P r b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 1
O d p o w i e d z i i s c h e m a t p u n k t o w a n i a p o z i o m r o z s z e r z o n y
O D P O W I E D Z I I S C H E M A T P U N K T O W A N I A
P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y
N u m e r L i c z b a
E t a p y r o z w i z a n i a z a d a n i a U w a g i d l a e g z a m i n a t o r w
z a d a n i a p u n k t w
1 . 1 P o d a n i e w a r t o [c i b : b = 2 . 1
S p o r z d z e n i e w y k r e s u f u n k c j i g .
y
5
4
3
K r z y w a b d c a w y k r e s e m f u n k c j i g d l a
2
x < 4 n i e m o |e p r z e c i n a p r o s t e j
1 . 2 1
1
1
o r w n a n i u y = 2 .
x
- 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6
- 1
- 2
- 3
Z a p i s a n i e s z u k a n y c h w a r t o [c i p a r a m e t r u p : p = 0 l u b p e" 2 .
1 . 3 1
Z a s t o s o w a n i e d e f i n i c j i w a r t o [c i b e z w z g l d n e j i z a p i s a n i e :
- 4 x - 1 2 < - x - 5 d l a x " - 5 ,
( - ",
)
2 2 . 1 1
- 4 x - 1 2 < x + 5 d l a x " - 5 , - 3 ,
)
4 x + 1 2 < x + 5 d l a x " - 3 , " .
)
R o z w i z a n i e n i e r w n o [c i l i n i o w y c h b e z u w z g l d n i a n i a o g r a n i c z e D:
7 1 7 7
2 . 2 1
x > - , x > - , x < - .
3 5 3
U w z g l d n i e n i e o g r a n i c z e D, t z n . z a p i s a n i e z b i o r w r o z w i z a D
1 7 7
#
2 . 3 1
p o s z c z e g l n y c h n i e r w n o [c i : z b i r p u s t y , # - , - 3 # , - 3 , - .
##3 #
5
## #
W y z n a c z e n i e z b i o r u r o z w i z a D n i e r w n o [c i z w a r t o [c i b e z w z g l d n :
1 7 7
##
2 . 4 1
- , - .
##
5 3
##
I I s p o s b r o z w i z a n i a :
2 . 1 1
Z a p i s a n i e d a n e j n i e r w n o [c i w p o s t a c i : 4 x + 3 < x + 5 .
P r b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 2
O d p o w i e d z i i s c h e m a t p u n k t o w a n i a p o z i o m r o z s z e r z o n y
P o d n i e s i e n i e o b u s t r o n n i e r w n o [c i d o d r u g i e j p o t g i :
2 . 2 2 2 1
4 2 " x + 3 < x + 5 .
( ) ( )
P u n k t p r z y z n a j e m y , g d y z d a j c y z a p i s z e
D o p r o w a d z e n i e n i e r w n o [c i d o p o s t a c i i l o c z y n o w e j : 3 x + 7 " 5 x + 1 7 < 0
( ) ( )
n i e r w n o [ w p o s t a c i o g l n e j i o b l i c z y
2 . 3 1
1 7 7
## #
p i e r w i a s t k i t r j m i a n u k w a d r a t o w e g o .
l u b 1 5 # x + x + < 0 .
# ## #
5 3
# ## #
1 7 7
#
Z a p i s a n i e z b i o r u r o z w i z a D n i e r w n o [c i : x "# - , - .
2 . 4 1
##
5 3
##
M e t o d a g r a f i c z n a .
2 . 1 1
Z a p i s a n i e d a n e j n i e r w n o [c i w p o s t a c i : 4 x + 3 < x + 5 .
S p o r z d z e n i e w y k r e s w f u n k c j i f x = 4 x + 3 i g x = x + 5 .
2 . 2 ( ) ( ) 1
2 . 3 W y z n a c z e n i e o d c i t y c h p u n k t w w s p l n y c h w y k r e s w f u n k c j i f i g . 1
1 7 7
Z a p i s a n i e z b i o r u r o z w i z a D n i e r w n o [c i : , - ) 1
2 . 4 ( - .
5 3
S p o r z d z e n i e r y s u n k u .
1 2 y
y = x 2
1 1
y = 2 x - 6
1 0
9
8
7
6
5
4
N a r y s u n k u m u s z b y s z k i c e w y k r e s w
3
3 3 . 1 1
2
o b u f u n k c j i p o d a n y c h w z a d a n i u .
1
x
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
Z a p i s a n i e w s p Br z d n y c h d o w o l n e g o p u n k t u p a r a b o l i w z a l e |n o [c i o d
3 . 2 1
j e d n e j z m i e n n e j : n p . P = x , x 2 .
