CAŁKI WIELOKROTNE

CAŁKA PODWÓJNA

§ 1. Całka podwójna w prostokącie.

Niech dany będzie prostokąt P określony nierównościami P={(x,y): a<x<b, c<y<d}.

Y

d

y_k

c

a x_k b X

Niech w prostokącie P będzie określona i ograniczona funkcja dwóch zmiennych (x,y)→f(x,y).

Podzielmy prostokąt P na n małych prostokątów P_k, k=1,...,n, o polach Δσ_k (Δ_n - podział prostokąta P na n małe części). Obierzmy w każdym prostokącie punkt A_k(x_k,y_k)
P_k, k=1,...,n.

Obliczmy wartość funkcji w punkcie f(x_k,y_k) i obliczmy sumę:

(1)

Jest to wzór na n-tą sumę całkową funkcji f w prostokącie P.

Średnicą podziału Δ_n nazywamy liczbę
, gdzie d_k - długość przekątnej prostokąta P_k.

Ciąg podziału {Δ_n} jest normalnym ciągiem podziału, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic {δ_n­} jest zbieżny do zera, tj.: δ_n­
0.

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału prostokąta P ciąg sum całkowych {S_n} określonych wzorem (1) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktu A_k, to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji f w prostokącie P i oznaczamy symbolem:

- jeżeli granica ta jest właściwa, to mówimy, że funkcja jest

całkowalna (w sensie Riemanna) w prostokącie P.

Ograniczoność funkcji (wiadomo wtedy, że sumy są skończone) jest warunkiem koniecznym całkowalności.

Jeżeli funkcja jest całkowalna to jest ograniczona.

Funkcja ograniczona w prostokącie P i ciągła z wyjątkiem punktów nieciągłości leżących na co najwyżej skończonej liczbie krzywych postaci y=φ(x) lub x=ψ(y) jest całkowalna.

x=ψ(y)

Funkcja, która jest nieciągła na skończonej liczbie krzywych jest całkowalna.

y=φ(x)

Interpretacja geometryczna całki podwójnej w prostokącie:

Jeżeli f(x,y) jest stała [f(x,y)=c, (x,y)
P] to S_n=c∙σ, gdzie σ jest to pole prostokąta P. Ciąg S_n jest stały, ponieważ jest zbieżny do c∙σ (S_n→c∙σ).

Jeżeli funkcja jest ciągła w prostokącie P i przyjmuje wartości nieujemne [f(x,y)>0, (x,y)
P] to całka podwójna
jest równa objętości bryły ograniczonej płaszczyznami: z=0, x=a, x=b, y=c, y=d i powierzchnią z=f(x,y).

Z

z=f(x,y)

a b

c X

d

Y

Własności całki podwójnej w prostokącie:

, σ - pole prostokąta P

Liczbę
(gdzie σ - pole prostokąta P) nazywamy wartością średnią funkcji f w prostokącie P.

Jeżeli funkcja dwóch zmiennych (x,y)→f(x,y) jest ciągła w prostokącie P to istnieje taki punkt D
P, że spełniona jest równość:

=f(D)∙σ

Dowód: Z własności 4) i definicji wartości średniej wynika, że:

m<μ<M

Jeżeli funkcja f jest całkowalna w prostokącie P={(x,y): a<x<b, c<y<d} to spełnione są równości:

całki iterowane

Przykład: Obliczyć całkę podwójną:
w prostokącie P={(x,y): -2<x<3, 0<y<1}

Przykład: Obliczyć objętość bryły ograniczonej płaszczyznami: z=0, x=1, x=2, y=1, y=3 i

płaszczyzną z=x²+y².

Z z=x²+y² f(x,y)=x²+y² P={(x,y): 1<x<2, 1<y<3}

1 2

1 X

3

Y

§ 2. Całka podwójna w obszarze normalnym.

Obszar domknięty
={(x,y): a<x<b, φ(x)<y<ψ(x)} gdzie funkcje φ i ψ są ciągłe w <a,b> nazywamy obszarem normalnym względem osi OX.

Y

d y=ψ(x)

P obszar normalny

D

c y=φ(x)

a x b X

Kres dolny funkcji φ(x): Kres górny funkcji ψ(x):

P={(x,y): a<x<b, c<y<d}

Niech będzie dana funkcja (x,y)→f(x,y) określona i ciągła w
. Rozważmy funkcję pomocniczą f*, która jest określona w następujący sposób:

(1)

W takim razie f* jest ciągła z wyjątkiem punktów nieciągłości położonych na krzywych y=φ(x) i y=ψ(x), czyli jest całkowalna w prostokącie P.

