Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 1/32
Całki funkcji elementarnych jednej zmiennej
całkowanie przez części i przez podstawienie
Ten bryk będzie się nieco różnić od pozostałych. Tym razem skupimy się głównie na
przykładach, gdyż o ile liczenie pochodnych było dosyć schematyczne i polegało głównie na
zaglądaniu w tablice, to liczenie całek jest to głównie korzystanie z doświadczenia i obycia w
nich. Wiem, że to przykro zabrzmi, ale kilkanaście przykładów trzeba zrobić, gdyż praktycznie
każdy przykład wymaga osobnego potraktowania.
Ponieważ będą tutaj obecne głównie przykłady (a byście nie byli zdziwieni głównie
zadania z książki jak zwykle bezcennego tandemu Gewert&Skoczylas Analiza Matematyczna 1
Przykłady i Zadania ), raczej te łatwiejsze bo trudniejszych sam nie umiem, a na łatwiejszych być
może łatwiej jest załapać, pozwolę sobie zamieścić poniżej króciutki spis treści:
1. Przypomnienie o całkach - strona 1
2. Całkowanie przez części - strona 3
3. Całkowanie przez podstawienie - strona 12
W pierwotnej wersji tych rozdziałów było siedem, ale, przyznam się szczerze nie wiem,
jak wyrobię się z czasem, bo lubię być leniwy, mogę być pijany, skacowany albo kujonować, ile
wlezie, a nie na wszystkie egzaminy mogę zdążyć.
Dlatego, na razie podstawowe metody przy całkowaniu.
Przypomnijmy sobie najpierw, o czym tak naprawdę mówimy.
1. Przypomnienie o całkach
Przy poprzedniej ściądze (z pochodnych) użyliśmy po raz pierwszy słowa całka przy tzw.
funkcji pierwotnej, uznając, że jeżeli:
F ' (x) = f (x)
to wtedy ta funkcja F (x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x).
1
Na przykład, funkcją pierwotną był logarytm naturalny:
x
F (x) = ln x + C
gdzie C jest dowolną stałą (bo, jak wiadomo, pochodna z samej liczby równa się gów...
zero).
Takie znajdowanie funkcji pierwotnej to całkowanie, zaś funkcję pierwotną można
nazwać całką nieoznaczoną:
f śą xźą dx=F śą x źąąC
+"
Znaczek dx, nie wdając się w szczegóły, pokazuje nam, która zmienna rozpieprza cały
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 2/32
przykład i przyprawia nas o ból głowy. Nie powinno się zapominać o pisaniu dx, tak samo jak nie
powinno się zapominać o lim przed granicami. O ile przy granicach da się przeżyć, ewentualnie
na końcu piszemy dąży do , to nie powinniśmy zapominać o tym dx jak się pózniej okaże, ten
wskaznik jest bardzo ważny... ale nie niezastąpiony.
Wiele całek możemy obliczyć przez zgadywanie, albo zerżnięcie z tablic.
Na przykład, obliczmy taką całkę:
+"śą x3ą5 x2źądx
Wiemy, korzystając z liniowości całki, że jak mamy plus albo minus i nigdzie poza
nawiasem nie przeszkadzają nam pierwiastki, to możemy rozpieprzyć całkę na dwie:
x3 dxą *)
+"śą x3ą5 x2źądx =+" +"5 x2 dx
Na spokojnie obliczymy sobie osobno te całki, dla przejrzystości tą stałą C dowalimy, jak
policzymy wszystko.
Z tablic wiemy, że:
xną1
xn dx=
+"
ną1
Więc nasz pierwszy wężyk zamieni się w:
x3ą1 x4
x3 dx= =
+"
3ą1 4
Pomajstrujmy z drugim. Wiemy, że stałe czynniki można wypieprzyć przed całki
(analogicznie, jak przy liczeniu pochodnych):
2
+"5 x2 dx=5+"x dx
Zabawa z policzeniem tego, co jest po prawej stronie wężyka, wygląda tak, jak poprzednio:
x3
5 x2 dx=5"
+"
3
Podstawiając wszystko do naszego wzorku *):
x4ą 5 x3 ąC
x3 dxą 5 x2 dx=
+" +"
4 3
I wsio, przykład policzony.
Problem w tym, że rzadko kiedy zdarzają się przykłady właśnie typu wez i rżnij w
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 3/32
ulubiony przez siebie sposób .
O, na przykład każą nam policzyć taką całkę:
+"arcsin x dx
Pewno niejeden (niejedna) z was spojrzy na tablice, tak, elegancka pochodna z tego jest,
ale gdzie, do ciężkiej cholery, jest całka z tego? .
Do liczenia tego typu całek (gdy np. pochodna tej funkcji w środku jest przyjemna w
całkowaniu albo przy dwóch, zupełnie różnych funkcjach) korzystamy z metody całkowania przez
części.
2. Całkowanie przez części
Być może wytrwali Czytelnicy (każdy taki jest chyba nienormalny) pamiętają, jak
wspominałem pod koniec bryku o pochodnych, by poeksperymentować z wzorem na iloczyn
pochodnych.
Przypomnę jeżeli mamy se do policzenia pochodną z mnożenia dwóch jakiśtam cosiów, to
stosujemy taką fantazyjną, rodem z Kamasutry, roszadę:
[ f śą xźą"g śą xźą]'= f ' śą xźą"g śą xźąą f śą xźą"g ' śą xźą
Jeżeli ja ją teraz obustronnie scałkuję (a co, moja kartka, mogę bazgrać, co tylko zechcę),
jednocześnie dodając to dx, by ludzie wiedzieli, która zmienna jest skazana, to wyjdzie nam taki
potworek:
+"[ f śą xźą"g śą x źą]' dx=+"[ f ' śą xźą"gśą xźąą f śą x źą"g ' śą xźą]dx
Korzystając z faktu, że jeżeli pod całką mamy sumę to mogę ją rozbić oraz z tego, że
całka wypierdala pochodną, to dojdziemy do takiego wzorku:
f śą x źą"g śą xźą= f ' śą x źą"g śą xźą dxą f śą xźą"g' śą xźą dx
+" +"
Przenosząc pierwsze zwierzątko z prawej strony na lewą, dochodzimy do ostatecznego
wzoru na liczenie przez części:
f śą xźą"g ' śą xźą= f śą xźą"g śąx źą- f ' śą xźą"g śąx źądx
+" +"
No dobra, ale co to nam w ogóle da? Pojawia się dodatkowa całka po prawej stronie? Dwie
pochodne?
Panie, daj pan spokój, gdzie wódka?
Okazuje się jednak, że w tym szaleństwie jest metoda, którą pokażę na początku na prostym
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 4/32
przykładzie:
Przykład a) [jak np. Aleksandria]
+"ln x dx
Patrzymy w podstawowe wzory... i tutaj lipa, bo brakuje logarytmu naturalnego.
Spokojnie, najpierw ot tak, dla picu dopiszę sobie jedynkę w tym przykładzie:
+"ln x"1 dx
Nic w tym nie ma zdrożnego, wartość się na pewno nie zmieniła. Ale ta funkcja powyżej
jest funkcją wyjściową , od której zaczniemy zabawę, czyli tym naszym początkiem wzoru na
całkowanie przez części:
f śą xźą"g ' śą xźą= x"1 dx
+" +"ln
I teraz zbudujemy sobie taką prostą tabelkę 2 x 2, w którą wpiszę sobie to, co na razie
wykombinowaliśmy (korzystając ze strzałek):
f śąxźą=ln x g ' śą x źą=1
... ...
