ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
Spis treści
1. POMIARY FIZYCZNE I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE
1.1. Rodzaje niepewności
1.1.1. Niepewności systematyczne
1.1.2. Niepewności przypadkowe
1.1.3. Błąd gruby (nie zajmujemy się nimi).
1.2 Podsumowanie
2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE
2.1. Niepewności systematyczne pomiarów bezpośrednich
2.2. Niepewności systematyczne pomiarów pośrednich
3. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE
3.1. Rozkład normalny
4. GRAFICZNA ANALIZA DANYCH POMIAROWYCH
4.1. Zasady sporządzenia wykresów
4.2. Regresja liniowa
1
1. POMIARY FIZYCZNE I NIEPEWNOŚCI POMIAROWE
Załóżmy, że pewna mierzona wielkość fizyczna x (np. długość, czas,
masa, prędkość) ma rzeczywistą wartość xp, której z reguły nie znamy.
W wyniku pomiaru tej wielkości nie uzyskujemy zasadniczo jej
rzeczywistej wartości. Składa się na to wiele powodów, zależnych od
metody pomiaru, użytych przyrządów pomiarowych, obserwatora, itp.
Mówimy, że każdy pomiar obarczony jest niepewnościami pomiarowymi
(lub błędami pomiarowymi, choć tego terminu używać dalej nie
będziemy).
Występują dwa zasadnicze rodzaje niepewności pomiarowych:
" niepewności systematyczne
" niepewności przypadkowe.
Zwykle w każdym pomiarze występują one łącznie, składając się na
niepewność całkowitą.
2
1.1.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE
A. W jaki sposób się objawiają ?
a) Wyniki kilkakrotnie powtarzanego pomiaru są identyczne
B. Jaka jest tego przyczyna ?
a) Użyty przyrząd pomiarowy nie pozwala na uzyskanie większej
dokładności (ograniczona liczba kresek podziałki przyrządu, klasa
miernika).
b) Obserwator ma ograniczoną dokładność odczytu.
Komentarz
Wartość rzeczywista mieści się zatem w przedziale (x - "x, x + "x).
Dokładność "x stanowi maksymalną wartość niepewności
systematycznej wnoszonej przez sam przyrząd i dlatego "x nazywana
jest często niepewnością maksymalną.
Przykładowe niepewności systematyczne dla kilku przyrządów
pomiarowych:
linijka milimetrowa "l = 1 mm.
sekundomierz "t = 0,2 s.
termometr pokojowy "T= 1 K.
W przypadku analogowych mierników elektrycznych, różnicę
pomiędzy wynikiem pomiaru a wartością rzeczywistą znajdujemy
3
posługując się liczbą zwaną klasą przyrządu. Klasą przyrządu
nazywamy wyrażony w procentach stosunek niepewności
systematycznej do pełnego zakresu wychylenia miernika.
Przykład:
amperomierz o klasie 0,5 i maksymalnym zakresie 5 A
Niepewność systematyczna "I jest równa:
"I = (0.5/100)" 5 = 0.025 A
Dla mierników cyfrowych za niepewność systematyczną przyjmujemy
najmniejszą wartość wyświetlaną na danym mierniku.
Obserwator wnosi niezależny przyczynek do niepewności
systematycznej. Mierząc np. czas trwania jakiegoś procesu musimy
uwzględnić skończony czas refleksu obserwatora. Przy pomiarze
odległości popełniamy zwykle błąd paralaksy. Wkład obserwatora do
niepewności systematycznej jest z reguły mniejszy od dokładności
przyrządu pomiarowego.
4
Przykład. Woltomierzem klasy 0,2 o zakresie do 10 V wykonujemy
odczyt napięcia na oporniku.
Położenie wskazówki woltomierza możemy odczytać z dokładnością do
0,01 V.
Jaka jest niepewność systematyczna pomiaru ?
- Niepewność wynikająca z klasy przyrządu wynosi
(0.2/100) " 10 = 0.02V,
- niepewność odczytu 0,01 V,
- całkowita niepewność systematyczna pomiaru wynosi więc
"U = 0,02 + 0,01 = 0,03 V.
Gdybyśmy przykładowo odczytali wartość U = 3,05 V, to wynik końcowy
zapiszemy w postaci U = (3.05 ą 0.03)V.
5
1.1.2. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE
A. W jaki sposób się objawiają ?
a) Przy kolejnych powtórzeniach pomiaru nie uzyskuje się identycznych
wyników, występuje ich statystyczny rozrzut.
B. Jaka jest tego przyczyna ?
a) Brak identyczności elementów zbioru.
b) Niezgodność przyjętego modelu z obiektem mierzonym.
c) Metoda pomiaru, zmienne warunki pomiaru, wpływu zmysłów
obserwatora.