Całkę podwójną funkcji f w obszarze
definiujemy w następujący sposób:

Z twierdzenia o zamianie całki podwójnej na iterowaną otrzymujemy:

Powstałą całkę rozbijamy na trzy i otrzymujemy:

Obszar domknięty
określony następującym wzorem:
={(x,y): α(y)<x<β(y), c<y<d}, gdzie funkcje α i β są ciągłe w <c,d> nazywamy obszarem normalnym względem osi OY.

Y

d

x=α(y)

x=β(y)

c

a b X

Przykład: Obliczyć całkę podwójną
po obszarze
, gdzie
jest dany równaniami:

x = y i y² = x.

Y Obszar
jest normalny względem OX i OY.

y = x

Obszar
traktujemy jako normalny względem osi OX:

={(x,y): 0<x<1, x<y<
}

y² = x

1 X

Obszar
traktujemy jako normalny względem osi OY:
={(x,y): 0<y<1, y²<x<y}

Obszar domknięty
, który jest sumą skończonej liczby obszarów
,
, …,
normalnych (względem osi OX lub OY) nie mających wewnętrznych punktów wspólnych nazywamy obszarem regularnym:

=
+
+ … +

Całkę po obszarze regularnym definiuje się jako sumę po obszarach
,
, …,
. Wszystkie własności całki po prostokącie przenoszą się dla całek po obszarze regularnym.

Jeżeli mamy funkcję (x,y)→f(x,y), która jest ciągła w obszarze regularnym
, jest ponadto nieujemna w tym obszarze [f(x,y)>0, (x,y)

], to całka tej funkcji jest równa objętości figury ograniczonej z dołu płaszczyzną z=0, z góry powierzchnią z=f(x,y) i z boku powierzchnią walcową na brzegu obszaru
:

Z

z = f(x,y)

0 X

D

Y

§ 3. Zamiana zmiennych w całce podwójnej.

Odwzorowaniem (przekształceniem) jednoznacznym zbioru X na zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y, przy czym każdy element zbioru Y jest przyporządkowany co najmniej jednemu elementowi zbioru X.

Odwzorowaniem (przekształceniem) wzajemnie jednoznacznym zbioru X na zbiór Y nazywamy takie odwzorowanie jednoznaczne zbioru X na Y, dla którego każdy element ze zbioru Y jest przyporządkowany dokładnie jednemu elementowi ze zbioru X.

T: X → Y - odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne

T^-1: Y → X - odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne odwrotne

Rozpatrzmy następujące przekształcenie x=φ(u,v) i y=ψ(u,v):

(1)

Jeżeli funkcje φ i ψ są ciągłe w Δ to mówimy, że takie odwzorowanie jest ciągłe w tym obszarze.

Jeżeli funkcje φ i ψ są klasy C¹ w Δ to funkcję (u,v) można określić przez wyznacznik:

i nazywamy ją jakobianem tego przekształcenia.

Jeżeli jakobian jest różny od 0 (J≠0) w pewnym obszarze to odwzorowanie (1) jest lokalnie wzajemnie jednoznaczne.

Jeżeli:

to prawdziwa jest równość:

Współrzędne biegunowe:

x = r ∙cosφ

Y y = r ∙sinφ

y P(x,y)

φ x X

oś biegunowa biegun

Przykład: Obliczyć całkę
, gdzie D jest obszarem ograniczonym liniami: x = 0, y = 0,

x² + y² = 1, x² + y² = 9

Y

r

φ X

1 3

Wprowadzamy nowe zmienne:

x = r ∙ cosφ, y = r ∙ sinφ

Δ={(r,φ): 1<r<3, 0<φ<
}

J = r

§ 4. Zastosowania całki podwójnej.

Objętość bryły ograniczonej z góry powierzchnią z = φ(x,y), z dołu powierzchnią z = ψ(x,y) i z boków powierzchnią walcową obszaru D.

Z

z = φ(x,y)

Ω

z = ψ(x,y)

X

D

Y

Przykład: Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z=4 - x² - y² oraz 2z=2 + x² + y².