Teraz w miejsce kropek wpisujemy:
f śąxźą=ln x g ' śą x źą=1
f ' śąxźą g śą xźą
& no, na co czekamy, wypełnijmy ją do końca:
f śąxźą=ln x g ' śą x źą=1
1 g śą xźą= x
*
f ' śą xźą=
x
Zauważcie, że w miejscu oznaczonym gwiazdką my g`(x) niejako całkujemy, ale przecież
obliczenie całki z jedynki nie jest takie trudne (oczywiście, olewamy również tą stałą całkowania
C).
I teraz robimy takiego numera: mnożymy to, co leży na przekątnej (z lewej do prawej) tej
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 5/32
tabelki:
f śąxźą=ln x g ' śą x źą=1
1 g śą xźą= x
f ' śą xźą=
x
ln x"x
I odejmujemy całkę z iloczynu tego, co leży w drugim wierszu:
f śąxźą=ln x g ' śą x źą=1
1 g śą xźą= x
f ' śą xźą=
x
1
ln x"x- "x dx
+"
x
Teraz, gdy spojrzymy sobie na ten nasz wymyślony wzór na całkowanie przez części:
f śą xźą"g ' śą xźą= f śą xźą"g śąx źą- f ' śą xźą"g śąx źądx
+" +"
Kurde, zgadza się, wyszedł nam tworek, którego da się wyliczyć, a więc:
1
"x dx
+"ln x dx =ln x"x-+"
x
Dla porządku policzmy tę całkę po prawej stronie:
1
"x dx
+"
x
( dx można traktować podobnie jak i w liczbach zespolonych nic to to w sumie nie robi, ale
możemy ją w przekształceniach traktować jako zwykłą zmienną czyli w powyższym przypadku np.
wyrzucić do mianownika)
Jak od razu zauważyliśmy, iksy się zniosą pozostaje nam do policzenia prosta całka ,
+"dx
która to oczywiście, zgodnie ze wzorami, jest równa x.
Więc równa się:
+"ln x dx
+"ln x dx=ln x"x-xąC
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 6/32
Właśnie na tym polega całkowanie przez części. Z tego, co jest pod całką, wybieramy se
funkcję, z której dosyć łatwo wyliczyć (albo zgadnąć przy pomocy tablic) całkę, jednocześnie
dbając o to, by ta druga część miała znośną pochodną.
Wiem, że to może się wydawać z pozoru dosyć abstrakcyjne, ale myślę, że po kilku
przykładach docenicie zalety całkowania przez części.
Boże... zalety czegokolwiek w matematyce... docenicie... rasowy ze mnie kujon, gdzie moje
okulary, koszula flanelowa i książka?
Przykład b) [jak np. Blachownia]
x
dx
+"
cos2 x
Moglibyśmy od razu zacząć tak:
1 g ' śą x źą=x
f śą xźą=
cos2 x
... ...
Ale wydaje mi się, że policzenie pochodnej f (x) byłoby nie lada wyzwaniem, a i wówczas
to, co wyjdzie, ciężko byłoby scałkować.
Dlatego ja pokombinuję w innej kolejności i dodatkowo uzupełnię brakujące pola:
f śą x źą=x 1
g ' śą xźą=
cos2 x
(Wzorek z tablic:)
f ' śą xźą=1
g śą xźą=tg x
Zanim przypierdolimy mała dygresja, nie związana z aktualnym tematem.
Znamy wzór na pochodną logarytmu naturalnego, wypiszmy go:
1
śąln xźą'=
x
Jednakże, znany jest inny wzór, notabene bardzo ściśle związany z fizyką doświadczalną,
mianowicie na pochodną logarytmiczną:
f ' śąxźą
[ln f śą xźą]'=
f śą xźą
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 7/32
Bierze się on z niczego innego, jak tylko reguł na różniczkowanie (znajdowanie
pochodnych) funkcji złożonych. Przy logarytmie naturalnym to, co było w środku, leci na dół, a
pochodna środka - spierdala do góry.
Pochodna logarytmiczna jest ściśle związana również z całkami, ponieważ prawdziwy jest
wzór (udowodnimy go w następnym rozdziale):
f ' śą xźą
dx=ln | f śą xźą |ąC
+"
f śą x źą
Argument logarytmu jest pod modułem (bo tak musi być, a nie będę wymyślać, dlaczego),
ale często będę go skracać po prostu do nawiasu, za co z góry przepraszam, a Wy macie pamiętać,
że na kolokwiach czy egzaminach wartość bezwzględna!
f ' śą xźą
dx=ln śą f śąxźąźąąC
+"
f śą xźą
Mówiąc prosto jeżeli w całce licznik jest pochodną mianownika, to całka będzie równa
temu logarytmowi z tego mianownika.
Wyposażeni w tą dodatkową wiedzę, atakujmy:
f śą x źą=x 1
g ' śą xźą=
cos2 x
f ' śą xźą=1
g śą xźą=tg x
x
dx= x"tg x- x dx
+" +"tg *)
cos2 x
Znów na spokojnie policzmy całkę z tg x .
+"tg x dx
Pamiętacie, jak pisałem, że gdy mamy całkę z pojedynczej, ładnej funkcji, to możemy ją
brać w auc... przez części?
Zapomnijcie o tym w tym momencie, bo zapiszemy tangensa tak, jak nas uczyli:
sin x
dx
+"tg x dx=+"
cos x
I przypomnijcie, co pisałem o pochodnej logarytmicznej. Hmm... ta nasza góra jest prawie
pochodną dołu (pochodna z cos x jest równa ( sin x) ).
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 8/32
Ale co powiedzielibyście na taki numer:
sin x
dx=
+" +"-1"-1"sin x dx
cos x cos x
Z czego jednego minusa wypieprzymy przed całkę (pamiętacie? Stały czynnik można
wypieprzyć przed całkę):
sin x
dx=-1
+" +"-1"sin x dx=-+"-sinxx dx
cos x cos x cos
A ponieważ już teraz góra jest pochodną dołu , to (pomijając C, które dodamy na
końcu):
-
+"-sinxx dx=-ln|cos x|
cos
I wracając do gwiazdeczki:
x
dx= x"tg x- x dx= x"tg x-śą-ln |cos x |źąąC =x"tg xąln |cos x|ąC
+" +"tg
cos2 x
I wsio, kolejny przykład położony na łopatki.
Przykład c) [jak np. Częstochowa]
2
+"x sin x dx
Tutaj znów sobie podziubiemy w środku całki, przyjmując, że to nasze f(x) to x2 (zauważcie,
że f(x) będziemy rozpieprzać na pochodną, przez co nieco się ten iks zredukuje), a g'(x) to sin x:
g ' śąxźą=sin x
f śąxźą=x2
f ' śąxźą=2 x
g śą xźą=-cos x
Więc, zgodnie z tym, co czyniliśmy wcześniej mnożymy to, co jest na krzyż. Dodatkowo,
odejmujemy całkę z pomnożenia dolnych wierszy:
2
+"x sin x dx=-x2"cos x-+"2x śą-cos xźą dx
Minus z cosinusa niech wypierdala przed całkę... zresztą, dwójka też:
-x2"cos x- śą-cos xźądx=-x2"cos xą2" x cos x dx
*)
+"2x +"
Problemem jest teraz policzenie tej drugiej całki, którą jednak rozpieprzymy niemal
identycznie jak poprzednio:
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 9/32
f śą x źą=x g ' śą xźą=cos x
f ' śą xźą=1
g śą xźą=sin x
I to, co nam wyjdzie:
+"x cos xdx=x"sin x-+"sin x dx
Całkę z sinusa możemy zerżnąć z tablic, więc (jak zwykle, C dodamy sobie na samym
końcu):
+"x cos x dx=x"sin xącos x
Wróćmy do naszego głównego przykładu, oznaczonego gwiazdką i podstawmy to, co se
wyliczyliśmy:
-x2"cos xą2" cos xdx=-x2"cos xą2"śą x"sin xącos xźą
+"x
Co też, po uporządkowaniu:
-x2"cos xą2"śą x"sin xącos xźą=-x2"cos xą2 xsin xą2 cos x
Więc odpowiedz:
2
+"x sin x dx=-x2"cos xą2 x sin xą2 cos xąC
Jak widzicie, użyliśmy tutaj metody całkowania przez części dwukrotnie. W przykładzie
trochę nas uwierał ten x2 (bo całkę z samego sinusa czy cosinusa zerżniemy bez problemu z
tablic). W takim przypadku spróbowaliśmy się pozbyć tego iks kwadrat jak widać, z całkiem
niezłym skutkiem.