Komentarze do powyższych punktów:
Zwiększenie ilości pomiarów prowadzi do zmniejszenia
niepewności pomiarowej. Wartości pomiarów grupują się w specyficzny
sposób wokół wartości rzeczywistej. Gdy wykonujemy bardzo dużo
pomiarów, wyniki niektórych z nich mogą być takie same.
Ta przyczyna występuje wtedy, gdy pomiaru wykonujemy nie na
pojedynczym obiekcie, ale na pewnym zbiorze, dla którego zdefiniowana
jest mierzona wielkość. Na przykład, mierzymy średnice pewnej liczby
metalowych kulek itp. Rozrzut wyników wynika ze statystycznego
charakteru mierzonej wielkości.
Przyczyną jest odstępstwo przedmiotu pomiaru od założonego
modelu. Na przykład, mamy zmierzyć długość walca i zakładamy, że jest
6
to idealny walec. Nie jest to oczywiście prawdą i dlatego pomiar jego
długości wzdłuż różnych linii nie da nam tych samych wyników.
Odstępstwo przedmiotu od ideału ujawni się wtedy, gdy dokładność
stosowanego przyrządu pomiarowego jest wystarczająco duża.
Przykładem na to, że metoda pomiarowa wnosi własny przyczynek
do niepewności przypadkowej jest pomiar długości gumki. Wynik
pomiaru zależy od naprężenia gumki i sposobu przykładania linijki.
Również przypadkowo zmieniające się czynniki zewnętrzne (ciśnienie,
temperatura) mają wpływ na rezultat końcowy. Wpływ zmysłów na wynik
pomiaru występuje najwyrazniej wtedy, gdy musimy ocenić minimum lub
maksimum natężenia dzwięku, równości oświetlenia pola widzenia itp.
7
1.3. PODSUMOWANIE
Celem ustalenia, która z niepewności dominuje, pomiar należy
powtórzyć kilkakrotnie, 3-4 razy.
1. Jeżeli wyniki kolejnych pomiarów są identyczne, wtedy miarą
dokładności pomiaru są niepewności systematyczne.
2. Jeżeli występuje statystyczny rozrzut wyników, czyli każdy pomiar
daje inny rezultat, lub przynajmniej niektóre wyniki są różne, a różnice
pomiędzy poszczególnymi wynikami przewyższają niepewności
systematyczne, wtedy dominuje niepewność przypadkowa.
3. W pomiarach, z którymi mamy do czynienia, występują z
reguły niepewności systematyczne jak i przypadkowe. Na
początku ograniczymy nasze rozważania do przypadków skrajnych, w
których dominuje tylko jeden rodzaj niepewności.
8
2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE
2.1. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW
BEZPOŚREDNICH
Pomiar bezpośredni, gdy wartość liczbowa pewnej wielkości odczytana
być może bezpośrednio z przyrządu pomiarowego.
Do takich pomiarów należy np. odczyt długości ciała za pomocą linijki,
odczyt długości czasu trwania spadku ciała za pomocą sekundomierza,
odczyt temperatury za pomocą termometru.
Dla pojedynczych pomiarów stosujemy:
- niepewność bezwzględną pomiaru: "x= x-xo,
gdzie: x - wartość zmierzona, xo wartość rzeczywista,
"x
- niepewność względną pomiaru: = .
x
o
Niepewność względna jest niemianowana i często bywa wyrażona w
procentach.
- Niepewność procentowa
"x
%= 100
x
o
9
Przykład
Stoperem wyznaczyliśmy czas spadania ciała otrzymując t= 12,2 s.
Niepewność systematyczną przyjmiemy "t = 0,2 s.
Wynik pomiaru zapiszemy: t = (12,2 ą 0,2) s.
0.2
Niepewność względna wynosi: = =0.016
12.2
Niepewność procentowa: % = 100= 1.6 %.
10
2.2. NIEPEWNOŚCI SYSTEMATYCZNE POMIARÓW POŚREDNICH
Mierzymy wielkości x1, x2,...xn bezpośrednio.
Wielkość y obliczamy ze wzoru y = f(x1, x2,...xn).
Zatem wielkość y nie jest mierzona bezpośrednio i o takich pomiarach
mówimy, że są pomiarami pośrednimi.
Przykład
-Wyznaczamy prędkość ciała poruszającego się jednostajnie,
dysponując jedynie sekundomierzem i linijką.
-Mierzymy: długość odcinka s i czas jego przebycia t.
-Liczymy prędkość ciała v=s/t.
Niepewność "v musi być związana z niepewnościami s i t!!!!
11
Ogólnie.
Mierzone wielkości: x1, x2,...,xn
niepewności systematyczne odpowiednio "x1, "x2, "xn.
