziemy szukać ekstremów funkcji f na zbiorze
.

Niech będą dane funkcje n zmiennych określone na zbiorze otwartym D,

,

,

.

Określmy zbiór
.

Def:

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie
ekstremum warunkowe związane warunkiem M, jeżeli funkcja f rozważana na zbiorze M (
) ma w punkcie x₀ ekstremum lokalne.

Przykład

,

rozwiązanie graficzne (2 sposoby)

rozwiązanie analitycznie

Metoda mnożników Lagrange'a

Funkcję
określoną wzorem

nazywamy funkcją Lagrange'a dla problemu ekstremum warunkowego zadanego funkcjami f oraz
. Stałe
,
nazywamy mnożnikami Lagrange'a.

Tw warunek konieczny

Zakładamy, że funkcje
są klasy
oraz
lub równoważnie wektory
są liniowo niezależne.

Jeżeli f ma w
ekstremum lokalne warunkowe, , to istnieją stałe
, takie, że

.

Wniosek

Ekstremum warunkowego należy poszukiwać wśród punktów, które spełniają układ
równań

z
niewiadomymi
.

Przykład

,

rozwiązanie funkcją L

rozwiązanie graficzne - plan warstwicowy

warunek wystarczający

Tw warunek wystarczający

Jeżeli funkcja
jest klasy
, w punkcie
spełnione są warunki konieczne istnienia ekstremum warunkowego oraz

dla
i takich, że

***

to w punkcie
jest lokalne minimum warunkowe funkcji f (lokalne maksimum warunkowe).

Warunek wykluczający

Jeżeli różniczka

przyjmuje wartości dodatnie i ujemne dla h spełniających warunek ***, to funkcja f nie ma ekstremum warunkowego w punkcie
.

Przypadek szczególny

W tym przypadku gradient funkcji f w ekstremum warunkowym
jest prostopadły do krzywej M w punkcie
.