Wykład 13
Witold Obłoza
11 stycznia 2011
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c + " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a jest liczba rzeczywista.
PRZYKAAD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c + " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a jest liczba rzeczywista.
PRZYKAAD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c + " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a jest liczba rzeczywista.
PRZYKAAD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c + " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a jest liczba rzeczywista.
PRZYKAAD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 170
Jeżeli P (x) jest wielomianem stopnia n to
"
P (x) dx
" dx = Q(x) ax2 + bx + c + " ,
ax2 + bx + c ax2 + bx + c
gdzie Q(x) jest wielomianem stopnia n - 1 a jest liczba rzeczywista.
PRZYKAAD 171
6x3 + 26x2 + 39x + 21
" dx =
x2 + 4x + 5
"
dx
(Ax2 + Bx + C) x2 + 4x + 5 + K " =
x2 + 4x + 5
"
dx
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4 " =
x2 + 4x 5
" "+
(2x2 + 3x + 1) x2 + 4x + 5 + 4ln(x + 2 + x2 + 4x + 5) + C
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKAAD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKAAD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKAAD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKAAD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKAAD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 172 ( PODSTAWIENIA EULERA )
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienia
"
"
2
"ax + bx + c = ax + t, gdy a > 0,
"
2
"ax + bx + c = xt + c, gdy c > 0,
ax2 + bx + c = t(x - x1), gdy c" 0, a < 0 gdzie x1 jest pierwiastkiem
<
ax2 + bx + c sprowadzaja R(x, ax2 + bx + c) dx do całkowania
funkcji wymiernej.
PRZYKAAD 173
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx
(1 + x) x2 + 2x + 2
"
1 t2 - 2 1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = x - t, x = · , dx = · dt,
2 1 + t 2 (1 + t)2
"
-1 t2 + 2t + 2
x2 + 2x + 2 = · .
2 1 + t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx =
(1 + x) x2 + 2x + 2
-(t + 2) 1 t2 + 2t + 2
· dt =
-1 t2+2t+2 1 t2-2
2 (1 + t)2
· (1 + · )
2 1+t 2 1+t
"
dt
2 = 2ln |t| + C = 2ln |x - x2 + 2x + 2| + C.
t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx =
(1 + x) x2 + 2x + 2
-(t + 2) 1 t2 + 2t + 2
· dt =
-1 t2+2t+2 1 t2-2
2 (1 + t)2
· (1 + · )
2 1+t 2 1+t
"
dt
2 = 2ln |t| + C = 2ln |x - x2 + 2x + 2| + C.
t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
"
x2 + 2x + 2 - x - 2
" dx =
(1 + x) x2 + 2x + 2
-(t + 2) 1 t2 + 2t + 2
· dt =
-1 t2+2t+2 1 t2-2
2 (1 + t)2
· (1 + · )
2 1+t 2 1+t
"
dt
2 = 2ln |t| + C = 2ln |x - x2 + 2x + 2| + C.
t
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
PRZYKAAD 174
dx
"
4 + 3x - x2
"
4 - t2 -10 t
4 + 3x - x2 = (x + 1)t, x = , dx = dt,
1 + t2 (1 + t2)2
"
5t
x2 + 2x + 2 = .
1 + t2
-10t
dx dt
(1+t2)2
" = dt = - 2 = -2arc tg t + C =
5t
1 + t2
4 + 3x - x2 1+t2
"
4 + 3x - x2
-2arc tg + C.
x + 1
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 175
Jeżeli R jest funkcja wymierna dwóch zmiennych to podstawienie
x = a sint
"
sprowadza R(x, a2 - x2) dx do całkowania funkcji wymiernej,
podstawienie
x = a tgt
"
sprowadza R(x, a2 + x2) dx do całkowania funkcji wymiernej, zaś
podstawienie
1
x =
a cost
"
sprowadza R(x, x2 - a2) dx do całkowania funkcji wymiernej.
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 176
CaÅ‚ka postaci xm · (a + bxn)pdx gdzie m, n, p " Q
sprowadza sie do całki z funkcji wymiernejnastepujacych trzech
porzypadkach:
p jest liczba całkowita (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = t,
n
m + 1
+ p jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = xntr,
n
gdzie r jest mianownikiem p.