Przykład d) [jak np. Dębowiec]
2x
+"e sin x dx
Tutaj po raz pierwszy spotykamy się w całkach z liczbą e. Całka z niej jest całkiem
przyjemna, bo całkowanie na funkcję e x kompletnie nie działa. Tutaj jednak napotykamy na dwa
problemy. Pierwszy to pałętający się sinus, a drugi ta dwójka w potędze e. Uprzedzę już na
początku stałą całkowania C walniemy jak zwykle już na samym końcu.
Proponuję, byście poniższy przykład przerabiali powoli, notując sobie spokojnie na boku,
co tu się dzieje, albo sami podziałali, sprawdzając ewentualnie, czy się gdzieś nie pomyliłem.
Ostateczne rozwiązanie będzie nieco zaskakujące, nie mniej jednak, policzmy to, całkując
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 10/32
przez części. Przypomnę jeden kawałek będziemy przerabiać na pochodną, a drugi właściwie, to
całkować. Ponieważ nie potrafimy jeszcze liczyć całek z e do takiej skomplikowanej potęgi, to
popiszemy se tą tabelkę tak:
g ' śąxźą=sin x
f śą x źą=e2x
f ' śąxźą=e2x"śą2xźą '=2e2x
g śą xźą=-cos x
Znowu majstrujemy, mnożąc to, co jest na krzyż, i całkując dolne wiersze:
2x
+"e sin x dx=-e2x"cos x-+"2 e2x"śą-cos xźą dx
Wywalając stałe, które znajdują się w tej drugiej całce:
2x
-e2x"cos x- e2x"śą-cos xźą dx=-e2x"cos xą2" "cos x dx *)
+"2 +"e
Ponownie zajmiemy się osobno tą drugą całką:
g ' śą xźą=cos x
f śą x źą=e2x
f ' śąxźą=e2x"śą2xźą '=2e2x
g śą xźą=sin x
Raz jeszcze się pokrzyżuje:
2x 2x
+"e "cos x dx=e2x"sin x-+"2"e "sin x dx
Wywalmy dwójkę przed całkę:
2x 2x
+"e "cos x dx=e2x"sin x-2"+"e "sin x dx
Hmm... zaryzykuję pewne szaleństwo, a więc nie będziemy liczyć już tego wężyka (wprawne oko
już coś powinno zauważyć), który nam tu został, tylko wstawmy to do głównego (*) przykładu:
2x 2x
e2x"cos xą2" "cos x dx=-e2x"cos xą2"śąe2x"sin x-2" "sin x dxźą
+"e +"e
Wygląda to nieco skomplikowanie, ale po uporządkowaniu powinno się to trochę rozjaśnić:
2x 2x
=-e2x"cos xą2"e2x"sin x-4" "sin x dx=e2xśą2sin x-cos x źą-4" "sin x dx
+"e +"e
Czyli, wiedząc, co liczymy:
2x 2x
+"e sin x dx=e2xśą2 sin x-cos x źą-4"+"e "sin x dx
2x
Hmm... jeżeli tego jeszcze nie widać zastąpmy jakąś ładną literką, np. I :
+"e sin x dx
2x
I =e2xśą2sin x-cos xźą-4" "sin x dx
+"e
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 11/32
2x
Ale chwila, moment, przecież po prawej stronie też właściwie wyszło nam !
+"e sin x dx
Co z tym fantem zrobić? Też zastąpimy literką I:
I =e2xśą2sin x-cos xźą-4"I
Ponieważ my właściwie I mamy znalezć, to potraktujmy ją jako jakąś śmierdzącą
niewiadomą, przenosząc wszystkie niewiadome na lewą stronę:
5"I=e2xśą2 sin x-cos xźą
I pozostaje nam tylko podzielić przez pięć:
e2xśą2 sin x-cos xźą
I =
5
2x
A I to przecież , więc odpodstawmy to, co trzeba:
+"e sin x dx
e2xśą 2sin x-cos xźą
e2x sin x dx= ąC
+"
5
Być może to nieco topornie zapisałem, za co z góry przepraszam właśnie dlatego
poprosiłem, by powoli przerobić ten przykład. Jak widzimy, całkujemy dwukrotnie przez części, ale
potem zauważamy, że po prawej stronie wychodzi nam to, co mamy policzyć. Możemy
potraktować to jako niewiadomą , a potem prostymi operacjami wyliczamy tą niewiadomą .
Jeżeli to nadal mgliście wygląda a nie wątpię, że widać tu niezły burdel samodzielnie,
całkując przez części, zróbcie ten przykład, dojdziecie do tego samego momentu i
poeksperymentujcie.
Ale, oczywiście, zadziała to właściwie tylko, gdy pod całką mamy e i jakąś jeszcze prostą
funkcję, bo w przeciwnym wypadku zapewne do niczego nie dojdziemy. Takie obliczanie ma nawet
swoją nazwę. Matematycy powiedzą o rekursywnym podejściu czy całce bo w wyniku obliczeń
otrzymujemy to, co mamy obliczyć, prawie wracamy do punktu wyjścia (ale w końcu szczęśliwie
dochodzimy do końca). Informatycy zapewne dostaną gęsiej skórki o rekurencyjnym wnioskowaniu
jak zapewne wiedzą, rekurencja to, w skrócie mówiąc, wywołanie funkcji przez samą siebie.
Rekursja czy rekurencja (obydwa słowa oznaczają właściwie to samo, z czego pierwszego
chętnie używają matematycy, bo oni to z angielskiego wprost wszystko zżynają, a drugiego
informatycy, bo po łacinie recurrere wygląda dziwaczniej, a komputerowcy normalni nie są) jest
bardzo użyteczna w logice (przy definiowaniu funkcji zliczającej np. zmienne w jakimś tam zdaniu
albo przy zbiorach), a jak i w logice to i w informatyce, gdzie niektóre algorytmy czy struktury
danych elegancko rozwiązuje się rekurencyjnie choćby tzw. drzewa binarne.
Dobra, podniosłem swoje ego, używając terminów, których nie znam albo po raz pierwszy
widzę na oczy, wróćmy jednak do całek. Jeżeli gdzieś pod całką znajdzie się e i funkcja
trygonometryczna to prawie na pewno trzeba będzie ją rozwiązać tak, jak pokazałem.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 12/32
3. Całkowanie przez podstawienie
Przed czynieniem tutaj takich rzeczy, że ludzkie pojęcie przechodzi, a duchowni wyciągną
krzyż w naszą stronę, małe przypomnienie.