Z

4

- równanie okręgu w przestrzeni

2

1

D X

Y

Aby zrzutować powstały okrąg (z przecięcia niebieskiej i czerwonej paraboloidy obrotowej) na płaszczyznę XY eliminujemy z:

x² + y² = 2 - równanie okręgu na płaszczyźnie XY

- równanie walca kołowego w przestrzeni XYZ

D={(x,y): -
<x<
, -
<y<
}

Wprowadzamy zmienne biegunowe: x = r ∙ cosφ, y = r ∙ sinφ, J = r, Δ={(r,φ): 0<r<
, 0<φ<2π}

Pole płata powierzchniowego

Jeżeli funkcja (x,y)→f(x,y) jest klasy C¹ (tzn. posiada ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego włącznie) w pewnym obszarze regularnym D, to powierzchnię o równaniu z=f(x,y), (x,y)
D nazywamy regularnym płatem powierzchniowym.

W każdym punkcie tego płata można poprowadzić styczną.

Wzór na pole regularnego płata powierzchniowego:

Powyższy wzór jest prawdziwy, jeśli występująca w nim funkcja jest klasy C¹.

Przykład: Obliczyć pole części powierzchni kuli x²+y²+z²=R² wyciętej walcem x²+y²=Rx.

Z

P, bo taki sam płat powierzchniowy będzie na:

- ujemnym kierunku OY, dodatnim OZ i dodatnim OX

- ujemnym kierunku OZ, dodatnim OY i dodatnim OX

X - ujemnym kierunku OZ, ujemnym OY i dodatnim OX

Y

Wprowadzamy zmienne biegunowe: x = r ∙ cosφ, y = r ∙ sinφ, J = r, Δ={(r,φ): 0<r<Rcosφ, 0<φ<
}

r²cos²φ + r²sin²φ=Rrcosφ

r²=Rrcosφ/:r

r=Rcosφ

Momenty obszarów płaskich

Rozważmy obszar płaski D o gęstości powierzchniowej ρ(x,y). Podzielmy ten obszar na n podobszarów o polu Δσ_i, i=1,...,n. Masa tego obszaru w punkcie (x_i,y_i) jest równa: ρ(x_i,y_i)Δσ_i

,

sumy całkowe funkcji y^kρ(x,y), x^kρ(x,y)

- moment k - tego rzędu względem osi OX

- moment k - tego rzędu względem osi OY

Jeśli k=0, to
- masa

Jeśli k=1, to
- momenty statyczne

Jeśli k=2, to
- momenty bezwładności

Współrzędne środka ciężkości:

Przykład: Znaleźć środek ciężkości trójkąta prostokątnego równoramiennego, jeżeli gęstość powierzchni w każdym punkcie tego trójkąta jest wprost proporcjonalna do odległości tego punktu od przeciwprostokątnej.

Ρ(x,y)=ky k - współczynnik proporcjonalności

D={(x,y): y-a<x<a-y, 0<y<a}

- masa

,
S(0,
) - współrzędne środka ciężkości

CAŁKA POTRÓJNA

§ 1. Całka potrójna w prostopadłościanie

Rozważmy prostopadłościan P={(x,y,z): a<x<b, c<y<d, p<z<q}.

Niech będzie dana funkcja trzech zmiennych (x,y,z)→f(x,y,z), (x,y,z)
P oraz niech ta funkcja będzie określona i ograniczona w P.

Dzielimy prostopadłościan P na n prostopadłościanów o objętościach ΔV_i, i=1,...,n. Podział ten oznaczamy przez Δ_n. Określmy średnią tego podziału:

, d_i - przekątna i-tego prostopadłościanu

Mówimy, że ciąg podziału Δ_n jest normalnym ciągiem podziału, jeżeli
.

Następnie w każdym prostopadłościanie wybieramy w dowolny sposób punkt A_i(x_i,y_i,z_i) i tworzymy sumę:

(1)

Powyższy wzór to n - ta suma całkowa funkcji f w prostopadłościanie P.