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 176
CaÅ‚ka postaci xm · (a + bxn)pdx gdzie m, n, p " Q
sprowadza sie do całki z funkcji wymiernejnastepujacych trzech
porzypadkach:
p jest liczba całkowita (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = t,
n
m + 1
+ p jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = xntr,
n
gdzie r jest mianownikiem p.
CAAKOWANIE NIEWYMIERNOÅšCI
TWIERDZENIE 176
CaÅ‚ka postaci xm · (a + bxn)pdx gdzie m, n, p " Q
sprowadza sie do całki z funkcji wymiernejnastepujacych trzech
porzypadkach:
p jest liczba całkowita (korzystamy z dwumianu Newtona),
m + 1
jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = t,
n
m + 1
+ p jest liczba całkowita przez podstawienie a + bxn = xntr,
n
gdzie r jest mianownikiem p.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewnetrznym w zbiorze A nazywamy dowolna funkcje
•" : A × A - A.
DEFINICJA 178
DziaÅ‚anie •" : A × A - A nazywamy
a) łacznym wtw gdy "a, b, c " A spełniony jest warunek
(a •" b) •" c = a •" (b •" c),
b) przemiennym wtw gdy "a, b " A spełniony jest warunek
a •" b = b •" a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że dziaÅ‚anie wewnetrzne •" : A × A - A ma element
neutralny wtw gdy "e " A : "A " A a •" e = e •" a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewnetrznym w zbiorze A nazywamy dowolna funkcje
•" : A × A - A.
DEFINICJA 178
DziaÅ‚anie •" : A × A - A nazywamy
a) łacznym wtw gdy "a, b, c " A spełniony jest warunek
(a •" b) •" c = a •" (b •" c),
b) przemiennym wtw gdy "a, b " A spełniony jest warunek
a •" b = b •" a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że dziaÅ‚anie wewnetrzne •" : A × A - A ma element
neutralny wtw gdy "e " A : "A " A a •" e = e •" a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 177
Działaniem wewnetrznym w zbiorze A nazywamy dowolna funkcje
•" : A × A - A.
DEFINICJA 178
DziaÅ‚anie •" : A × A - A nazywamy
a) łacznym wtw gdy "a, b, c " A spełniony jest warunek
(a •" b) •" c = a •" (b •" c),
b) przemiennym wtw gdy "a, b " A spełniony jest warunek
a •" b = b •" a.
DEFINICJA 179
Mówimy, że dziaÅ‚anie wewnetrzne •" : A × A - A ma element
neutralny wtw gdy "e " A : "A " A a •" e = e •" a = a.
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli dziaÅ‚anie •" ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a " A nazywamy taki element u " A, że a •" u = u •" a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z dziaÅ‚aniem Å‚acznym •" z elementem neutralnym speÅ‚niajacy
warunek dla każdego a " A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grupa. Jeżeli ponadto •" jest dziaÅ‚aniem przemiennym to grupe (A, •")
nazywamy grupa przemienna lub grupa abelowa lub grupa Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " to
mówimy, że dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •" wtw gdy
"a, b, c spełniony jest warunek
a " (b •" c) = (a " b) •" (a " c) oraz (a •" b) " c = (a " c) •" (b " c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli dziaÅ‚anie •" ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a " A nazywamy taki element u " A, że a •" u = u •" a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z dziaÅ‚aniem Å‚acznym •" z elementem neutralnym speÅ‚niajacy
warunek dla każdego a " A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grupa. Jeżeli ponadto •" jest dziaÅ‚aniem przemiennym to grupe (A, •")
nazywamy grupa przemienna lub grupa abelowa lub grupa Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " to
mówimy, że dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •" wtw gdy
"a, b, c spełniony jest warunek
a " (b •" c) = (a " b) •" (a " c) oraz (a •" b) " c = (a " c) •" (b " c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 180
Jeżeli dziaÅ‚anie •" ma element neutralny e to elementem przeciwnym do
elementu a " A nazywamy taki element u " A, że a •" u = u •" a = e.