( )
2 x - x 2 - 6
3 . 3 1 .
W y z n a c z e n i e o d l e g Bo [c i p u n k t u P o d d a n e j p r o s t e j : d = .
5
Z a p i s a n i e o d l e g Bo [c i b e z w a r t o [c i b e z w z g l d n e j :
2
( x - 1 ) + 5 x 2 - 2 x + 6
3 . 4 1
d = l u b d = .
5 5
P r b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 3
O d p o w i e d z i i s c h e m a t p u n k t o w a n i a p o z i o m r o z s z e r z o n y
3 . 5 1
O s z a c o w a n i e n a j m n i e j s z e j w a r t o [c i : d e" 5 .
I I s p o s b r o z w i z a n i a : ( c z y n n o [c i 3 . 4 i 3 . 5 )
Z d a j c y m o |e w y z n a c z y r w n a n i e p r o s t e j
2 x - x 2 - 6
r w n o l e g Be j d o d a n e j p r o s t e j , s t y c z n e j d o
W y z n a c z e n i e n a j m n i e j s z e j w a r t o [c i f u n k c j i d x = :
( )
3 . 4 1
p a r a b o l i i o b l i c z y o d l e g Bo [ m i d z y t y m i
5
p r o s t y m i r w n o l e g By m i .
d m i n = 5 .
3 . 5 1
Z a p i s a n i e w n i o s k u : d e" 5 .
2 3
O b l i c z e n i e p r a w d o p o d o b i e Ds t w : P A = , P B = .
4 . 1 ( ) ( ) 1
3 4
Z d a j c y n i e m u s i w p r o s t z a p i s y w a p r a w a
2 2
4 . 2 Z a s t o s o w a n i e p r a w a D e M o r g a n a : A )" B = A *" B . 1
( ) 2
4 D e M o r g a n a .
4 . 3 W y k o r z y s t a n i e w z o r u n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w o s u m y z d a r z e D. 1
2 2 2 2 1
O b l i c z e n i e w a r t o [c i P A )" B : P A )" B = .
4 . 4 ( ) ( ) 1
1 2
a
Z a p i s a n i e w z o r u f u n k c j i w p o s t a c i : h x = + 1 .
5 . 1 ( ) 1
x - 2
W y s t a r c z y o b l i c z e n i e w s p Bc z y n n i k a a .
A k c e p t u j e m y p o d a n i e w z o r u
O b l i c z e n i e w s p Bc z y n n i k a a i z a p i s a n i e w z o r u f u n k c j i : a = 2 ,
x
2 h x = , b e z u z a s a d n i e n i a .
5 . 2 1 ( )
5
h x = + 1 .
( )
x - 2
x - 2
P r z y z n a j e m y w t e d y p u n k t y z a c z y n n o [c i
5 . 1 , 5 . 2 .
O b l i c z e n i e w a r t o [c i f u n k c j i h d l a x = 3 : h 3 = - 2 3 - 3
( )
5 . 3 1
i z a p i s a n i e w n i o s k u .
Z a s t o s o w a n i e w z o r u s k r c o n e g o m n o |e n i a i z a p i s a n i e w y r a |e n i a w p o s t a c i :
1 1
2 2
2 - 3 + 2 " 2 - 3 " 2 + 3 + 2 + 3
( ) ( )
6 . 1 1
6 l u b 2 - 3 + 2 " 2 - 3 " 2 + 3 + 2 + 3 .
( ) ( )
6 . 2 O b l i c z e n i e l i c z b y a : a = 6 . 1
6 . 3 O b l i c z e n i e l i c z b y b : b = 9 . 1
6 . 4 1
Z a p i s a n i e w n i o s k u w r a z z u z a s a d n i e n i e m : a b > b a .
P r b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 4
O d p o w i e d z i i s c h e m a t p u n k t o w a n i a p o z i o m r o z s z e r z o n y
Z a p i s a n i e , |e l i c z b a ( - 3 ) j e s t j e d n y m z r o z w i z a D d a n e g o r w n a n i a
7 . 1 1
( x + 3 ) ( x 2 + 5 x + 4 ) = 0 .
7 . 2 R o z w i z a n i e r w n a n i a k w a d r a t o w e g o x 2 + 5 x + 4 = 0 : x = - 1 , x = - 4 . 1
R o z w i z a n i e w a r u n k u , d l a k t r e g o d r u g i c z y n n i k r w n a n i a n i e m a
7 . 3 1
r o z w i z a D: < 0 d l a p " - 2 *" 2 , " .