Zakładamy, że "xi<< xi dla i = 1,2,...,n, posługując się rozwinięciem
Taylora otrzymamy:
n
"f (x , x ,.....x )
1 2 n
"y = "x
"
i
i =1
"x
i
Zakładamy ponadto, że wszystkie "xi mają ten sam znak,
wtedy "y nazywamy niepewnością maksymalną "ym.
n
"f (x , x ,.....x )
1 2 n
"y = "x .
"
m i
i=1
"x
i
Jest to metoda różniczki zupełnej.
Przykład.
Zmierzono walec:
r=(1.5 ą 0.1) cm,
h= (5.4 ą 0.2) cm.
Objętość V=Ąr2 h = 38.17 cm3.
Maksymalna niepewność systematyczna:
"Vm = |2Ą r h "r| + |Ą r2 "h| = 6.5 cm3
Wynik końcowy zapiszemy w postaci
V=(38,2 ą 6,5)cm3.
12
3. NIEPEWNOŚCI PRZYPADKOWE
Niepewności przypadkowe wynikają z równoczesnego działania bardzo
wielu niezależnych czynników. Każdy z tych czynników wpływa jedynie
nieznacznie na rezultat pomiaru, powodując z prawdopodobieństwem p
= 0,5 odchylenie wartości pomiaru o małą wartość w górę lub dół.
Sumaryczne działanie wszystkich tych zakłócających czynników jest
chaotyczne, dlatego przy powtórnym pomiarze nie otrzymamy tego
samego co wcześniej rezultatu. Prawo rozkładu wyników pomiarowych
opisuje tzw. rozkład normalny, zwany inaczej rozkładem Gaussa
(statystyka).
13
3.1. ROZKAAD NORMALNY
Gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia wielkości x lub jej błędu "x
jest opisana wzorem:
2
1 (x
# - x )
ś#
0
Ś(x) = exp
ś#-
ź#
2
2Ą 2
# #
gdzie:
Ś jest gęstością prawdopodobieństwa wystąpienia w
pomiarze wartości x (oznacza szansę na wystąpienie
wartości x),
odchyleniem standardowym (miara rozrzutu
otrzymywanych wartości x, czyli jest miarą niepewności
pomiarowej)
2
(x
" - x)
i
= u(x) = ,
n(n -1)
xo jest wartością najbardziej prawdopodobną i może nią być
n
x
"
i
i
wartość średnia: x = .
n
14
Prawdopodobieństwo uzyskania wyniku x zawartego w przedziale
(x1, x2) wynosi:
x
2
P(x1,x2) = Śdx
+"
x
1
3
Ś(x)
x0=15
=2
2
=5
1
0
0 5 10 15 20 25 30
x
W przedziale xo- < x < xo+ mieści się ok. 68% wszystkich pomiarów.
Podana powyżej postać f(x) nosi nazwę niestandaryzowanego rozkładu
normalnego
15
4. GRAFICZNA ANALIZA DANYCH POMIAROWYCH
4.1. ZASADY SPORZDZANIA WYKRESÓW
Podczas robienia wykresu należy kierować się następującymi zasadami:
1. Wykres wykonuje się na papierze milimetrowym. Rozmiar wykresu
określa zakres mierzonych wielkości i wybrana skala na osiach (a nie
odwrotnie!).
2. Na osi y odkładamy wartości funkcji, na osi x - wartości
argumentów.
Na przykład mając wykreślić temperaturową zależność oporu metalu, na
osi x odkładamy temperaturę, na osi y - opór elektryczny.
3. Na każdej z osi odkładamy tylko taki zakres zmian mierzonej
wielkości fizycznej, w którym zostały wykonane pomiary. Nie ma
zatem obowiązku odkładania na osiach punktów zerowych.
4. Rozmiar wykresu nie jest dowolny i nie powinien wynikać z tego, że
dysponujemy takim a nie innym kawałkiem papieru. Rozmiar powinien
być określony przez niepewności pomiarowe tych wielkości, które
odkłada się na osiach. Niepewność ta powinna w wybranej skali być
odcinkiem o łatwo zauważalnej, znaczącej długości.
16
5. Skalę na każdej z osi wybiera się niezależnie, tak że mogą one
być różne. Dążymy do tego, aby uzyskany wykres lub jego główna
część był pod kątem około 45o do osi układu współrzędnych.
6. Skalę na osiach układu nanosimy zazwyczaj w postaci
równooddalonych, pełnych liczb. Ich wybór i gęstość na osi musi
zapewniać jak największą prostotę i wygodę korzystania z nich.
7. Punkty na wykres nanosimy tak, by były wyraznie widoczne. Gdy
na jednym rysunku ma być kilka krzywych, punkty na każdej z nich
zaznacza się inaczej: kółkami, trójkątami, kwadracikami itp.
