Wykład 18
Witold Obłoza
21 lutego 2011
UKA
ADY RÓWNAC

DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ëÅ‚ öÅ‚jest ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n b2
ìÅ‚ ÷Å‚
x1 ìÅ‚ ÷Å‚ + x2 ìÅ‚ ÷Å‚ + · · · + xn ìÅ‚ ÷Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKA
ADY RÓWNAC

DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ëÅ‚ öÅ‚jest ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n b2
ìÅ‚ ÷Å‚
x1 ìÅ‚ ÷Å‚ + x2 ìÅ‚ ÷Å‚ + · · · + xn ìÅ‚ ÷Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKA
ADY RÓWNAC

DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
ëÅ‚ öÅ‚jest ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n b2
ìÅ‚ ÷Å‚
x1 ìÅ‚ ÷Å‚ + x2 ìÅ‚ ÷Å‚ + · · · + xn ìÅ‚ ÷Å‚ =
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKA
ADY RÓWNAC

powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ëÅ‚ öÅ‚
b1
ìÅ‚ ÷Å‚
b2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . .Å‚Å‚ jest kombinacja liniowa wektorów
ëÅ‚bm öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
, , . . .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKA
ADY RÓWNAC

powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ëÅ‚ öÅ‚
b1
ìÅ‚ ÷Å‚
b2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . .Å‚Å‚ jest kombinacja liniowa wektorów
ëÅ‚bm öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
, , . . .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKA
ADY RÓWNAC

powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ëÅ‚ öÅ‚
b1
ìÅ‚ ÷Å‚
b2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . .Å‚Å‚ jest kombinacja liniowa wektorów
ëÅ‚bm öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
, , . . .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKA
ADY RÓWNAC

powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ëÅ‚ öÅ‚
b1
ìÅ‚ ÷Å‚
b2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . .Å‚Å‚ jest kombinacja liniowa wektorów
ëÅ‚bm öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
, , . . .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKA
ADY RÓWNAC

powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
ëÅ‚ öÅ‚
b1
ìÅ‚ ÷Å‚
b2
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . .Å‚Å‚ jest kombinacja liniowa wektorów
ëÅ‚bm öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
a11 a12 a1n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
a21 a22 a2n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
, , . . .
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
an 1x1 + an 2x2 + · · · + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ëÅ‚ öÅ‚
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
íÅ‚.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .Å‚Å‚
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
an 1x1 + an 2x2 + · · · + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ëÅ‚ öÅ‚
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
íÅ‚.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .Å‚Å‚
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
an 1x1 + an 2x2 + · · · + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ëÅ‚ öÅ‚
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
íÅ‚.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .Å‚Å‚
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
an 1x1 + an 2x2 + · · · + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ëÅ‚ öÅ‚
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
íÅ‚.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .Å‚Å‚
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
an 1x1 + an 2x2 + · · · + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
ëÅ‚ öÅ‚
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
íÅ‚.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .Å‚Å‚
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKA
ADY RÓWNAC

DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x1 b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x2 b2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
układu,X = , B =
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotnÄ… A-1.
Mamy zatem
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b1 x1
n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 Wi
b2 x2
ìÅ‚ ÷Å‚
A-1 ìÅ‚ ÷Å‚ = . Czyli xj = bl · Al j = .
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKA
ADY RÓWNAC

DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x1 b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x2 b2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
układu,X = , B =
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotnÄ… A-1.
Mamy zatem
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b1 x1
n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 Wi
b2 x2
ìÅ‚ ÷Å‚
A-1 ìÅ‚ ÷Å‚ = . Czyli xj = bl · Al j = .
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKA
ADY RÓWNAC

DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x1 b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x2 b2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
układu,X = , B =
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotnÄ… A-1.
Mamy zatem
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b1 x1
n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 Wi
b2 x2
ìÅ‚ ÷Å‚
A-1 ìÅ‚ ÷Å‚ = . Czyli xj = bl · Al j = .
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKA
ADY RÓWNAC

DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x1 b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x2 b2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
układu,X = , B =
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotnÄ… A-1.
Mamy zatem
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b1 x1
n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 Wi
b2 x2
ìÅ‚ ÷Å‚
A-1 ìÅ‚ ÷Å‚ = . Czyli xj = bl · Al j = .
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKA
ADY RÓWNAC

DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
x1 b1
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
x2 b2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
układu,X = , B =
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotnÄ… A-1.
Mamy zatem
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
b1 x1
n
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
1 Wi
b2 x2
ìÅ‚ ÷Å‚
A-1 ìÅ‚ ÷Å‚ = . Czyli xj = bl · Al j = .
íÅ‚. . .Å‚Å‚ íÅ‚. . .Å‚Å‚
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 269
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
ôÅ‚
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am 1x1 + am 2x2 + · · · + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
Å„Å‚
xj + ai xj + · · · + ai jrxj = bi - ai lxl
ôÅ‚ai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚a xj + ai xj + · · · + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ai j1xj + ai j2xj + · · · + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am 1x1 + am 2x2 + · · · + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
Å„Å‚
xj + ai xj + · · · + ai jrxj = bi - ai lxl
ôÅ‚ai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚a xj + ai xj + · · · + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ai j1xj + ai j2xj + · · · + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am 1x1 + am 2x2 + · · · + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
Å„Å‚
xj + ai xj + · · · + ai jrxj = bi - ai lxl
ôÅ‚ai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚a xj + ai xj + · · · + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ai j1xj + ai j2xj + · · · + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKA
ADY RÓWNAC

TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am 1x1 + am 2x2 + · · · + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
Å„Å‚
xj + ai xj + · · · + ai jrxj = bi - ai lxl
ôÅ‚ai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚a xj + ai xj + · · · + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ai j1xj + ai j2xj + · · · + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
ôÅ‚
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
ëÅ‚mamy öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaÅ›
2 1 -3 2 7 -7
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -3 2 -4 1 0 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0
íÅ‚ Å‚Å‚
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
ëÅ‚ öÅ‚
1 1 2 0
íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2 1 -1 1 0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2 1 -1 1 0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2 1 -1 1 0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2 1 -1 1 0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2 1 -1 1 0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2 1 -1 1 0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKA
ADY RÓWNAC

ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 2 2 1 -1 1 0 1
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay = a
ax + y = 1 .
ôÅ‚
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay = a
ax + y = 1 .
ôÅ‚
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay = a
ax + y = 1 .
ôÅ‚
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay = a
ax + y = 1 .
ôÅ‚
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay = a
ax + y = 1 .
ôÅ‚
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKA
ADY RÓWNAC

PRZYKA
AD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru ¨ a¨
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x + ay = a
ax + y = 1 .
ôÅ‚
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKA
ADY RÓWNAC

1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKA
ADY RÓWNAC

1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKA
ADY RÓWNAC

1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKA
ADY RÓWNAC

1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKA
ADY RÓWNAC

1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKA
ADY RÓWNAC

1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKA
ADY RÓWNAC

DEFINICJA 273
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkowÄ… wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk Ò! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am 1x1 + am 2x2 + · · · + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKA
ADY RÓWNAC

DEFINICJA 273
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkowÄ… wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk Ò! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am 1x1 + am 2x2 + · · · + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKA
ADY RÓWNAC

DEFINICJA 273
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkowÄ… wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk Ò! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚a1 1x1 + a1 2x2 + · · · + a1 nxn = b1
ôÅ‚
òÅ‚a x1 + a2 x2 + · · · + a2 xn = b2
2 1 2 n
ôÅ‚. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
am 1x1 + am 2x2 + · · · + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a › : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar  i niezerowy wektor v " V takie, że ›v = v to skalar 
nazywamy wartoÅ›cia wÅ‚asna odwzorowania ›, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem wÅ‚asnym odwzorowania › odpowiadajacym wartoÅ›ci
własnej .
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a › : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar  i niezerowy wektor v " V takie, że ›v = v to skalar 
nazywamy wartoÅ›cia wÅ‚asna odwzorowania ›, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem wÅ‚asnym odwzorowania › odpowiadajacym wartoÅ›ci
własnej .
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a › : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar  i niezerowy wektor v " V takie, że ›v = v to skalar 
nazywamy wartoÅ›cia wÅ‚asna odwzorowania ›, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem wÅ‚asnym odwzorowania › odpowiadajacym wartoÅ›ci
własnej .
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a › : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar  i niezerowy wektor v " V takie, że ›v = v to skalar 
nazywamy wartoÅ›cia wÅ‚asna odwzorowania ›, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem wÅ‚asnym odwzorowania › odpowiadajacym wartoÅ›ci
własnej .
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
TWIERDZENIE 276
Niech V bedzie p.w. o bazie v = (v1, v2, . . . , vn) a A : V - V
odwzorowaniem liniowym o macierzy MA = {ai j}i j"Zn w bazie v.
Skalar  jest wartościa własna odwzorowania A wtw, gdy
det(MA - I) = 0.
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
TWIERDZENIE 276
Niech V bedzie p.w. o bazie v = (v1, v2, . . . , vn) a A : V - V
odwzorowaniem liniowym o macierzy MA = {ai j}i j"Zn w bazie v.
Skalar  jest wartościa własna odwzorowania A wtw, gdy
det(MA - I) = 0.
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
TWIERDZENIE 277
Niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
1, 2, . . . , r beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi
v1, v2, . . . , vr.Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory

v1, v2, . . . , vr sa liniowo niezależne.
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
TWIERDZENIE 277
Niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
1, 2, . . . , r beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi
v1, v2, . . . , vr.Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory

v1, v2, . . . , vr sa liniowo niezależne.
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn

stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0 . . . 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 2 0 . . . 0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . . . . . . . . . . . . . .Å‚Å‚
0 0 0 . . . n
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn

stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0 . . . 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 2 0 . . . 0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . . . . . . . . . . . . . .Å‚Å‚
0 0 0 . . . n
WARTOÅšCI I WEKTORY WA
ASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn

stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0 . . . 0
ìÅ‚ ÷Å‚
0 2 0 . . . 0
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚. . . . . . . . . . . . . . .Å‚Å‚
0 0 0 . . . n


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2011 04 04 WIL Wyklad 26
2011 03 08 WIL Wyklad 24
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
KUNDUN EVENT LOG 2011 02 21
2011 03 24 WIL Wyklad 25id 526
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 521
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2013 02 22 WIL Wyklad 1
2010 11 WIL Wyklad 02
Analiza Finansowa Wykład 02 21 10 09

więcej podobnych podstron