( - ",
) ( )
W y z n a c z e n i e w s z y s t k i c h w a r t o [c i p , d l a
Z a p i s a n i e u k Ba d u w a r u n k w , d l a k t r y c h l i c z b a j e s t j e d y n y m
( - 3
)
k t r y c h l i c z b a ( - 3 ) j e s t r o z w i z a n i e m
2
r o z w i z a n i e m r w n a n i a k w a d r a t o w e g o x 2 + p + 4 x + p + 1 = 0 :
( ) ( )
r w n a n i a k w a d r a t o w e g o
7 . 4 1
2
- b
x 2 + p + 4 x + p + 1 = 0 :
( ) ( )
= 0 i = - 3 .
7 2 a
p = 2 l u b p = - 1 .
S p r a w d z e n i e , |e t y l k o d l a p = 2 l i c z b a
R o z w i z a n i e u k Ba d u w a r u n k w z p u n k t u 7 . 4 : p = 2 .
7 . 5 1 - 3 ) j e s t j e d y n y m r o z w i z a n i e m r w n a n i a
(
k w a d r a t o w e g o .
Z a p i s a n i e o d p o w i e d z i : p " ( - ", - 2 ) *" 2 , ") .
7 . 6 1
I I s p o s b r o z w i z a n i a : ( c z y n n o [c i 7 . 4 , 7 . 5 )
Z a p i s a n i e w a r u n k u , p r z y k t r y m l i c z b a j e s t j e d y n y m r o z w i z a n i e m
( - 3
)
7 . 4 1
2 2 2
r w n a n i a x 2 + p + 4 x + p + 1 = 0 : x + 3 = x 2 + p + 4 x + p + 1 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
O b l i c z e n i e p : p = 2 .
7 . 5 1
Z a p i s a n i e z a l e |n o [c i m i d z y b o k a m i c z w o r o k t a o p i s a n e g o
8 . 1 n a o k r g u : a + b = 2 c , g d z i e a d Bu g o [ d Bu |s z e j p o d s t a w y , b d Bu g o [ 1
k r t s z e j p o d s t a w y , c d Bu g o [ r a m i e n i a t r a p e z u .
W y z n a c z e n i e r |n i c y d Bu g o [c i p o d s t a w t r a p e z u z a p o m o c d Bu g o [c i
8 . 2 1
r a m i e n i a : a - b = 4 c - 6 0 .
W y r a |e n i e w y s o k o [c i t r a p e z u w z a l e |n o [c i o d d Bu g o [c i r a m i e n i a :
8
8 . 3 1
h = - 3 c 2 + 1 2 0 c - 9 0 0 .
W y z n a c z e n i e p o l a t r a p e z u j a k o f u n k c j i d Bu g o [c i j e g o r a m i e n i a :
8 . 4 1
P = c " - 3 c 2 + 1 2 0 c - 9 0 0 .
1 p k t z a o s z a c o w a n i e c < 3 0 .
W y z n a c z e n i e d z i e d z i n y f u n k c j i P : c " 1 5 , 3 0 .
8 . 5 ( ) 2
1 p k t z a o s z a c o w a n i e c > 1 5 .
P r b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 5
O d p o w i e d z i i s c h e m a t p u n k t o w a n i a p o z i o m r o z s z e r z o n y
O z n a c z e n i e w s p Br z d n y c h [r o d k a o k r g u S = x , 0 i z a p i s a n i e r w n a n i a
( )
p o z w a l a j c e g o w y z n a c z y w s p Br z d n e [r o d k a o k r g u , n p . :
9 . 1 1
2 2
x
( - 1 + 4 2 = x + 6 + 3 2 .
) ( )
J e [l i z d a j c y w y z n a c z y r w n a n i e
s y m e t r a l n e j o d c i n k a A B o r a z j e j p u n k t
O b l i c z e n i e w s p Br z d n y c h p u n k t u S : S = ( - 2 , 0 ) .
9 . 2 1
p r z e c i c i a z o s i O x , t o p r z y z n a j e m y
p u n k t y w c z y n n o [c i a c h 9 . 1 o r a z 9 . 2 .
O b l i c z e n i e d Bu g o [c i p r o m i e n i a o k r g u : r = 5 i z a p i s a n i e r w n a n i a o k r g u :
9 . 3 1
2
( x + 2 ) + y 2 = 2 5 .
9
1 2 7 W y s t a r c z y , |e z d a j c y o b l i c z y
W y z n a c z e n i e r w n a n i a p r o s t e j A B : y = x + .
9 . 4 1
w s p Bc z y n n i k k i e r u n k o w y p r o s t e j A B .
7 7
Z a p i s a n i e r w n a n i a r o d z i n y p r o s t y c h p r o s t o p a d By c h d o p r o s t e j A B :
9 . 5 1
y = - 7 x + b .