DEFINICJA 181
Zbiór A z dziaÅ‚aniem Å‚acznym •" z elementem neutralnym speÅ‚niajacy
warunek dla każdego a " A istnieje element przeciwny do a nazywamy
grupa. Jeżeli ponadto •" jest dziaÅ‚aniem przemiennym to grupe (A, •")
nazywamy grupa przemienna lub grupa abelowa lub grupa Abela.
DEFINICJA 182
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " to
mówimy, że dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •" wtw gdy
"a, b, c spełniony jest warunek
a " (b •" c) = (a " b) •" (a " c) oraz (a •" b) " c = (a " c) •" (b " c).
ELEMENTY ALGEBRY
DEFINICJA 183
Jeżeli w zbiorze A okreÅ›lone sa dwa dziaÅ‚ania wewnetrzne •", " takie, że
spełnione sa warunki
1) (A, •") jest grupa przemienna z elementem neutralnym e0,
2) (A \ {e0}, ") jest grupa przemienna z elementem neutralnym e1 = e0,
3) dziaÅ‚anie " jest rozdzielne wzgledem dziaÅ‚ania •"
to (A, •", ") nazywamy ciaÅ‚em.
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R2 = R × R okreÅ›lamy dwa dziaÅ‚ania •", " "(a, b), (c, d) " R2
wzorami
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) " (c, d) = (a · c - b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaja zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R2 z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla •" i ".
ELEMENTY ALGEBRY
TWIERDZENIE 184
W zbiorze R2 = R × R okreÅ›lamy dwa dziaÅ‚ania •", " "(a, b), (c, d) " R2
wzorami
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) " (c, d) = (a · c - b · d, a · d + b · c),
gdzie + i · oznaczaja zwyczajne dodawanie i mnożenie w zbiorze liczb
rzeczywistych.
R2 z powyżej określonymi działaniami jest ciałem z elementami
neutralnymi (0, 0) i (1, 0) odpowiednio dla •" i ".
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Aaczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Aaczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Aaczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Aaczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Wykażemy, że (R2, •") jest grupa przemienna.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •" wynika w oczywisty sposób z wewnetrznoÅ›ci
dziaÅ‚aÅ„ + i · w zbiorze liczb rzeczywistych.
Aaczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a, b) •" ((c, d) •" (p, q)).
L = ((a, b) •" (c, d)) •" (p, q) = (a + c, b + d) •" (p, q) = (a + c + p, b + d + q)
Z drugiej strony
P = (a, b)•"((c, d)•"(p, q)) = (a, b)•"(c+p, d+q) = (a+c+p, b+d+q).
Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b)
(a, b) •" (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b)
oraz
(0, 0) •" (a, b) = (0 + a, 0 + b) = (a, b).
Zatem (0, 0) jest elementem neutralnym dla •".
Element przeciwny. "(a, b)
(a, b) •" (-a, -b) = (a + (-a), b + (-b)) = (a - a, b - b) = (0, 0).
podobnie
(-a, -b) •" (a, b) = ((-a) + a, (-b) + b) = (0, 0).
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 ma element przeciwny postaci
(-a, -b) " R2.
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2
(a, b) •" (c, d) = (a + c, b + d) =" (c + a, d + b) = (c, d) •" (a, b).
"
Równość wynika z premienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych.
Wykażemy, że (R2 \ {(0, 0)}, ") jest grupa.
Wewnetrzność dziaÅ‚ania •". Wykażemy, że "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)} oraz
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c - b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a stad
ac - bd = 0
bc + ad = 0
Rozwiazujemy powyższy układ traktujac c i d jako niewiadome.
W = a2 + b2, Wc = 0, Wd = 0.
Ponieważ (a, b) = (0, 0) wiec W = 0 zatem układ ma dokładnie jedno
rozwiazanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewnetrzności " w zbiorze R2 \ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Dla dowodu niewprost przypuśćmy, że (a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)} oraz
(a, b) •" (c, d) = (0, 0)
Mamy (a · c - b · d, a · d + b · c) = (0, 0),
a stad
ac - bd = 0
bc + ad = 0
Rozwiazujemy powyższy układ traktujac c i d jako niewiadome.
W = a2 + b2, Wc = 0, Wd = 0.