Jak liczymy pochodną no cóż, musicie wiedzieć, albo chociaż wiedzieć, jak się to
zapisuje:
f ' śąxźą= jakaś tam pochodna
Jak być może pamiętacie, wprowadziliśmy również taki zapis:
df
= jakaś tam pochodna
*
dx
I teraz po cichutku, żeby żaden matematyk nie zobaczył pomnożymy sobie obie strony
przez dx:
df =[ jakaś tam pochodna]dx
a prawą stronę nazwaliśmy sobie różniczką funkcji f.
A teraz zrobimy taki eksperyment. Chciałbym głównie, byście zapamiętali z niej nie to, co
pieprzę ale samą metodę.
Załóżmy, że mamy se taką funkcję:
f śąxźą=x2
Zapiszemy ją sobie za pomocą zmiennej (zmiennej zależnej) y (albo dla maniaków si plas
plusa zrobimy sobie taki ułomnie zapisany wskaznik ):
**
y=x2
To wtedy, korzystając z zapisu oznaczonego *):
dy
=2x
dx
I znów po cichutku mnożąc przez dx:
dy=2x"dx
Możemy zaryzykować stwierdzenie, że wyrażenie **) obustronnie zróżniczkowaliśmy.
Policzyliśmy sobie osobno pochodną po lewej stronie (tam, gdzie się pałęta zmienna y), osobno
pochodną po prawej stronie (gdzie się panoszy, niczym autor bryku, zmienna x ), a żeby wszystko
było cacy zapis uzupełniliśmy o dopisanie po obydwu stronach literką d z odpowiednią zmienną.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 13/32
Kilka przykładów do pokazania, co mam na myśli:
2 y=5 x6
obustronnie różniczkując (licząc pochodne):
śą2 yźą' dy=śą5 x6źą' dx
2 dy=30 x5 dx
Albo taki przykład:
t2=sin x
więc znów obustronnie różniczkując:
2t dt=cos x dx
To, co zaznaczyłem tymi elipsami to po prostu pochodne tego, co tam na górze siedzi, dla
niepoznaki dopisaliśmy te dt i dx (bo tak mi się podoba).
Pytanie brzmi po cholerę to wszystko? Kurwa, pacan jedzie z jebanymi całkami, za
szybko, a tu jeszcze pierdoli mi o jakimś obustronnym różniczkowaniu?
Po odstresowaniu się powyższymi epitetami, popatrzmy na kilka prostszych przykładów,
potem jeden z dłuższym tłumaczeniem, a potem zobaczymy, jak ładnie idzie mi przepisywanie z
tajnych zeszytów.
*
+"sin 2x dx
Byłoby strasznie miło, gdyby pod sinusem siedziała pojedyncza zmienna, bez żadnych
udziwnień... A tak w ramach eksperymentów podstawimy sobie za 2x jakąś pojedynczą literkę:
t=2 x
Co prawie da nam takie coś:
+"sin t dx
Jest jednak pewien problem. Jak napisałem (i jak sam to intuicyjnie rozumiem, chociaż tak
naprawdę jest to zupełnie co innego) to dx to taki wskaznik , wichajster, który pokazuje nam
która zmienna jest tą do rżnięcia . Zauważmy, że gdy użyjemy takiego podstawienia, to mamy
zupełnie inną zmienną w sinusie, a zupełnie inną mamy (ponieważ mamy dx ) całkować.
Jest na to rozwiązanie, mianowicie, przy podstawianiu wykonujemy również drugą
czynność: obustronnie różniczkujemy.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 14/32
Jeżeli wykombinowaliśmy se takie podstawienie:
t=2 x
to obustronnie różniczkując:
śątźą' dt=śą2 xźą' dx
czyli:
dt=2 dx *
I tu właściwie koniec zabawy mamy czym zastąpić to nieszczęsne dx, co więcej, automagicznie
powstanie nam dt, czyli teraz ten wskaznik , pokazujący nam, którą zmienną całkujemy, pokaże
na dobrą zmienną tą, która będzie występować przy całce.
+"sin t dx
By w pełni zastąpić dx tym magicznym dt, to brakuje nam dwójki. Dopiszmy se ale wiemy, że nie
możemy zmienić wartości wyrażenia, więc będzie takie cudo:
1
2 sin t dx
+"
2
Jedna-druga - wypierdalać:
1 1
2 sin t dx=
+" +"2sin t dx
2 2
I zauważmy, że:
1
2sin t dx
+"
2
To, co zaznaczyłem takim mostkiem , znamy zaznaczyłem to gwiazdką kilka linijek wyżej:
dt=2 dx
Więc bez zbędnego pieprzenia podstawmy to:
1
+"2sin t dx= 1+"sin t dt
2 2
Tutaj już wyliczenie całki z sinusa będzie łatwe doskonale wiemy, że będzie to minus cosinus:
1
+"sin t dt= 1 śą-costźąąC
2 2
W ostatnim kroku jak dostaliśmy przykład z iksami, to ładnie byłoby podać odpowiedz z iksami,
innymi słowy mówiąc: ponownie odpodstawić t :
1 1
śą-costźąąC = śą-cosśą 2xźąźąąC
2 2
Względy estetyczne ten minus to już wasza działka.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 15/32
**
1
x
e2 dx
+"
Znów wygodnie by było, gdyby w wykładniku siedziała jakaś pojedyncza literka. Więc
użyjemy takiego podstawienia:
1
t= x
2
Obustronnie różniczkując, wyjdzie takie zwierzątko:
1
dt= dx
2
Widzimy, że aby pozbyć się dx, to potrzebna jest nam w całce. Dopiszemy ją sobie, ale niczym
emo popełnimy samobójstwo tak, żeby broń Boże nie wyszło:
1 1
x x
e2 dx= 2"1 e2 dx
+" +"
2
Dwójka pójdzie przed całkę i od razu podstawimy (w miejsce x pójdzie literka t, a w miejsce
dx pójdzie dt, zgodnie z tym, co wypisaliśmy sobie w podstawianiu):
1
x
2"1 e2 dx=2 et dt
+" +"
2
A wyliczenie całki nie powinno być już problemem:
t
2 dt=2 etąC
+"e
I odpodstawiając , dochodzimy do końcowego wyniku:
1
x
2 etąC=e2 ąC
***
Pamiętacie wzór na pochodną logarytmiczną z poprzedniego rozdziału? Przypomnę dwa
wzorki:
f ' śą xźą f ' śą xźą
[ln f śą xźą]'= dx=ln | f śą xźą|ąC
;
+"
f śą xźą f śą xźą
Sprawdzimy eksperymentalnie, czy mamy rację, licząc taką całkę:
3 x2ą5
dx
+"
x3ą5 x
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 16/32
Dla przejrzystości zapisu dx walniemy w licznik tak, jakby to była jakaś normalna zmienna:
x2ą5źądx
+"śą3 x3ą5 x
Użyjemy takie podstawienia:
t=x3ą5 x
Przez co, obustronnie różniczkując:
dt=śą3 x2ą5źądx
Jak widzimy, przy pomocy samej literki t pozbędziemy się szkaradnego mianownika, a po
obustronnym zróżniczkowaniu również licznik pójdzie w cholerę:
x2ą5źądx
= dt
+"śą3 x3ą5 x +"1
t
I teraz wyliczenie całki (po prostu, zerżnięcie wzorku z tablic):
1
dt=ln |t |ąC
+"
t
Odpodstawiając (ponownie przywracając x w rozwiązaniu):
ln | t |ąC=ln | x3ą5 x |ąC
Wsio, kolejny przykład rozwiązany, a jednocześnie, doświadczalnie pokazaliśmy sobie, że wzory
na pochodną logarytmiczną działają.
Poniżej zaczynają się już przykłady, przy których jeszcze szybciej zaczniemy liczyć.