W y k o r z y s t a n i e w z o r u n a o d l e g Bo [ p u n k t u ( 0 , 0 ) o d p r o s t e j o r w n a n i u
b
9 . 6 1
y = - 7 x + b i z a p i s a n i e r w n a n i a : 2 = .
5 2
W y z n a c z e n i e r w n a D p r o s t y c h s p e Bn i a j c y c h w a r u n e k z a d a n i a : W y s t a r c z y , |e z d a j c y o b l i c z y w a r t o [c i b ,
y =
9 . 7 - 7 x - 1 0 , y = - 7 x + 1 0 . o i l e z a p i s a B r w n a n i e r o d z i n y p r o s t y c h
1
y = - 7 x + b .
P r b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 6
O d p o w i e d z i i s c h e m a t p u n k t o w a n i a p o z i o m r o z s z e r z o n y
N i e w y m a g a m y r o z p a t r z e n i a o b u
p r z y p a d k w , a l e i s t o t n e j e s t z a Bo |e n i e , |e
Z a p i s a n i e , |e c i g s i n , s i n , 1 l u b 1 , s i n , s i n )
j e s t g e o m e t r y c z n y .
1 0 . 1 ( ) ( 1
1 j e s t p i e r w s z y m l u b o s t a t n i m w y r a z e m
c i g u .
W y k o r z y s t a n i e d e f i n i c j i l u b w Ba s n o [c i c i g u g e o m e t r y c z n e g o i z a p i s a n i e
1 0 . 2 1
w a r u n k u : s i n 2 = s i n "1 .
W y k o r z y s t a n i e z a l e |n o [c i m i d z y f u n k c j a m i t r y g o n o m e t r y c z n y m i
1 0
w t r j k c i e p r o s t o k t n y m : s i n = c o s o r a z j e d y n k i t r y g o n o m e t r y c z n e j
1 0 . 3 1
i z a p i s a n i e r w n a n i a z n i e w i a d o m s i n : 1 - s i n 2 = s i n .
5 - 1 - 5 - 1
R o z w i z a n i e r w n a n i a : s i n = , s i n = .
2 2
1 0 . 4 1
5 - 1
P o d a n i e o d p o w i e d z i : s i n = .
2
P r b n y e g z a m i n m a t u r a l n y z m a t e m a t y k i 7
O d p o w i e d z i i s c h e m a t p u n k t o w a n i a p o z i o m r o z s z e r z o n y
a
.
.
1 1 . 1 1
a
Z a z n a c z e n i e n a r y s u n k u s z u k a n e g o k t a .
O b l i c z e n i e d Bu g o [c i p r z e k t n e j p o d s t a w y i w y s o k o [c i [c i a n y b o c z n e j :
1 1 . 2 a 3 1
a 2 i , g d z i e a o z n a c z a d Bu g o [ k r a w d z i o s t r o s Bu p a .
2
Z a s t o s o w a n i e t w i e r d z e n i a k o s i n u s w w t r j k c i e , w k t r y m w y s t p u j e k t
1 1
2 2
2
# # # #
1 1 . 3 1
d w u [c i e n n y : a 2 = + - 2 " " "c o s .
# # # #
( ) a 3 a 3 a 3 a 3
# # # #
2 2 2 2
# # # #
1
O b l i c z e n i e k o s i n u s a k t a : c o s = - .
1 1 . 4 1
3
I I m e t o d a r o z w i z a n i a : ( c z y n n o [c i 1 1 . 3 i 1 1 . 4 ) J e [l i z d a j c y o b l i c z y p r z y b l i |o n w a r t o [
Z a s t o s o w a n i e d e f i n i c j i f u n k c j i s i n u s d l a p o Bo w y k t a : 1
k t a , a n a s t p n i e w a r t o [ k t a
a 2 2
6 i p o p r a w n i e u s t a l i n a t e j p o d s t a w i e
2
s i n = = .
1 1 . 3 1
p r z y b l i |o n w a r t o [ c o s , t o o t r z y m u j e
2 3
a 3
p u n k t y w c z y n n o [c i a c h 1 1 . 3 i 1 1 . 4 . Z a
2
s a m o o b l i c z e n i e p r z y b l i |o n e j w a r t o [c i k t a
n i e p r z y z n a j e m y p u n k t w w c z y n n o [c i
1 1 . 4 .
1
W y z n a c z e n i e k o s i n u s a k t a : c o s = 1 - 2 "s i n 2 # # = - .
1 1 . 4 1
# #
2 3
# #
Z a p r a w i d Bo w e r o z w i z a n i e k a |d e g o z z a d a D i n n m e t o d n i | p r z e d s t a w i o n a w s c h e m a c i e p r z y z n a j e m y m a k s y m a l n l i c z b p u n k t w .
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