{S_n} - ciąg sum całkowych

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału prostopadłościanu P ciąg sum całkowych określonych wzorem (1) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnej od wyboru punktu A_i, to tę granicę nazywamy całką potrójną funkcji f w prostopadłościanie P.

lub

Wartość średnia funkcji f prostopadłościanie P:
,

V - objętość prostopadłościanu P

Jeżeli funkcja (x,y,z)→f(x,y,z) jest ciągła w prostopadłościanie P={(x,y,z): a<x<b, c<y<d, p<z<q}, to istnieje taki punkt C
P, że:

= f(C) ∙ V

Jeżeli funkcja (x,y,z)→f(x,y,z) jest ciągła w prostopadłościanie P={(x,y,z): a<x<b, c<y<d, p<z<q}, to całka potrójna
zamienia się w następującą postać:

Obszar domknięty
={(x,y,z): φ(x,y)<z<ψ(x,y), (x,y)
D}, gdzie funkcje φ i ψ są ciągłe w obszarze regularnym D nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny OXY.

Z

q z = ψ(x,y)

P

Ω

p z = φ(x,y)

c a b X

d D

Y

Obszary normalne względem pozostałych płaszczyzn definiuje się analogicznie.

Załóżmy, że funkcja (x,y,z)→f(x,y,z) jest ciągła i określona w Ω. Ponadto istnieją kresy:

,
,

P

Niech będzie dana funkcja (x,y,z)→f(x,y,z) określona i ciągła w Ω. Rozważmy funkcję pomocniczą f*, która jest określona w następujący sposób:

W takim razie f* jest ciągła z wyjątkiem punktów nieciągłości położonych na powierzchniach z=φ(x,y) i z=ψ(x,y), czyli jest całkowalna w prostopadłościanie P.

Obszar regularny w przestrzeni to obszar, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych względem którejś z płaszczyzn, nie zawierających punktów wspólnych.

Niech przekształcenie x=φ(u,v,w), y=ψ(u,v,w), z=ω(u,v,w) przekształca wzajemnie i jednoznacznie wnętrze obszaru regularnego U na wnętrze obszaru regularnego Ω i ponadto niech funkcje φ, ψ i ω będą klasy C¹ w obszarze U. Ponadto załóżmy, że jakobian tego przekształcenia jest różny od 0 w obszarze U:

(*)

i funkcja (x,y,z)→f(x,y,z) będzie ciągła w obszarze Ω, to spełniona jest równość:

Współrzędne sferyczne:

Z

θ P(r,φ,ψ)

r x = r ∙ cosφ ∙ cosψ, y = r ∙ sinφ ∙ cosψ, z = r ∙ sinψ

0<r<+∞, 0<φ<2π,
<ψ<

ψ Jakobian (*) dla powyższego wyrażenia wynosi:

0 φ X J = r² ∙ cosψ

Y

Jeśli przyjmiemy jako trzecią współrzędną punktu P θ, to otrzymujemy:

x = r ∙ cosφ ∙ sinθ, y = r ∙ sinφ ∙ sinθ, z = r ∙ cosθ

J = r² ∙ sinθ

Współrzędne walcowe:

Z

x = r ∙ cosφ, y = r ∙ sinφ, z = z

P(r,φ,z) J = r

φ X

r

Y

Jeżeli ustalimy r, a zmienimy φ i z to otrzymamy powierzchnię walcową.

Przykład: Obliczyć całkę
, gdzie Ω jest wycinkiem kuli x²+y²+z²=4 ograniczonej p

powierzchnią stożkową x²+y²-z²=0.

Z

0<r<2 , 0<φ<2π

Ω

X

Y

Wstawiamy zależności do równania stożka:

r²cos²φcos²ψ + r²sin²φcos²ψ - r²sinψ = 0

r²[cos²ψ(cos²φ+ sin²φ) - sin²ψ] = 0 /: r² - można, bo r=0 tylko dla początku układu współrzędnych

cos2ψ = 0

2ψ =

ψ =

<ψ<

§ 2. Zastosowania geometryczne i fizyczne całek potrójnych.

, gdzie V - objętość bryły Ω

gdy i = 0 otrzymujemy wzór na masę tej bryły:

CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

Rozważmy łuk zwykły o równaniach parametrycznych:

x = x(t), y = y(t), gdzie t
<α,β> (1)

Wartości parametru t=α odpowiada punkt A[x(α),y(α)], a wartości parametru t=β odpowiada punkt B[x(β),y(β)].

Jeżeli dwa łuki:

i

różnią się tylko skierowaniem, to piszemy, że:

= -

Przypuśćmy, że łuk

jest skierowany zgodnie z przedstawieniem parametrycznym (1). Niech w każdym punkcie tego łuku będą przedstawione dwie funkcje: (x,y)→P(x,y) i (x,y)→Q(x,y).