Poniższy przykład będzie wyjaśniony dosyć dokładnie, bo miał być pierwszym w tym
rozdziale. Po wnikliwych crash-testach na sobie uznałem jednak, że jest za ciężki, by go od razu
podawać. Mam nadzieję, że wybaczycie dodatkowe komentarze w tym zadaniu, ale wolę 10 razy
napisać to samo, niż napisać raz, a potem liczyć, że poszukamy tego w gugle.
Przykład a) [jak np. Aleksandrów]
3x2 1ąx3 dx
ćą
+"
Ao Jezu przenajświętszy, co tutaj się porobiło? Jakiś pierwiastek, i do tego jeszcze wszędzie
iksy się porozpieprzały.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 17/32
Zauważmy, że całkowanie przez części byłoby dosyć niewygodne nie potrafimy policzyć
tak na czysto całki z pierwiastka, a pochodna byłaby bardzo nieprzyjemna.
Ale zauważmy, że byłoby miło, gdyby pod pierwiastkiem występował czysty iks. Wtedy
dosyć łatwo obliczymy całkę, dla przypomnienia:
3 3
1
2
x2 2 x
x dx= x2 dx= = ąC
ćą
+" +"
3 3
2
Hmmm... a gdyby to, co jest pod pierwiastkiem, zastąpić jakąś pojedynczą literką? Chuj nas
na razie obchodzi, czy dobrze, czy zle, ale przykład trzeba sobie ułatwić, może coś drgnie.
Zastosujemy takie podstawienie:
u=1ą x3
Po prostu ułatwimy sobie życie pod pierwiastkem. Wstawmy to, co wykombinowaliśmy powyżej.
3 x2 1ąx3 dx =udawane 3 x2 udx
ćą ćą
+" +"
takie trochę
Hmm... mamy jednak pewien mały problem, który podkreśliłem. Możecie uznać, że to, co
zrobiłem, jest trochę bez sensu... ba, wszystko tutaj jest bez sensu. Przede wszystkim siedzi nam
w całce x2 . To jednak i tak mniejsze zło, bo mieszając z tym wzorkiem u góry, dałoby się je
zastąpić. Największym utrapieniem jest to dx .
Zauważmy, że tutaj:
ćą
+"3 x2 u dx
Mamy zupełnie inną literkę pod pierwiastkiem, a zupełnie inna literka jest w dx . Obrazowo
załóżmy, że literka u to pomarańcza, a dx piekarnik elektryczny no ni chuja nie da się
wycisnąć soku, albo już bardziej matematycznie mając dwie zupełnie różne zmienne pod całką.
Właściwie, to można, ale na pewno nie w tym czasie, nie w tym miejscu i nie w takiej
pojedynczej całce.
Okej, jakoś musimy ten galimatias uporządkować. Szukamy czegoś, co pozwoliłoby się
pozbyć tego dx.
Przepiszmy raz jeszcze podstawienie, którego użyliśmy:
u=1ą x3
i zróżniczkujmy obydwie strony (praktycznie, kluczowy moment w całkowaniu przed podstawienie,
bo od razu wiemy, czy wyjdzie nam coś interesującego):
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 18/32
śąuźą ' du=śą1ą x3źą' dx
Czyli:
du=3 x2 dx
Wracając do całki...
ćą
+"3 x2 u dx
Strzałkami narysowałem, co powinno się wydarzyć nie dość, że za jednym razem pozbywamy się
tego pieprzonego iksa, to jeszcze dx nam zwieje:
u du
ćą ćą
+"3 x2 u dx=+"
I mamy sukces, proszę państwa. Nareszcie mamy pasującą literkę w du (załóżmy, że tutaj
już się pojawiła prawdziwa wyciskarka do soków), a scałkowanie tego zawodnika, to tylko proste
rachunki (spójrzcie na początek poprzedniej strony):
3
1
u2
2
u du= du= ąC
ćą
+" +"u 23
Ale to nie wszystko, bo jak nam przykład dali z iksami, to i dobrze byłoby odpowiedzieć w
iksach (wiedząc, że u=1ą x3 ):
3 3
2śą1ąx3źą2
2u2 ąC=
ąC
3 3
I wsio, przykład rozwalony.
Tylko techniczna uwaga. Powinno się podstawiać jakąś zmienną równocześnie ze zmianą
różniczki (czyli jednocześnie podstawiamy coś za x i jednocześnie zmieniamy dx).
Przykład b) [jak np. Biskupice]
Rozwalimy sobie takiego zawodnika:
+"śą5-3 xźą10 dx
Zdecydowanie lepiej by to wyglądało, gdyby pod potęgą była jakaś pojedyncza zmienna. Zrobimy
więc tak:
t=5-3 x *
Ale musimy się pozbyć dx i niejako pokazywać , że bierzemy pod uwagę zmienną t
(potrzebujemy dt), więc obustronnie zróżniczkujmy:
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 19/32
dt=-3 dx **
By w jakikolwiek działać, potrzebujemy jak zwykle coś sobie w całce dopisać:
+"-1"śą-3źą"śą5-3 xźą10 dx
3
To co zaznaczyłem taką nerką , zamieniamy na dt (zgodnie z tym, co przed sekundą
wyliczyliśmy podwójna gwiazdka), to co jest w nawiasie zamieniamy na t (zgodnie z
podstawieniem, którego użyliśmy gwiazdka):
10
+"-1"t dt
3
Pozwólcie, że tę całkę wyliczę od razu w jednym rządku:
11 11
"t10 dt=-1 t10 dt=-1"t =-t
+"-1 +"
3 3 3 11 33
Ponownie przywracając iksa i dodając stałą całkowania C, wynik wygląda następująco:
11
śą5-3 xźą10 dx=-śą5-3xźą ąC
+"
33
Przykład c) [jak np. Choroń]
Od razu powalczymy z ambicjami i tablicami:
dx
+"
1-4 x2
ćą
Hmm... jak tak popatrzeć w tablice, to jesteśmy całkiem niedaleko takiego wzorku:
dx
=arcsin x
+"
1-x2
ćą
Więc, jak widzimy, wypadałoby się pozbyć tej 4 w mianowniku... co więcej, nawet chyba
się to uda!
Dla przypomnienia, pewna życiowa prawda (pomijając w tym momencie moduł):
a x2=śą a xźą2
ćą
Dziwny wzorek? Ale okazuje się, że to wcale nie gówno prawda:
śą a xźą2= a2"x2=a x2
ćą ćą
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 20/32
Więc wróćmy do przykładu i wrzućmy w potęgę tą czwórkę:
dx dx
=
+" +"
1-4 x2 1-śą2xźą2
ćą ćą
Hmm... ładnie wyglądałaby zwykła, pojedyncza literka (wtedy od razu wyskoczy nam ładna
całka na arcus sinus, co przed chwilą podawałem), więc użyjemy takiego podstawienia:
t=2 x *
Różniczkując:
dt=2 dx **
Majstrując przy całce, by od razu wszystko ładnie podstawić:
1
"2 dx
dx 2
=
+" +"
1-śą2xźą2 1-śą2xźą2
ćą ćą
I pół (litra) wypieprzmy przed całkę:
1
"2 dx
2 1 2 dx
=
+" +"
1-śą2xźą2 2 1-śą2x źą2
ćą ćą
I podstawmy to (oznaczone, tradycyjnie, gwiazdkami), co sobie wyliczyliśmy:
1 2 dx 1 dt
=
+" +"
2
1-śą2xźą2 2 1-t2
ćą ćą
Zrzynając z tablic:
1 dt 1
= arcsin t
+"
2
1-t2 2
ćą
I na koniec odpodstawiając , mamy konkretny wynik:
dx 1
= arcsin 2 xąC
+"
1-4 x2 2
ćą
Przykład d) [jak np. Dąbrowa Zielona]
Teraz zrobimy przykład, stosując takie rzeczy, które pewno matematykom... średnio się
spodobają.