Ponieważ (a, b) = (0, 0) wiec W = 0 zatem układ ma dokładnie jedno
rozwiazanie (c, d) = (0, 0). Otrzymana sprzeczność dowodzi
wewnetrzności " w zbiorze R2 \ {(0, 0)}.
ELEMENTY ALGEBRY
Aaczność. Pokażemy, że "(a, b), (c, d)(p, q) " R2
((a, b) " (c, d)) " (p, q) = (a, b) " ((c, d) " (p, q)).
L = ((a, b) " (c, d)) " (p, q) = (ac - bd, ad + bc) " (p, q)
= ((ac - bd)p - (ad + bc)q, (ac - bd)q + (ad + bc)p)
= (acp - bdp - adq - bcq, acq - bdq + adp + bcp)
Z drugiej strony
P = (a, b) " ((c, d) " (p, q)) = (a, b) " (cp - dq, cq + dp)
= (a(cp - dq) - b(cq + dp), a(cq + dp) + b(cp - dq))
= (acp - adq - bcq - bdp, acq + adp + bcp - bdq)) =
(acp - bdp - adq - bcq, acq - bdq + adp + bcp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P.
ELEMENTY ALGEBRY
Element neutralny. Mamy "(a, b) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) " (1, 0) = (a, b)
oraz
(1, 0) " (a, b) = (a, b).
Zatem (1, 0) jest elementem neutralnym dla ".
Element przeciwny. "(a, b) " R2 \ {(0, 0)}
a -b a2 + b2
(a, b) + ( , ) = ( , 0) = (1, 0).
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Podobnie
a -b a2 + b2
( , ) + (a, b) = ( , 0) = (1, 0).
a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
Zatem każdy element postaci (a, b) " R2 \ {(0, 0)} ma element odwrotny
a -b
postaci ( , ) " R2 \ {(0, 0)}.
a2 + b2 a2 + b2
ELEMENTY ALGEBRY
Przemienność. "(a, b), (c, d) " R2 \ {(0, 0)}
(a, b) " (c, d) = (ac - bd, bc + ad) =" (ca - db, cb + da) = (c, d) " (a, b).
"
Równość wynika z premienności mnożenia w zbiorze liczb rzeczywistych.
Pozostaje wykazać rozdzielność " wzgledem •" czyli, że
"(a, b), (c, d)(p, q) " R2
(a, b) " ((c, d) •" (p, q)) = ((a, b) " (c, d)) •" ((a, b) " (p, q)).
L = (a, b) " ((c, d) •" (p, q)) = (a, b) " (c + p, d + q)
= (a(c + p) - b(d + q), a(d + q) + b(c + p)) =
(ac + ap - bd - bq, ad + aq + bc + bp)
((a, b) " (c, d)) •" ((a, b) " (p, q))
= (ac-bd, ad+bc)•"((ap-bq, aq+bp) = (ac+ap-bd-bq, ad+aq+bc+bp).
Ostatnia równość wynika z przemienności dodawania w zbiorze liczb
rzeczywistych. Zatem L = P. Dowód Twierdzenia jest wiec zakończony.
LICZBY ZESPOLONE
UWAGA 185
Liczby zespolone postaci (x, 0), (y, 0) możemy identyfikowac z liczbami
rzeczywistymi x, y.
RzeczywiÅ›cie (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) oraz (x, 0) + ·(y, 0) = (xy, 0).
Wykonywanie działań w podzbiorze {(a, 0) : a " R zbioru liczb
zespolonych polega na wykonywaniu zwykłych działań na liczbach
rzeczywistyc na pierwszych elementach pary
Dowolną liczbę zespoloną z = (a, b), gdzie a, b " R możemy przedstawić
w postaci z = (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1). OznaczajÄ…c LiczbÄ™ (0, 1)
przez i i identyfikujÄ…c liczby postaci (x, 0) zliczbÄ… rzeczywistÄ… x
otrzymamy z = a + bi.
LICZBY ZESPOLONE
DEFINICJA 186
Dla danej liczby zespolonej z = a + bi, gdzie a, b " R definiujemy
cześć rzeczywista Re z = a
cześć urojona Im z = b
sprzeżenie z = - bi
"a
moduł |z| = a2 + b2
b
oraz arg z jako dowola liczbe rzeczywista Õ dla; której sin Õ = "
a2 + b2
a
cos Õ = " . Jeżeli arg z " [0, 2Ä„) to nazywamy go argumentem
a2 + b2
głównym i oznaczamy przez Arg z.