B=A_n

A_k

C_k

A_k-1

C₁ A₂

A₁

A

τ₁ t₁ τ₂ t₂ τ_k t_k

t

α=t₀ t_n-1 β=t_n

Podzielmy przedział <α,β> na n części punktami t₁, t₂, … , t_n-1 tak, że: t₀=α < t₁ < t₂ <…< t_n-1 < t_n=β.

Punktom na osi t odpowiadają punkty na łuku A_k[x(t_k),y(t_k)]
x_k=x(t_k), y_k=y(t_k)
A_k=(x_k,y_k).

Oznaczmy przez Δx_k = x_k - x_k-1, Δy_k = y_k - y_k-1. W każdym z przedziałów t_k obierzmy punkt pośredni τ. Temu wyborowi punktów τ_k odpowiadają punkty na łuku:

C_k[x(τ _k),y(τ _k)]
ξ_k=x(τ_k), η_k=y(τ_k)
C_k=(ξ_k,η_k).

= [P,Q] - funkcja wektorowa
= [Δx,Δy]

Rozważmy sumy:

(2)

(3)

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału <α,β> ciąg sum całkowych (3) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktów pośrednich τ_k, to tę granicę nazywamy całką krzywoliniową skierowaną pary funkcji dwóch zmiennych [P,Q] na łuku

i oznaczamy symbolem:

lub

Zauważmy, że jeśli Q(x,y)≡0 na łuku

, to następuje uproszczenie:
, a jeśli P(x,y)≡0, to następuje uproszczenie:

Y

A B

X

Y B

A

X

Jeżeli przedstawienie x=x(t), y=y(t), t
<α,β> jest niezgodne ze skierowaniem łuku

, to przedstawienie x=x(-t), y=y(-t), t
<-β,-α> jest zgodne ze skierowaniem tego łuku.

Jeżeli funkcje (x,y)→P(x,y) i (x,y)→Q(x,y) są ciągłe na łuku zwykłym gładkim skierowanym

o przedstawieniu parametrycznym (1) zgodnym ze skierowaniem tego łuku, to spełniona jest równość:

Mówimy, że łuk

jest łukiem gładkim, jeżeli funkcje x(t), y(t) są klasy C¹ na przedziale <α,β> (tzn. posiadają ciągłe pochodne rzędu pierwszego włącznie).

Przykład: Obliczyć całkę krzywoliniową
po łuku

, gdzie

jest ćwiartką okręgu

x²+y²=1 skierowaną od A(1,0) do B(0,1).

Y

B

Równanie parametryczne okręgu o promieniu r:

A X x = r ∙ cost, y = r ∙ sint, t
<0;2π>

r = 1

x = cost, y = sint, t
<0;
>

x' = -sint, y' = cost

Y

x = cos(-t), y = sin(-t), t
<-
;0> B

x = cost, y = -sint, t
<-
;0> A X

x' = -sint, y' = -cost

Jeżeli łuk

różni się od

tylko skierowaniem to:

Jeżeli krzywa K jest sumą n łuków
, to całkę krzywoliniową skierowaną po krzywej K definiuje się jako sumę:

Y A₆

A₇ A₅

A₄

A₁

A₃

A₂

X

Jeżeli mamy dwie funkcje
i
określone na łuku

to:

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ NA PŁASZCZYŹNIE:

Jeżeli P(x,y), Q(x,y) oznaczają składowe skalarne wzdłuż osi współrzędnych wektora siły F(P,Q) działającej w punkcie (x,y) łuku

, to całka:

jest równa pracy siły F wzdłuż drogi, którą jest łuk

.

CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA W PRZESTRZENI

Rozważmy łuk

: x=x(t), y=y(t), z=z(t), t
<α,β> (1)

=[P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)]

=

Jeżeli funkcje P, Q i R są ciągłe na łuku gładkim

o przedstawieniu (1) o skierowaniu zgodnym to powyższą całkę po łuku

można przedstawić jako całkę oznaczoną:

Ogólnie można przyjąć, że krzywa skierowana dodatnio jest skierowana przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, natomiast krzywa skierowana ujemnie jest skierowana zgodnie z ruchem wskazówek zegara.