dx
+"
2ą x
ćą
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 21/32
Hmm... pozbędziemy się pierwiastka (może wtedy coś z logarytmem wyjdzie) w taki
sposób:
*
t= x
ćą
Obustronnie różniczkując (i tu zaczną się cuda):
1
dt= dx
2 x
ćą
Obustronnie mnożąc przez 2 x :
ćą
2 x dt=dx
ćą
Ale wiemy też, że t= x , więc nasze dx będziemy mogli zastąpić takim dziwolągiem:
ćą
2 t dt=dx **
Więc nasza całka:
dx
+"
2ą x
ćą
po dokonaniu powyższych podstawień (zaznaczone gwiazdkami) zamieni się w coś takiego:
2 t dt
+"
2ąt
Jest to przykład prostej całki z funkcji wymiernej (tj. takiej, w której jeden wielomian
dzielimy przez drugi). Rozwiążemy ją w sposób następujący: najpierw podzielimy licznik przez
mianownik (technika dzielenia wielomianów jest wyjaśniona w dowolnym podręczniku matematyki
ze szkoły średniej):
2 t -4
=2ą
2ąt tą2
Wracając do całki, wykorzystamy to, że sumę możemy rozbić na dwie osobne zagadki:
2t dt -4 -4
= dt
+" +"[2ą tą2 ] dt=+"2 dtą+"
2ąt tą2
Pierwszą całkę od razu wyliczymy, na końcu wracając do iksa:
ćą
+"2 dt=2 t=2 x
Przy drugiej zauważamy, że u góry niewiele brakuje, by znalazła się pochodna dołu:
(t + 2)' = 1
a mamy ( 4)
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 22/32
Ale i mamy ułatwienie, gdyż wystarczy, że ( 4) wyrzucimy przed wężyka, a problem się sam
zredukuje:
-4 dt
dt=-4
+" +"
tą2 tą2
A niedawno eksperymentalnie pokazaliśmy sobie, że jeżeli licznik jest pochodną mianownika, to z
całki wylezie nam logarytm naturalny:
dt
-4 =-4ln |tą2 |
+"
tą2
Wracając do iksa:
-4 ln |tą2 |=-4 ln | xą2 |
ćą
Wyliczyliśmy sobie te dwie całki, więc nic prostszego, jak tylko wstawić:
-4
dt=2 x-4 ln | xą2 |ąC
ćą ćą
+"2 dtą+"
tą2
I koniec zadania, wynik:
dx
=2 x-4 ln | xą2|ąC
ćą ćą
+"
2ą x
ćą
Muszę od razu was przeprosić pokazałem przykład całkowania funkcji wymiernej, czyli
właśnie dzielenie wielomianu przez jakiś inny. Niestety, czasowo raczej nie wyrobię się przed
kolokwiami czy egzaminami z rozwiązywania podobnych przykładów, jak powyżej (a choćby w
książce rodem z Politechniki Wrocławskiej na to przeznaczony jest aż całe jedno zadanie, z
milionem podpunktów).
W skrócie jeżeli mamy całkę jakiejś funkcji wymiernej:
jakiśtam wielomian
dx
+"
inny , jeszcze głupszy
to w wyniku ma prawo znalezć się tylko:
jakiś inny wielomian, na przykład x2 5 x ;
lub logarytm naturalny z iksem w pierwszej potędze, na przykład ln | 5 x | ;
lub logarytm naturalny z równaniem kwadratowym (z iksem do potęgi drugiej), ale
wtedy delta tego, co siedzi w środku, musi być ujemna;
lub arcus tangens z iksem w co najwyżej pierwszej potędze, np. arctg(35x).
Oczywiście, bardzo często zdarza się, że wynik jest kombinacją ostatecznie otrzymujemy,
na przykład, logarytm plus arcus plus iksy w dziwnych potęgach. Ale wyliczanie takich całek
wymaga m.in. rozkładu wielomianu na ułamki proste, z czym do dzisiaj się mylę, a nie chcę wam
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 23/32
(jeszcze więcej) mącić.
Więc mój komentarz proszę traktować z przymrużeniem oka, jako ciekawostkę i odnośnik
do innych podręczników z analizy (polecam choćby dodatkowo Analiza matematyczna w
zadaniach, cz. 1 pióra tandemu Krysicki & Włodarski). Jeden prosty przykład z funkcjami
wymiernymi jednak jeszcze się zdarzy.
Zamiast niepotrzebnie smucić się powyższym, głupkowatym komentarzem jedzmy dalej.
Przykład e) [jak np.CisiE]
ln x
dx
+"
x
Jak zwykle, szukamy gdzieś w przykładzie jakiejś pochodnej, tak, aby pózniej pieprznąć
jakieś wymyślne podstawienie i w ostateczności rozwiązać zadanie.
Jeżeli zapiszemy sobie powyższą całkę w ten sposób:
ln x
dx= x"1 dx
+" +"ln x
x
To od razu zauważymy, że można się pozbyć i logarytma, i iksa w mianowniku. W jaki sposób?
Użyjemy takiego podstawienia:
t=ln x *
Różniczkując:
1
dt= dx
**
x
Widzimy, że można od razu podstawiać, żadnych rytuałów czy szamaństw nie musimy czynić.
+"ln x"1 dx=+"t dt
x
I bez wstydu możemy wyliczyć tą całkę:
t2
t dt= ąC =śąln xźą2ąC
+"
2 2
I wszystko. Przykład był o tyle prostszy od poprzednich (tak dla wytchnienia), że odpowiednie
podstawienie od razu skasuje nam wszystkie śmieci, zmieni ten wskaznik (dx) na już
odpowiednią zmienną (dt).
Przykład f) [jak np.jestem Frajer]
x3 dx
+"
xą1
Tutaj trochę elastycznie podejdziemy do podstawienia, odrobinkę mieszając w nim.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 24/32
Pomijając to znowu, nie pasuje nam odrobinkę mianownik (iks do trzeciej w liczniku, mianownik
jakiś szatański), którego jak zwykle się pozbędziemy takim podstawieniem:
t=xą1 *
Wyliczając iksa:
x=t-1 **
I różniczkując:
dx=dt ***
Podstawimy wszystkie te trzy gwiazdki tam, gdzie się to tylko da:
3
x3 dx=
dt
+" +"śąt-1źą
xą1 t
Wydawać by się mogło, że zaraz, kurwa, pieprznąłeś jakieś podstawienie, a tu jeszcze większy
chuj, niż był, bo teraz jakieś skomplikowane działania do trzeciej, ale Ty pierdolisz .
Owszem, zgodzę się z taką argumentacją, ale tak naprawdę, ułatwiłem sobie robotę.
