ÿþS C H E M A T O C E N I A N I A A R K U S Z A E G Z A M I N A C Y J N E G O I
N r
L i c z b a
c z y n n o - E t a p y r o z w i z a n i a z a d a n i a
p u n k t ó w
[c i
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w y l o s o w a n i a b i a Be j
4
1 . 1 1 p
k u l i s p o [r ó d 4 k u l b i a By c h i 5 c z a r n y c h : p 1 =
9
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w y l o s o w a n i a b i a Be j
1
3
1 . 2 1 p
k u l i s p o [r ó d 3 k u l b i a By c h i 4 c z a r n y c h : p 2 =
7
P o r ó w n a n i e o b l i c z o n y c h w y n i k ó w i s f o r m u Bo w a n i e
1 . 3 1 p
o d p o w i e d z i : p 1 *# p 2
n + 2 1
Z a p i s a n i e n i e r ó w n o [c i : *#
2 . 1 1 p
3 n + 1 2
P r z e k s z t a Bc e n i e n i e r ó w n o [c i d o p o s t a c i l i n i o w e j
2 . 2 1 p
l u b i l o c z y n o w e j : n )# 3 l u b 2 ( 3 - n ) ( 3 n + 1 ) *# 0
2
R o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i w z b i o r z e l i c z b n a t u r a l n y c h :
2 . 3 1 p
n = 1 l u b n = 2
3 4
S f o r m u Bo w a n i e o d p o w i e d z i : a 1 = , a 2 =
2 . 4 1 p
4 7
W y k o r z y s t a n i e p o d z i e l n o [c i w i e l o m i a n u p r z e z d w u -
m i a n x + 2 n p . W ( - 2 ) = 0 l u b p o d z i e l e n i e w i e l o m i a n u
3 . 1 1 p
W ( x ) p r z e z d w u m i a n x + 2
3 . 2 W y z n a c z e n i e k : k = 3 1 p
3
R o z Bo |e n i e w i e l o m i a n u n a c z y n n i k i :
3 . 3 1 p
2
W ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 2 )
P o d a n i e p i e r w i a s t k ó w w i e l o m i a n u :
3 . 4 1 p
x 1 = x 2 = - 2 , x 3 = 1
W p r o w a d z e n i e o z n a c z e D w s k a z u j c y c h , |e l i c z b y t w o -
r z c i g g e o m e t r y c z n y ,
n p . x l i c z b a p By t u s t a w i o n y c h n a g ó r n e j p ó Bc e , g d z i e
x )#2 4 i x "N +
4 . 1 1 p
2 4 l i c z b a p By t u s t a w i o n y c h n a [r o d k o w e j p ó Bc e ,
2 4
2 4 Å" l i c z b a p By t u s t a w i o n y c h n a d o l n e j p ó Bc e
x
W y k o r z y s t a n i e s u m y t r z e c h w y r a z ó w c i g u g e o m e -
t r y c z n e g o i u Bo |e n i e r ó w n a n i a z n i e w i a d o m x :
4
4 . 2 1 p
5 7 6
x + 2 4 + = 7 6 ( * )
x
P r z e k s z t a Bc e n i e r ó w n a n i a ( * ) d o p o s t a c i
4 . 3 1 p
( * * ) : x 2 - 5 2 x + 5 7 6 = 0 ( * * )
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a ( * * ) : x 1 = 1 6 , x 2 = 3 6
4 . 4 1 p
Z a p i s a n i e o d p o w i e d z i z g o d n i e z w a r u n k a m i z a d a n i a .
4 . 5 N a g ó r n e j p ó Bc e j e s t 1 6 p By t , z a [ n a d o l n e j p ó Bc e j e s t 1 p
i c h 3 6 .
1
N r
z a d a n i a
W p r o w a d z e n i e o z n a c z e D, n p . :
x l i c z b a k o l e j n y c h o b n i |e k c e n y j e d n e j k u r t k i ,
5 . 1 1 p
( 6 0 - x ) z y s k z e s p r z e d a |y j e d n e j k u r t k i ,
( 4 0 + x ) l i c z b a s p r z e d a n y c h k u r t e k
O k r e [l e n i e f u n k c j i f o p i s u j c e j m i e s i c z n y z y s k :
5
5 . 2 1 p
f ( x ) = ( 6 0 - x ) ( 4 0 + x ) l u b f ( x ) = - x 2 + 2 0 x + 2 4 0 0
W y z n a c z e n i e w a r t o [c i a r g u m e n t u x w , d l a k t ó r e j f u n k -
5 . 3 1 p
c j a p r z y j m u j e n a j w i k s z w a r t o [: x w = 1 0
5 . 4 W y z n a c z e n i e s z u k a n e j c e n y : 1 5 0 z B 1 p
R o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i : x + 2 )#3 i w y z n a c z e n i e
z b i o r u A
6 . 1 2 p
( w t y m 1 p . z a m e t o d o r a z 1 p . z a o b l i c z e n i a ) :
A = ( - 5 ; 1 )
R o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i :
3
( 2 x - 1 ) d" 8 x 3 - 1 3 x 2 + 6 x + 3
6
i w y z n a c z e n i e z b i o r u B : B = - 2 ; 2
6 . 2 2 p
( w t y m 1 p . z a d o p r o w a d z e n i e n i e r ó w n o [c i d o p o s t a c i
x 2 d" 4 o r a z 1 p . z a r o z w i z a n i e o t r z y m a n e j n i e r ó w n o -
[c i k w a d r a t o w e j
6 . 3
W y z n a c z e n i e z b i o r u A )" B : A )" B = - 2 ; 1 )
1 p
W y z n a c z e n i e z b i o r u B - A : B - A = 1 ; 2
6 . 4 1 p
N a s z k i c o w a n i e d i a g r a m u :
7 . 1 1 p
7
C z a s w g o d z i n a c h
7 . 2 O b l i c z e n i e [r e d n i e j l i c z b y g o d z i n : 2 , 7 5 1 p
O b l i c z e n i e w a r i a n c j i ( w t y m 1 p . z a m e t o d o r a z 1 p .