8. Po naniesieniu punktów na wykres, rysujemy ciągłą, bez nagłych
zagięć i załamań, krzywą. Powinna ona leżeć tak, aby ilość punktów po
obu jej stronach była taka sama. Nie należy dążyć do tego, aby
przechodziła ona przez wszystkie punkty, ponieważ każdy z nich
obarczony jest niepewnością.
9. Na osiach wykresu muszą być napisane odkładane wielkości i ich
jednostki.
17
10. Aby wykres jak najlepiej odzwierciedlał zależność dwu wielkości,
czasami na osiach odkłada się nie same te wielkości, ale ich funkcje.
Przykład
Temperaturowa zależność oporu elektrycznego półprzewodnika
R = Ro exp(-ą/T).
Logarytmując obustronnie, otrzymamy lnR = ln(Ro) - ą/T.
11. Na rysunku należy zaznaczyć niepewności pomiarowe w postaci
prostokątów lub odcinków.
12. Każdy rysunek powinien być podpisany. Podpis mówi, co rysunek
zawiera, wyjaśnia co reprezentują zaznaczone krzywe.
Rys. 5. Prawidłowo i nieprawidłowo sporządzone rysunki,
przedstawiające temperaturową zależność oporu elektrycznego metalu
18
Rysunki sporządzono na podstawie tych samych pomiarów. Pierwszy z
nich sporządzono kierując się tymi regułami i jest prawidłowo zrobiony,
drugi niezgodnie z wyżej przedstawionymi wskazówkami.
19
4.2. REGRESJA LINIOWA
Zakładamy, że zależność y(x) jest opisana równaniem
y = ax + b.
- temperaturowa zależność oporu elektrycznego metali R = f(T),
-skręcenie płaszczyzny polaryzacji światła w funkcji stężenia
roztworu cukru a = f(s),
- okres drgań relaksacyjnych w obwodzie kondensatora i
neonówki od pojemności kondensatora T = f(C) itp.
Wykonując pomiary tych dwu wielkości x i y uzyskujemy pary liczb (xi, yi)
i naszym zadaniem jest znalezć równanie linii prostej (tzn. parametry a i
b w równaniu prostej), najlepiej "pasującej" do nich. Niech równanie to
będzie miało postać:
yi = axi+ b.
"Dopasowanie" zgodnie z metodą najmniejszych kwadratów oznacza,
że
2
n
2
S = [y - (ax + b)] = min .
"
i i
i
Wyrażenie w nawiasie jest odchyleniem punktu eksperymentalnego
(liczonym wzdłuż osi y) od odpowiadającej mu wartości wynikającej z
równania prostej.
Parametry a i b są emiprycznymi współczynnikami regresji liniowej.
20
Poszukując ekstremum powyższego równania udowadnia się, że:
gdzie i = 1,2,3,...,n, czyli n jest ilością par punktów (xi, yi).
Na odchylenie standardowe Sa i Sb, będące miarą niepewności
pomiarowych współczynników regresji a i b otrzymuje się następujące
równania
Kryterium tego, jak nasze punkty pomiarowe (xi,yi) potwierdzają liniową
zależność pomiędzy wielkościami x i y, stanowi wartość tzw.
współczynnika korelacji liniowej. r. Jego wartość zmienia się w granicach
od 1 do 0. Gdy |r| = 1, to dopasowanie jest idealne, wszystkie punkty
pomiarowe leżą na prostej. Gdy r = 0, to zależność liniowa pomiędzy xi i
yi nie istnieje. W pomiarach fizycznych wartość współczynnika korelacji r
jest zwykle większa niż 0,98. Wzór na współczynnik korelacji
21
Przykład. Wykonując pomiary temperaturowej zależności oporu
elektrycznego półprzewodnika otrzymano R =f(T). Wcześniej
udowodniono, że lnR = f(1/T) spełnia zależność y = ax + b. U nas xi to
odwrotności temperatury, a yi to opory elektryczne , i = 1,2,3,4,5....
22
60
f(x)=ax+b
a=3.23, b=-2.08
40
y
20
0
4 6 8 10 12 14 16
xi
x
Szukamy równania prostej najlepiej pasującej do tych danych oraz
współczynnika korelacji.
23
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Rachunek niepewnosci pomiarowychrachunek niepewnosci pomiaru14 Analiza niepewności pomiarowych i Pracownia Techniki Pomiarówniepewnosci pomiaroweB Metody wykonywania pomiarow i szacowanie niepewnosci pomiaruNiepewności pomiaru wersja rozszerzonaB Metody wykonywania pomiarow i szacowanie niepewnosci pomiaruanaliza niepewności pomiarowych wspomagana komputerowo00 niepewność pomiarujakubowicz jermak niepewnosc pomiaru im 3 13Laboratorium niepewność pomiarów analitycznychniepewnosc pomiaru masywięcej podobnych podstron