§ 1. TWIERDZENIE GREENA

Jeżeli funkcje (x,y)→P(x,y) i (x,y)→Q(x,y) są klasy C¹ w obszarze
normalnym względem OX i OY, przy czym obszar
jest ograniczony krzywą K skierowaną dodatnio do swego wnętrza, to:

Dowód:

Obszar D jest normalny względem osi OX:

={(x,y): a<x<b, φ(x)<y<ψ(x)}

L₁: y=φ(x) x
<a,b>

x=t

y=φ(t) t
<a,b>

Parametryzacja jest zgodna ze skierowaniem łuku L₁.

L₂: y=ψ(x) x
<a,b>

x=t

y=φ(t) t
<a,b>

Parametryzacja jest zgodna ze skierowaniem łuku -L₂.

po krzywej zamkniętej

Obszar D jest normalny względem osi OY:

={(x,y): α(y)<x<β(y), c<y<d}

C₁: x=α(y) y
<c,d>

y=t

x=α(t) t
<c,d>

Parametryzacja jest zgodna ze skierowaniem łuku -C₁.

C₂: x=β(y) y
<c,d>

y=t

x=β(t) t
<c,d>

Parametryzacja jest zgodna ze skierowaniem łuku C₂.

Przykład: Obliczyć całkę
po obszarze zamkniętym K: x²+y²=r² skierowanym

dodatnio do swego wnętrza.

P(x,y)= -x²y

Q(x,y)= xy²

§ 2. ZASTOSOWANIA TWIERDZENIA GREENA

Weźmy całkę
.

Wtedy:

P(x,y)=-y

Q(x,y)=x

Czyli powyższa całka wynosi:

- pole obszaru |D|

Przykład: Obliczyć pole obszaru |D| ograniczonego elipsą b²x²+a²y²=a²b²

x=acost

y=bsint

t
<0,2π>

§3. NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ OD DROGI CAŁKOWANIA

Jeżeli funkcje P i Q są klasy C¹ w obszarze jednospójnym D, normalnym względem obu osi, wtedy równość
w obszarze D jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, żeby całka po łuku


, gdzie

jest zawarty w D (


D), nie zależała od kształtu drogi całkowania, a tylko od punktu początkowego A i końcowego B tego łuku.

Przykład:

A(1,0), B(2,1)

x=1+(2-1)t
x=1+t y=0+(1-0)t
y=t t
<0,1>

P(x,y)dx + Q(x,y)dy jest różniczką zupełną, jeżeli istnieje taka funkcja U(x,y), że:
.

U jest funkcją pierwotną różniczki zupełnej:
.

U szukamy z definicji, lub ze wzoru
, (x₀,y₀)
D (pkt. wybrany).

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ SKIEROWANEJ W PRZESTRZENI:

Jeśli P(x,y,z), Q(x,y,z) i R(x,y,z) są składowymi skalarnymi wzdłuż osi współrzędnych wektora siły F(P,Q,R) działającego w punkcie (x,y,z) łuku

, to całka krzywoliniowa skierowana
jest równa pracy wykonanej przez zmienną siłę F na drodze, którą jest łuk

.

CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA

Rozważmy łuk gładki

o przedstawieniu parametrycznym:

x=x(t), y=y(t), t
<α,β> (1)

B=B_n

A_k

A_k-1

A₄

A₂ A₃

A₁

A=A₀

τ₁ t₁ τ₂ t₂ τ_k t_k

t

α=t₀ t_k-1 β=t_n

l - długość łuku

(x,y)→f(x,y) - funkcja ciągła, określona na łuku

α = t₀ < t₁ < ... < t_n-1 < t_n = β

, k=1,2,...,n

τ_k
<t_k-1,t_k>

x_k=x(τ_k), y_k=y(τ_k)

(2)

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału przedziału <α,β> ciąg sum całkowych (2) jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnej od wyboru punktów τ_k, to tę granicę nazywamy całką nieskierowaną funkcji f(x,y) po łuku

i oznaczamy przez:

Jeżeli łuk

jest zwykły gładki, a funkcja f jest określona na tym łuku, to:

Przykład: Obliczyć całkę krzywoliniową nieskierowaną
, gdzie L jest łukiem cykloidy o równaniu

x=a(t-sint), y=a(1-cost), t
<0,2π>

x'=a(1-cost), y'=asint

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIESKIEROWANEJ NA PŁASZCZYŹNIE:

Jeżeli f(x,y) oznacza gęstość liniową łuku materialnego

, to całka:

jest równa masie tego łuku.