Stosując wzór:
śąaąbźą3=a3ą3 a2bą3 a b2ąb3
mogę mianownik rozwinąć :
3
t3-3 t2ą3t-1
dt= dt
+"śąt-1źą +"
t t
aąb a b
= ą
Teraz ten ułamek mogę roztrzaskać na cztery ułamki (ponieważ ):
c c c
śą-3źą t2 śą-1źą
t3ą ą 3 t
= ą dt
+"
t t t t
budując z tego cztery osobne całki (już pozwolę sobie powyrzucać stałe przed nawiasy i
poskracać):
1
2
= dt-3 dtą3 dt
+"t +"t +"dt-+"
t
których wyliczenie sprowadza się do zaglądnięcia w tablice:
t3 t2
= -3 ą3 t-ln |t |ąC
3 2
na koniec, wracając do iksa (pierwsza gwiazdka):
śą x-1źą3-3 śą x-1źą2 ą3 śą x-1źą-ln | x-1 |ąC
=
3 2
I po robocie. Być może problem był w wymyśleniu podstawienia (grunt to pozbyć się dx i nie
skomplikować za bardzo przykładu) i w obliczeniach, ale daliśmy se radę.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 25/32
Przykład g) [jak... nawet chyba nie muszę brzydko mówić, co]
ex dx
+"
e2 xą1
Hmm... znowu spróbujemy pozbyć się tych śmieci z mianownika, stosując takie
podstawienie:
t=e2 xą1
Jebiąc obustronnie pochodne:
dt=2 e2 x dx
Oj, widzimy, że z tego podstawienia nic nie wyjdzie (bo będziemy mieć problem z zastąpieniem
dx ). To może spróbujmy inaczej zapisać ten przykład:
x
ex dx= e dx
+" +"
e2 xą1 śąexźą2ą1
Hmm... pomijając e x, jesteśmy całkiem niedaleko wzorku na arcus tangens, przypomnę:
dx
=arctg x
+"
x2ą1
Spróbujmy więc użyć takiego podstawienia:
*
t=ex
Różniczkując:
**
dt=ex dx
No i teraz jesteśmy w domu:
ex dx dt
=
+"śą exźą2ą1 +"
t2ą1
Całkując:
= arctg tąC
Wracając do iksów, ostateczne rozwiązanie:
ex dx=arctg exąC
+"
e2 xą1
Przykład h) [jak np. Herby]
5 sin x dx
+"
3-2cos x
Tutaj pierwszy i ostatni przykład całkowania funkcji trygonometrycznych. Po rozwiązaniu
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 26/32
podam pewną ciekawostkę, my jednak zajmijmy się rozwiązaniem właśnie tego przykładu.
Możemy użyć (by pozbyć się sinusa z licznika, a i przejść z pieprzonych funkcji
trygonometrycznych na jakieś inne potworki) takiego podstawienia:
t=cos x *
Wiadomo, co:
dt=-sin x dx **
Trochę zamieszamy w przykładzie, zanim podstawimy (po prostu, stworzymy minusa przed
sinusem):
5sin x dx -sin x dx
=-5
+" +"
3-2 cos x 3-2 cos x
Czyńmy swoją powinność:
dt
=-5
+"
3-2 t
Jesteśmy blisko logarytmu naturalnego, więc zróbmy wszystko, by szybko scałkować i skończyć:
5 -2 dt
=
+"
2 3-2 t
Całkując:
5
= ln |3-2 t |ąC
2
Więc i nasz wynik tej groznie wyglądającej całki:
5 sin x dx 5
= ln|3-2 cos x|ąC
+"
3-2cos x 2
W przypadku całek z funkcji trygonometrycznych, których nikt nie lubi, możemy
zastosować pewne podstawienie, zwane podstawieniem uniwersalnym bo idealnie nadaje się na
wszelkie całki z funkcji trygonometrycznych. Ta funkcja pod całką automagicznie zmieni się w
ułamek jakiegoś wielomianu przez jakiś wielomian (czyli funkcję wymierną).
W takim podstawieniu zaczyna się od takiego dziwnego założenia i podstawienia:
x
t=tg
2
Z funkcji odwrotnej itp. wyłazi wzorek na zastąpienie dx:
2 dt
dx=
*
1ąt2
Wyliczono również, czym należy zastąpić sinusa:
2 t
sin x=
**
1ąt2
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 27/32
Jak i również cosinusa:
2
cos x=1-t2
***
1ąt
Wystarczy znajomość tych trzech wzorków, by poradzić sobie z najbardziej potworną całką
z funkcji trygonometrycznych. Zamieniamy ją sobie na całkę z funkcji wymiernej, którą da się
policzyć już bez zaglądania w tablice trygonometryczne.
Ja jednak (ze względu na moje, przyznam się szczerze, braki w zagadnieniach z funkcji
wymiernej, do czego się przyznałem) takich nie będę przedstawiać w tym bryku, powyższe wzorki
należy uznać za ciekawostkę do zastosowania w sytuacji podbramkowej, przynajmniej może punkt
będzie.
Przykład i) [jak np.jestem Idiotą]
dx
+"
4 x-x2
ćą
Obliczenie powyższej całki na pierwszy, drugi i trzeci rzut oka jest... no, nawet
powiedziałbym, że w chuj trudne. Przyznam szczerze, że to chyba najżmudniejszy przykład z tych,
które znalazłem, więc tutaj proszę szczególnie powoli śledzić przebieg zdarzeń.
Zauważmy, że np. podstawienie:
t=x2
nic nie da, bo trudno będzie się pozbyć dx.
Przede wszystkim, sprawia nam niezły problem ta czwórka razem z iksem. Gdyby można
się tego iksa jakoś pozbyć, to wtedy łatwiej byłoby zakombinować i otrzymać coś, z czego pózniej
można uzyskać arcusa sinusa przypomnę:
dx
=arcsin x
+"
1-x2
ćą
Więc, jak można zauważyć, problem właściwie rozwiązałby się (liczyliśmy już taką całkę),
gdyby zamiast:
dx
+"
4 x-x2
ćą
tu siedział x 2 i potem normalna liczba, ewentualnie (x plus/minus jakaś liczba) 2 . Wtedy wzorując
się na przykładzie c) moglibyśmy wyliczyć tą całkę.
To, co siedzi pod pierwiastkiem:
4 x-x2=-x2ą4 x
jest funkcją kwadratową.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 28/32
Ale istnieje sposób na zapis takiej funkcji, używając tylko jednego iksa.
Każdą funkcję kwadratową można zapisać w postaci kanonicznej. Przypomnę wzorek:
2
b delta
a śą xą źą -
2a 4a
gdzie a i b to współczynniki przy iksach, a delta wiadomo.
W takim razie tą naszą funkcję:
-x2ą4 x
możemy se zapisać w takiej postaci:
=-śą x-2źą2ą4
Okej, wykorzystajmy tą wiadomość, ale na razie zajmując się samym mianownikiem naszej całki:
4 x-x2
ćą
Podstawmy tą dziwnawą postać tej funkcji z środka:
= x-2źą2ą4
ćą-śą
Hmm... wyłączmy czwórkę przed nawias (jednocześnie zmieniając kolejność, dodawanie, więc
mogę):
śą x-2źą2
= 4śą1- źą
4
ćą
Wiedząc, że jeżeli mamy pod pierwiastkiem mnożenie, to mogę całego pierwiastka rozpieprzyć na
dwa, to:
śą x-2źą2 śą x-2źą2
= 4" 1- =2" 1-
ćą
4 4
ćą ćą
Podobnie jak w przykładzie c) wrzućmy tą czwórkę pod kwadrat :
2
x -2
= 2" 1-śą źą
2
ćą
Wróćmy z tym całym majdanem do całki:
dx dx
=
+" +"
4 x-x2
ćą
x-2źą2
2" 1-śą
2
ćą
I by więcej aż takich dziwnych rzeczy nie było połówka wypierdala przed całkę... albo nawet nie
do licznika:
1
dx
2
=
+"
2
x-2
1-śą źą
2
ćą
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 29/32
Dopiero w tym miejscu zastosujemy podstawienie:
x-2
t=
*
2
Po zróżniczkowaniu:
1
dt= dx
**
2
Stosując powyższe podstawienia, otrzymujemy bardzo ładną całkę do przeliczenia:
1
dx
2 dt
=
+" +"
2
1-t2
ćą
x-2
1-śą źą
2
ćą
Wykorzystując to, co sobie na początku przykładu zapisaliśmy, wiemy, że:
dt
=arcsint
+"
1-t2
ćą
I odpowiadstawiając , kończymy z przytupem rozwiązywać ten pojebany przykład:
dx x-2
=arcsin ąC
+"
2
4 x-x2
ćą
Jak widzimy, przykład idealny na kolokwia od razu można poznać, czy delikwent
rozwiązywał zadania, bo przyznacie sami, że jest dosyć ciężkawy, wymaga sięgnięcia aż do
własności funkcji kwadratowej, poza tym nietrudno o pomyłkę. Mnie samemu pierwsza próba
rozwiązania tego przykładu zajęła 5 stron A4 (!), co tylko dowiodło, że z całości matematyki raczej
dupa jestem, jeżeli chodzi o wzory... a o resztę także.
