Zmienna losowa - zmienna, której realizacji nie można z całą pewnością przewidzieć (wartości nie można przewidzieć). W każdej realizacji przypisane jest prawdopodobieństwo, że zmienna się zrealizuje.

Dystrybuanta zmiennej losowej - funkcja podająca prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość mniejszą od określonej liczby.

Zmienna losowa skokowa - zmienna, która przyjmuje wartości ze skończonego lub co najwyżej przeliczalnego zbioru liczb.

(np. liczba osób w grupie na AE może mieć 20, 21, 23, ale nie może mieć 21,5 osoby)

p_i = P(X = x_i), i = 1, 2, …

Prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość x_i wynosi p_i.

Dystrybuanta:

Suma prawdopodobieństwa x_i dla wszystkich i < k.

F(x) = P(X < x_k) =

Suma prawdopodobieństw jest równa 1.

Rozkład zmiennej losowej skokowej opisujemy za pomocą funkcji rozkładu i dystrybuanty.

Zmienna losowa ciągła - zmienna, która przyjmuje wartości ze skończonego lub nieskończonego przedziału liczb rzeczywistych.

Zmienna losowa X jest zmienną ciągłą jeśli posiada dystrybuantę F(x), która jest funkcją ciągłą oraz posiada pochodną F'(x) oznaczoną F(x) i jest ona ≥ 0 i pochodna jest funkcją ciągłą z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów.

F'(x) = f(x) = ≥ 0

Funkcja f(x), która jest pochodną dystrybuanty F(x), jest funkcją gęstości prawdopodobieństw zmiennej losowej X.

F(x) = lim
(Δx -> 0)

Jeśli funkcja gęstości jest pochodną dystrybuanty, to:

F(x) =

P(a < X < b) = P(a ≤ X ≤ b) =

= 1

Prezentacja graficzna dystrybuanty funkcji zmiennej ciągłej:

Funkcja gęstości:

Powierzchnia pod całą funkcją gęstości prawdopodobieństwa jest równa 1.

| a b | - część z całości (pole)

Parametry rozkładu zmiennej losowej:

Moment zwykły rzędu k:

M_k = E(X^k)

Moment rzędu 1:

m₁ = E(X)

E(X) - wartość przeciętna lub wartość oczekiwana, nadzieja matematyczna zmiennej losowej

Moment centralny rzędu 2:

μ_k = E[X - E(X)]^k

μ₁ = E[X - E(X)] = 0

μ₂ = E[X - E(X)]² = D²(X) = V(X)

D²(X) - wariancja zmiennej losowej

D(X) = {E[X - E(X)²]}^1/2 - odchylenie standardowe zmiennej losowej

Moment centralny rzędu 3 (miara asymetrii):

μ₃ = E[X - E(X)]³

Parametry rozkładu zmiennej losowej skokowej:

E(X) =

=

≈ p_i - można oszacować prawdopodobieństwo

Wariancja:

D²(X) =

Odchylenie standardowe:

D(X) =

Parametry rozkładu zmiennej losowej ciągłej:

E(X) =

Wariancja:

D²(X) =

Gdy liczba danych jest nieskończona.