Jeżeli zaś f(x,y) oznacza gęstość ładunku elektrycznego na tym łuku, to powyższa całka jest równa całkowitemu ładunkowi znajdującemu się w nim.

CAŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA W PRZESTRZENI

Całkę krzywoliniową nieskierowaną w przestrzeni definiuje się analogicznie jak całkę krzywoliniową nieskierowaną na płaszczyźnie i przedstawia następującym wzorem:

INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIESKIEROWANEJ W PRZESTRZENI:

Jeżeli F(x,y,z) oznacza gęstość liniową łuku materialnego

, to całka:

jest równa masie tego łuku.

Jeżeli zaś F(x,y,z) oznacza gęstość ładunku elektrycznego na tym łuku, to powyższa całka jest równa całkowitemu ładunkowi znajdującemu się w nim.

CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA

Mówimy, że powierzchnia o równaniu z=f(x,y), (x,y)
jest gładkim płatem powierzchniowym S względem płaszczyzny OXY, jeżeli funkcja f jest klasy C¹ na obszarze
, a
jest obszarem regularnym na płaszczyźnie OXY.

Analogicznie definiuje się gładkie płaty powierzchniowe względem pozostałych płaszczyzn układu.

Dzielimy obszar D na n obszarów. Temu podziałowi odpowiada podział płata S. Załóżmy, że na płacie S jest określona funkcja (x,y,z)→F(x,y,z) i jest ona ciągła. Obierzmy na k - tym płacie punkt A_k(x_k,y_k,z_k), z_k=f(x_k,y_k). Utwórzmy sumy:

S_n=

Ten ciąg nazywamy ciągiem sum całkowych niezorientowanych.

Jeżeli dla każdego ciągu podziału obszaru
ciąg sum całkowych S_n­ jest zbieżny do tej samej granicy właściwej niezależnie od wyboru punktu A_k­, to tę granicę nazywamy całką powierzchniową niezorientowaną funkcji F powierzchni S i oznaczamy przez:

podwójną po obszarze
:

Jeżeli funkcja F jest ciągła na gładkim płacie powierzchniowym S o równaniu z=f(x,y), to:

Przykład: Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną po powierzchni S
,

gdzie S jest górną powierzchnią sfery o równaniu: x²+y²+z²=a², z>0.

,
: x²+y²=a²

Płat S jest gładki z wyjątkiem brzegu!!!

Rozważmy więc obszar
: x²+y²<ρ², ρ<a

CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA

Jeżeli mamy gładki płat powierzchniowy S o równaniu z=f(x,y), (x,y)
. Załóżmy, że płatowi S możemy nadać orientację.

- wektor prostopadły do płaszczyzny stycznej do powierzchni

= [cosα, cosβ, cosγ]

Wstęga Möbiusa - płat powierzchniowy, któremu nie można nadać orientacji. Uzyskuje się go poprzez skręcenie i sklejenie prostokątnego paska papieru.

Przyjmuje się, że powierzchnia jest zorientowana dodatnio, jeśli cosγ>0.

Gdy cosγ>0 - to powierzchnia jest zorientowana ujemnie.

Przypuśćmy, że na zorientowanym płacie S określona jest trójka funkcji ciągłych:

(x,y,z)→P(x,y,z)

(x,y,z)→Q(x,y,z)

(x,y,z)→R(x,y,z)

Jeżeli powierzchnia jest dana wzorem
, to cosinusy kierunkowe wynoszą:

(1)

przy czym: ε=+1, gdy cosγ>0

ε= -1, gdy cosγ<0

Rozważmy iloczyn skalarny funkcji wektorowej
i wektora normalnego

. Zauważmy, że na wartość tego iloczynu ma wpływ orientacja płata.

Całkę powierzchniową zorientowaną trójki funkcji P, Q i R definiuje się jako całkę powierzchniową niezorientowaną, która jest iloczynem skalarnym:

* - orientacja tej całki jest zależna od cosinusów kierunkowych!!!