Przykład j) [jak np. Jaskrów]
x3 dx
+"śą x-1źą100
Przykład ciekawy i podobny do przykładu f) . Można go rozwiązać na miliony sposobów,
my spróbujemy trochę ten przykład rozbić na mniejsze problemy.
Możemy licznik zapisać w takiej postaci (a żeby było ładnie i cacy z mianownikiem):
[śą x-1źąą1]3 dx
=
+"
śą x-1źą100
Wartość pod potęgą nie zmieniła się, więc nic złego się nie stało.
Teraz, stosując wzór na sześcian sumy (przykład f):
śą x-1źą3ą3śą x -1źą2ą3śą x-1źąą1
= dx
+"
śą x-1źą100
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 30/32
Również jak już w cytowanym przykładzie, rozbijmy sobie ten wielki ułamek na mniejsze,
jednocześnie już skracając w nich (x 1):
1 3 3 1
=
+"[ śąx-1źą97ą śąx-1źą98ąśą x-1źą99 ąśą x-1źą100 ]dx
Rozbijając na cztery całki i wypieprzając stałe przed wężyki, dostaniemy dosyć osobliwe
przykładziki:
dx
= ą3
+" +"śą dx ą3+"śą dx ą+"śą dx
śą x-1źą97 x-1źą98 x-1źą99 x-1źą100
Zastosujemy dopiero teraz podstawienie:
t=x-1 *
Licząc to, co trzeba:
dt=dx **
O, bardzo ładnie pozbędziemy się niepotrzebnych minusów pod potęgą, a ten wskaznik sam się
ustawi na interesującą nas zmienną:
dt dt dt dt
= ą3 ą3 ą
+" +" +" +"
t97 t98 t99 t100
Już przygotowując tego zawodnika (a właściwie zawodników) do bezpośredniego zastosowania
wzora z tablic:
śą-97źą śą-98źą śą-99źą śą-100źą
= dtą3 dtą3 dtą
+"t +"t +"t +"t dt
co też uczynimy:
tśą-96źą tśą-97źą tśą-98źą tśą-99 źą
= ą3 ą3 ą
-96 -97 -98 -99
I pomijając wszelkie kosmetyczne poprawki w wyglądzie (poza wyłączeniem minusa przed
wszystko), odpodstawiając otrzymujemy:
x3 dx
=-[ ]ąC
+"śą x-1źą100 śą x-1źąśą-96źąą3 śą x-1źąśą-97źąą3śą x-1źąśą-98źąąśą x-1źąśą-99źą
96 97 98 99
Oj, koszmarny wygląd, ale ostatecznie wyliczyliśmy tę zle wyglądającą z początku całkę.
Zazwyczaj, gdy gdzieś się trafi taka niebanalna potęga (coś do potęgi 50, 100 itp.), to zazwyczaj
trzeba trochę pokombinować, pogmatwać, a potem już dojdziemy do momentu, w którym podobny
przykład już rozwiązywaliśmy.
Ostatni przykład będzie takim symbolicznym ukoronowaniem tego bryku, gdyż zastosujemy
tutaj również całkowanie przez części.
Przykład k) [jak np. Konopiska]
2
x3 eśąx źą dx
+"
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 31/32
Zazwyczaj przy całce z e to jakiejś potęgi, podczas gdy ta potęga jest jeszcze bardziej zwyżkująca
stosujemy takie triki, by uzyskać e jakaś ładna liczba albo literka . Zauważmy, że także i tutaj trudno użyć od
razu podstawienia:
t=x2
bo co pózniej zrobić z dx?
Hmm... nie, zaraz, czekaj, gdyby inkasenta zapisać w ten sposób:
2
x2 eśąx źą"x dx
+"
O, już coś lepszego, więc chwytamy byka za rogi:
t=x2 *
i go różniczkujemy... Boże, co za żałosny kujon to wszystko pisze:
dt=2 x dx
Tutaj już nawet oszczędzimy sobie mieszanie w całce przed podstawieniem, po prostu
przekształcając powyższe równanie:
dt
=dx
**
2 x
Podstawmy, zauważając, że już od razu ten wolny iks się skróci z tym z **):
2
2 źą
+"x eśąx "x dx=+"t et śą 1 źą dt
2
Pół wypierdalać:
1
= et dt
+"t
2
Powyższą całkę obliczymy tak dla ładnego skończenia tego nudnego bryku metodą całkowania
przez części. Dlatego wygospodarujemy sobie kawałek kartki dla tej niby tabelki:
f śą xźą=t
g ' śąxźą=et
f ' śą xźą=1
g śą xźą=et
Co da nam takie cuda:
1
t
= śą t et- dtźą
+"e
2
Ale całkę z tak prostej postaci liczby e znamy:
1
= śą t et-etźą
2
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie) 32/32
Wyłączając e t przed nawias:
1
= etśąt-1źą
2
I odpodstawiając, otrzymujemy ostateczne rozwiązanie ostatniego przykładu z tej strony, i z tego
bryku:
2
eśą x2źąśą x2-1źą
x3 eśąx źą dx= ąC
+"
2
No, koniec, bomba, kto czytał, ten trąba.
I takim to oto sposobem, rozwiązując kilkanaście przykładów, doszliśmy do dosyć niezłej
wprawy... Hmm, właściwie powinienem napisać do niezłych początków, bo jak wiele razy
zaznaczałem ten bryk ma Was zachęcić do zadań (ta, jasne, mnie już zniechęcił), byście nie
przestraszyli się dziwnych przykładów, bo te wyglądają tak na pierwszy rzut oka.
A nawet jak na kolokwium czy egzaminie nie idzie, to chociaż napiszcie coś dla szczęścia
w nieszczęściu, to nie wy musicie sprawdzać sto prac w dwa dni, a może kilka punktów zyskacie.
Mówiąc poważniej, mam nadzieję, że powyższa pomoc chociaż odrobinkę wyjaśniła
podstawy całkowania. Bo pominąłem choćby całki z funkcji wymiernych czy trygonometrycznych,
ale te na szczęście są wyjaśnione w wielu podręcznikach do analizy.
Autorów na pewno nie nudzących tak, jak ja.
pj
poap[at]interia.pl
Linki do innych pomocy (być może naukowych):
http://www.poap.yoyo.pl/matd/
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
calki nieoznaczone funkcji jednej zmiennejcalkipochodne i całkiCalki oznaczone i niewlasciwe grupa 3calki nieoznaczone 2070 Całki nieoznaczonecalki niewlasciweCałki powierzchnioweRACHUNEK CAŁKOWY 5 8 Całki zależne od parametru (4)jurlewicz,rachunek prawdopodobieństwa,całki potrójne zadaniaZestaw Całki podwójneCałkiwięcej podobnych podstron