DEFINICJA 187
Dowolna liczbe zespolona z możemy przedstawić w postaci nazywanej
postacia trygonometryczna liczby zespolonej
z = |z|(cosÕ + i sin Õ), gdzie Õ = arg z.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 188
Mnożac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej mnożymy moduły
i dodajemy argumenty.
DOWÓD:
Niech z1 = |z1|(cosÕ1 + isin Õ1) i z2 = |z2|(cosÕ2 + isin Õ2) wtedy
z1 · z2 = |z1|(cosÕ1 + i sin Õ1) · |z2|(cosÕ2 + i sin Õ2) =
|z1||z2| (cosÕ1cosÕ2 - sin Õ1sin Õ2 + i(cosÕ1sin Õ2 + sinÕ1cos Õ2)) =
|z1||z2|(cos(Õ1 + Õ2) + i sin (Õ1 + Õ2)).
TWIERDZENIE 189
Dzielac liczby zespolone w postaci trygonometrycznej dzielimy moduły i
odejmujemy argumenty.
TWIERDZENIE 190
Podnoszac liczbe zespolona w postaci trygonometrycznej do potegi n
podnosimy moduł do potegi n i mnożymy argument oprzez n.
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
|z|(cosÕ + i sin Õ), sa postaci Ék = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 Ä… z2 = z1 Ä… z2
z1 · z2 = z1 · z2
i jeśli z2 = 0 to
z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 191
Wszystkie pierwiastki stopnia n liczby zespolonej
Õ + 2kÄ„ Õ + 2kÄ„
n
|z|(cosÕ + i sin Õ), sa postaci Ék = |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k " {0, 1, 2, 3, . . . , n - 1}.
TWIERDZENIE 192
Niech z1, z2 " C wtedy
z1 Ä… z2 = z1 Ä… z2
z1 · z2 = z1 · z2
i jeśli z2 = 0 to
z1 z1
= .
z2 z2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to
z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKAAD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to
z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKAAD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to
z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKAAD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to
z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKAAD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
TWIERDZENIE 193
Niech z1, z2 " C wtedy
|z1 · z2| = |z1| · |z2|,
|z1 + z2| d" |z1| + |z2|,
i jeśli z2 = 0 to
z1 |z1|
| | = .
z2 |z2|
PRZYKAAD 194
Obliczyć (1 + i)10.
"
Ä„
Niech z = 1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
"
10
10Ä„ 10Ä„ Ä„ Ä„
z10 = 2 (cos + isin ) = 25(cos + isin ) = 32i
4 4 2 2
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
LICZBY ZESPOLONE
PRZYKAAD 195
"
3
Obliczyć -1 + i.
"
3Ä„
Niech z = -1 + i wówczs |z| = 2 zaś Arg z = .
4
" "
" "
6 6
Ä„ Ä„ 2 2
É1 = 2(cos + i · sin )) = 2( + i ),
4 4 2 2
" "
6 6
2Ä„ 2Ä„ 11Ä„ 11Ä„
É2 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + )) = 2(cos + i · sin ),
4 3 4 3 12 12
" "
6 6
4Ä„ 4Ä„ 19Ä„ 19Ä„
É3 = 2(cos (Ä„ + ) + i · sin (Ä„ + ) = 2(cos + i · sin ).
4 3 4 3 12 12
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2010 11 07 WIL Wyklad 072011 01 09 WIL Wyklad 17(1)1 232011 01 09 WIL Wyklad 172011 01 09 WIL Wyklad 17id 5212011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)2011 01 09 WIL Wyklad 162010 11 WIL Wyklad 01Analiza Finansowa Wykład 01 07 10 099 01 07 drzewa binarne2011 02 21 WIL Wyklad 19id 52301 07 Engine Introduction2010 11 06 WIL Wyklad 061 212010 12 10 WIL Wyklad 102011 02 21 WIL Wyklad 20(1)więcej podobnych podstron