Po podstawieniu za cosinusy kierunkowe wzorów (1) otrzymujemy:

Przykład: Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną
, gdzie S jest powierzchnią trójkąta o wierzchołkach: A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,2) zorientowanym ujemnie.

x+y+z-2=0 - równanie płaszczyzny

z=2-x-y

Jeżeli płaty powierzchniowe różnią się tylko orientacją, to:

Orientacja na zewnątrz jest dodatnia, a do wewnątrz ujemna!!!

§1. TWIERDZENIE GAUSSA - OSTROGRADSKIEGO

Załóżmy, że obszar przestrzenny Ω jest normalny względem trzech płaszczyzn układu i jest on ograniczony powierzchnią regularną S (jest ona zorientowana na zewnątrz tego obszaru).

Jeżeli funkcje P, Q i R są ciągłe wraz z pochodnymi
w obszarze przestrzennym Ω ograniczonym powierzchnią S zorientowaną na zewnątrz, to spełniona jest równość:

Dowód:

Wykorzystajmy założenia, że Ω jest obszarem normalnym względem OXY. W takim razie punkty obszaru Ω spełniają równość: Ω={(x,y,z): f₁(x,y)<z<f₂(x,y), (x,y)
D}.

Weźmy pod uwagę trzecią część w/w wzoru i zamieńmy ją na iterowaną:

Oznaczmy przez S₁: z=f₁(x,y), (x,y)
D - dolna część sfery zorientowana w dół

S₂: z=f₂(x,y), (x,y)
D - górna część sfery zorientowana w górę

S - powierzchnia zorientowana na zewnątrz

Dodając stronami te trzy równości otrzymujemy tezę twierdzenia, c.n.d.

Przykład: Obliczyć całkę powierzchniową
, gdzie S jest brzegiem

prostopadłościanu Ω={(x,y,z): 0<x<a, 0<y<b, 0<z<c} zorientowanym na zewnątrz.

Korzystamy z twierdzenia Gaussa - Ostrogradskiego:

INTERPRETACJA WEKTOROWA TWIERDZENIA GAUSSA - OSTROGRADSKIEGO:

Funkcje P, Q i R można rozważać jako składowe wektora
:

Wtedy o całce:

mówimy, że jest strumieniem pola wektorowego
przez powierzchnię S.

Dywergencja (rozbieżność) pola wektorowego
(P,Q,R) , którą oznaczamy symbolem div
, nazywamy funkcję (skalarną) określoną w każdym punkcie tego pola wzorem:

Jeśli więc pole wektorowe ma potencjał Φ(x,y,z) w obszarze przestrzennym Ω, tzn. że
=gradΦ, wówczas na podstawie wzorów:

1)

2)
- gradient funkcji skalarnej Φ

3)

mamy:

Po prawej stronie powyższego wzoru występuje tzw. laplasjan funkcji Φ(x,y,z), który oznacza się symbolem ΔΦ.

Rotacja (wir lub wirowość) wektora
(oznaczamy przez rot
) pola wektorowego nazywamy wektor określony przez składowe:

§2. TWIERDZENIE STOKESA

Niech K będzie krzywą skierowaną będącą brzegiem powierzchni zorientowanej S (przy czym to skierowanie jest zgodne z orientacją płata, tzn. biegnąc po krzywej K zgodnie ze skierowaniem płat pozostaje po lewej stornie obserwatora).

Jeżeli funkcje P, Q i R są klasy C¹ (ciągłe wraz z pochodnymi rzędu I) na powierzchni S i krzywej ograniczającej K, to spełniona jest równość:

INTERPRETACJA WEKTOROWA TWIERDZENIA STOKESA:

Całkę
, gdzie V_s - miara względna rzutu wektora
na oś o kierunku zgodnym z kierunkiem stycznej. Wartość tej całki nazywamy cyrkulacją pola wektorowego
wzdłuż krzywej K.

= [P,Q,R]

L₁

K

Y

X

L₂

y=ψ(x)

y=φ(x)

D

a

b

X

Y

c

d

a

b

K

C₂

C₁

x=α(y)

x=β(y)

D

K=C₁
C₂

K=L₁
L₂

po tym rozpoznajemy czy jest to Q czy P

y

a

x

2πa

X

Z

Y

z=f(x,y)

S

ΔS_k

A_k(x_k,y_k,z_k)

DS

ΔD_k

strona

dodatnia

strona

ujemna

S

X

Y

Z

A

B

C

S

X

Y

Z

D

K

S

X

Y

Z

P Q R P

x y z x

3

1

2