7 . 3 2 p
z a o b l i c z e n i a ) : 0 , 9 4
7 . 4 O b l i c z e n i e o d c h y l e n i a s t a n d a r d o w e g o : 0 , 9 7 1 p
W y k o r z y s t a n i e w a r u n k u d l a c z w o r o k t a o p i s a n e g o
n a o k r g u ( w t y m 1 p . z a m e t o d o r a z 1 p . z a o b l i c z e -
8
8 . 1 2 p
n i a ) :
A B + D C = 1 6 , 3 d m ,
O b l i c z e n i e p o l a S A B C D c z w o r o k t a : S A B C D = 4 8 , 9 d m 2
8 . 2 1 p
O b l i c z e n i e p o l a S k k o Ba : S k = 9 À H" 2 8 , 2 7 d m 2
8 . 3 1 p
l u b S k H" 2 8 , 2 6 d m 2
O b l i c z e n i e p o l a S r n i e w y k o r z y s t a n e j c z [c i m a t e r i a Bu :
8 . 4 1 p
S r H" 2 0 , 6 3 d m 2 l u b S r H" 2 0 , 6 4 d m 2
2
O b l i c z e n i e , i l e p r o c e n t S A B C D s t a n o w i S r z d o k Ba d n o -
S r
[c i d o 0 , 0 1 : Å"1 0 0 % H" 4 2 , 1 9 %
8 . 5 S A B C D 1 p
S r
l u b Å"1 0 0 % H" 4 2 , 2 1 %
S A B C D
W p r o w a d z e n i e o z n a c z e D d l a o b u c z [c i s p a d k u i z a p i -
s a n i e z a l e |n o [ m i d z y n i m i : n p . : x k w o t a w p Ba c o n a
9 . 1 1 p
d l a o [m i o l e t n i e g o d z i e c k a , y k w o t a w p Ba c o n a
d l a d z i e s i c i o l e t n i e g o d z i e c k a , x + y = 8 4 1 0 0
9 . 2 Z a s t o s o w a n i e w o b l i c z e n i a c h p r o c e n t u s k Ba d a n e g o 1 p
x + y = 8 4 1 0 0
ñø
ôø 1 3 1 1
U Bo |e n i e u k Ba d u r ó w n a D:
9 . 3 ëø öø öø 1 p
òøx ìø1 + 1 ÷ø = y ëø1 + 1 ÷ø
ìø
ôø
2 0 2 0
9
íø øø íø øø
óø
P r z e k s z t a Bc e n i e u k Ba d u r ó w n a D d o p o s t a c i :
x + y = 8 4 1 0 0
ñø
ôø 2
9 . 4 1 p
ëø öø
òøx ìø1 + 1 ÷ø = y
ôø
2 0
íø øø
óø
R o z w i z a n i e u k Ba d u r ó w n a D i s f o r m u Bo w a n i e o d p o -
9 . 5 w i e d z i ( w t y m 1 p . z a m e t o d o r a z 1 p . z a p o p r a w n e 2 p
o b l i c z e n i a ) : x = 4 0 0 0 0 z B, y = 4 4 1 0 0 z B
S p o r z d z e n i e r y s u n k u
w r a z z o z n a c z e n i a m i l u b
w p r o w a d z e n i e d o k Ba d n i e
o p i s a n y c h o z n a c z e D,
n p . W K = W L = h ,
1 0 . 1 1 p
V o b j t o [ o s t r o s Bu p a
A B C D W ,
P p - p o l e p o d s t a w y
o s t r o s Bu p a A B C D W
Z a z n a c z e n i e n a r y s u n k u w Ba [c i w e g o p r z e k r o j u i w Ba -
1 0 . 2 1 p
1 0
[c i w e g o k t a
W y k o r z y s t a n i e w Ba s n o [c i , |e t r ó j k t W K L j e s t r ó w n o -
1 0 . 3 1 p
r a m i e n n y i w y s o k o [ W O j e s t w y s o k o [c i o s t r o s Bu p a
O b l i c z e n i e W O z "W O L : W O = h c o s ±
1 0 . 4 1 p
O b l i c z e n i e A B : A B = 2 h s i n ±
1 0 . 5 1 p
O b l i c z e n i e p o l a p o d s t a w y o s t r o s Bu p a : P p = 4 h 2 s i n 2 ±
O b l i c z e n i e o b j t o [c i o s t r o s Bu p a :
1 0 . 6 2 p
4 2
V = h 3 s i n 2 ± c o s ± l u b V = h 3 s i n 2 ± s i n ±
3 3
Z a p r a w i d Bo w e r o z w i z a n i e k a |d e g o z z a d a D i n n m e t o d ( z g o d n z p o l e c e n i e m ) o d p r z e d s t a w i o -
n e j w s c h e m a c i e p r z y z n a j e m y m a k s y m a l n l i c z b p u n k t ó w .
3
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