Wykład 3

Teoria popytu konsumpcyjnego - podstawowe modele

Przypuśćmy, że dysponujemy szeregami czasowymi ilustrującymi roczne wielkości spożycia pewnego dobra (
) w Polsce oraz roczny indeks jego cen (
). Szacujemy MNK model liniowy i otrzymujemy

,

gdzie
- estymatory parametrów strukturalnych (
). Załóżmy dalej, że model przeszedł pomyślnie podstawowe testy i uznaliśmy go za dobry (stwierdziliśmy stałość wariancji oraz brak skorelowania składników losowych, dobre dopasowanie do danych empirycznych, itp.). Czy możemy twierdzić, że
jest elastycznością cenową popytu (spożycia) na dobro i-te w roku t ?

Zanim odpowiemy twierdząco lub przecząco winniśmy rozstrzygnąć następujące kwestie:

Teoretyczna poprawność

Wyprowadzenie funkcji popytu konsumpcyjnego z funkcji użyteczności o konkretnej postaci przez co w sposób ,,automatyczny” spełniania ona wszystkie ogólne restrykcje (jednorodność rzędu zerowego, sumowalność) oraz określone, pożądane przez badacza własności ekonomiczne oraz statystyczne.

Z jakiej funkcji użyteczności można otrzymać powyższą funkcję popytu?

Identyfikacja

Czy możemy być pewni, że szacując powyższe równanie oszacowaliśmy równanie popytu a nie równanie podaży lub jeszcze ,,coś innego”? Przecież obserwowane na rynku ceny wynikają ze zrównania popytu z podażą.

Przykład (L.Philips, Applied consumption analysis. North-Holland, Amsterdam 1983, s. 94-95):

Dany jest model rynku pewnego dobra

oraz

,

gdzie:
- ilość konsumowana (popyt) w okresie
,
- ilość dostarczana na rynek (podaż) w okresie
,
- cena w okresie
(
). W równowadze mamy:

,

czyli

.

Stąd

oraz

Równaniem (regresją?) opisującym wielkość zrealizowaną na rynku jest zatem

(!!!)

Co zatem ,,oszacowaliśmy” wykorzystując szeregi czasowe ceny i popytu (podaży) ???

Rozważmy teraz model zmodyfikowany:

oraz

.

Tym razem mamy

,

czyli

.

Stąd

oraz

Równaniem (regresją?) opisującym wielkość zrealizowaną na rynku jest

(!!!)

Tym razem ,,oszacowaliśmy” popyt. Dlaczego? Jakie są warunki identyfikacji?

Ceteris paribus

Oszacowania wyjściowe otrzymano na podstawie modelu

,

w którym składnik losowy
reprezentuje łączne oddziaływanie wszystkich pominiętych czynników (mamy nadzieję, że oddziaływania indywidualne wzajemnie się znoszą dla każdego
!!!).

Problemy:

;

gdzie
- dochód konsumentów w okresie t;

.

itd., itd.

Agregacja

Teoria popytu i wynikające z niej restrykcje nakładane na funkcje popytu wyprowadzane są z zachowania indywidualnych konsumentów, a nie z zachowania grup konsumentów. Natomiast dane obrazujące konsumpcję (jej wielkości i ceny) zazwyczaj odnoszą się do większych agregatów (rynku pewnego dobra - np. mięsa wołowego, grupy dóbr - np. żywności oraz uczestników rynku - np. dochodu konsumentów). Jak pogodzić teorię z rzeczywistością empiryczną?

Jakie warunki muszą być spełnione, aby elastyczność dochodowa popytu w agregacie była równa elastycznościom indywidualnym?

Niech dochód łączny jest równy sumie dochodów indywidualnych,

,

a spożycie łączne - sumie spożyć indywidualnych

.

tylko wtedy, gdy

,

oraz

.

Oznacza to konieczność identycznych temp wzrostu dochodów indywidualnych, niezmieniających rozkładu dochodu łącznego oraz konieczność identycznych temp wzrostu spożyć indywidualnych, niezmieniających rozkładu spożycia łącznego. Sama równość elastyczności indywidualnych nie wystarczy !!!

Jakie są warunki istnienia zagregowanej funkcji popytu?

Niech funkcją popytu konsumpcyjnego na dobro i-te gospodarstwa h-tego będzie

,

gdzie:
- dochód gospodarstwa h (
),

- indeks cen dobra i (
).

Kiedy funkcję popytu konsumpcyjnego na dobro i-te można zapisać jako agregat popytów indywidualnych

lub

,

gdzie
- średni dochód. Zauważmy, że ze względu na konstrukcję
, średni popyt
zależy od rozkładu dochodów indywidualnych, natomiast
nie zależy od ich rozkładu. Stąd powyższą agregację można przeprowadzić tylko wtedy, gdy zmiana rozkładu dochodów nie ma wpływu na popyt przeciętny
. Tak się dzieje tylko wtedy, gdy wszyscy konsumenci mają identyczne krańcowe skłonności do konsumpcji każdego dobra, czyli gdy funkcje popytu są liniowymi funkcjami
oraz mają identyczne współczynniki kierunkowe:

.

Pokaż, że powyższą funkcję popytu można otrzymać z funkcji użyteczności (kosztów) w postaci

poprzez różniczkowanie wykorzystując dualizm.

Jakie warunki muszą być spełnione, aby agregatowa funkcja popytu oddawała zachowanie ,,przeciętnego” konsumenta, tj. aby nie była funkcja przeciętnego dochodu
, ale funkcją poziomu dochodu
, który z kolei byłby sam funkcją rozkładu dochodów
i (indeksów) cen
?

Wskazówka:

gdzie
,
oraz
są liniowo homogenicznymi funkcjami (indeksów) cen, a
jest liniowo homogeniczną funkcją a i b.

Wydatek na dobro i-te gospodarstwa domowego

,

ceteris paribus; zatem krzywa Engla jest równaniem popytu, w którym ceny wszystkich dóbr są stałe
szacowanie z danych przekrojowych, charakteryzujących konsumpcję gospodarstw domowych w danym momencie (okresie) czasu.

Ernst Engel, Die Produktions- und Konsumptionsverhaeltnisse des Koenigreichs Saechsen. Zeitschrift des Statistichen Bureaus des Koeniglichen Saechsichen Ministerium des Inneren 1857, nr 8, 9:

Wyprowadź krzywą Engla z (ograniczonej) funkcji użyteczności

Aby warunki ceteris paribus mogły być spełnione, gospodarstwa domowe muszą być w miarę jednorodne:

Niech krzywą Engla jest
, gdzie
oznacza liczbę osób w gospodarstwie. Pokaż, że konsumpcja dóbr luksusowych spada wraz ze wzrostem rozmiarów rodziny.

Wskazówka: z twierdzenia Eulera mamy

.

Jaką własnością charakteryzują się dobra luksusowe (elastyczność dochodowa popytu)?

,

gdzie
- wydatki ogółem.

Z jakiej funkcji popytu konsumpcyjnego Allen i Bowley wyprowadzili swoją funkcję popytu konsumpcyjnego?

,

,

,

.

Pokaż dla każdej funkcji popytu konsumpcyjnego:

Czy powyższe funkcje można wyprowadzić z jakiejś konkretnej funkcji użyteczności?

,

,

- udziały w wydatkach,
- funkcja kosztów,
- indeks cen --> [Author:P] .

Paweł Miłobędzki: Wykłady z ekonomii matematycznej

1

10