MINISTERSTWO EDUKACJI
NARODOWEJ
Leszek Wiatr
Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania
pomiarów geodezyjnych 311[10].Z1.07
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji  Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2007
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
Recenzenci:
dr in\
. Bo\
ena Wasielewska
mgr in\
. Sylwia Mikulska
Opracowanie redakcyjne:
mgr in\
. Barbara Kapruziak
Konsultacja:
mgr Małgorzata Sienna
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[10].Z1.07
 Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych ,
zawartej w modułowym programie nauczania dla zawodu technik geodeta.
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji  Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2007
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
1
SPIS TREÅšCI
1. Wprowadzenie 3
2. Wymagania wstępne 5
3. Cele kształcenia 6
4. Materiał nauczania 7
4.1. Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania wyników pomiarów 7
4.1.1. Materiał nauczania 7
4.1.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 27
4.1.3. Ćwiczenia 27
4.1.4. Sprawdzian postępów 28
4.2. Wyrównanie metodą pośredniczącą 29
4.2.1. Materiał nauczania 29
4.2.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 50
4.2.3. Ćwiczenia 50
4.2.4. Sprawdzian postępów 51
4.3. Wyrównanie spostrze\
eń metodą warunkową 52
4.3.1. Materiał nauczania 52
4.3.2. Pytania sprawdzajÄ…ce 60
4.3.3. Ćwiczenia 61
4.3.4. Sprawdzian postępów 62
5. Sprawdzian osiągnięć 63
6. Literatura 68
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
2
1. WPROWADZENIE
Poradnik będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o wykorzystaniu teorii błędów do
opracowywania wyników pomiarów geodezyjnych.
W poradniku znajdziesz:
- wymagania wstępne, czyli wykaz umiejętności jakie powinieneś mieć ju\
ukształtowane,
abyś bez problemów mógł korzystać z poradnika,
- cele kształcenia, czyli wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy
z poradnikiem,
- materiał nauczania, czyli wiadomości teoretyczne niezbędne do opanowania treści
jednostki modułowej,
- zestaw pytań, abyś mógł sprawdzić, czy ju\
opanowałeś określone treści,
- ćwiczenia, które pomogą Ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować
umiejętności praktyczne,
- sprawdzian postępów i osiągnięć - przykładowy zestaw zadań. Zaliczenie testu
potwierdzi opanowanie materiału całej jednostki modułowej.
Wykorzystanie teorii błędów jest zagadnieniem sprawiającym trudności w zrozumieniu
i opanowaniu materiału przez przyszłych geodetów. W związku z tym, przy omawianiu
poszczególnych zagadnień, w poradniku zastosowano szereg ró\
norodnych przykładów, aby
wprowadzić Cię na właściwy tok myślenia.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
3
 311[10].Z1
Mapa sytuacyjno-wysokościowa
311[10].Z1.01
Stosowanie instrumentów geodezyjnych
311[10].Z1.02
Opracowywanie mapy sytuacyjnej
311[10].Z1.03
Aktualizacja mapy sytuacyjnej na podstawie
pomiarów terenowych
311[10].Z1.04
Opracowywanie przekrojów podłu\
nych
i poprzecznych
311[10].Z1.05
Wykonywanie mapy warstwicowej
311[10].Z1.06
Stosowanie rachunku współrzędnych
w obliczeniach geodezyjnych
311[10].Z1.07
Wykorzystywanie teorii błędów do
opracowywania pomiarów geodezyjnych
311[10].Z1.08
Projektowanie, pomiar i wyrównanie
szczegółowej osnowy geodezyjnej
311[10].Z1.09
Wykonywanie pomiarów sytuacyjnych
i sytuacyjno-wysokościowych
311[10].Z1.10
SporzÄ…dzenie mapy
sytuacyjno-wysokościowej na podstawie
pomiarów terenowych
311[10].Z1.11
Stosowanie technologii GPS w pomiarach
geodezyjnych
Schemat układu jednostek modułowych
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
4
2. WYMAGANIA WST
PNE
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
- posługiwać się podstawowymi pojęciami z zakresu pomiarów geodezyjnych,
- stosować podstawowe zasady rachunku prawdopodobieństwa,
- stosować zasady zaokrąglania i zapisu liczb,
- stosować działania na liczbach przybli\
onych (reguły Kryłowa-Bradisa),
- obliczać pochodne funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych,
- przeliczać kąty wyra\
one w stopniach, gradach lub radianach,
- korzystać z ró\
nych z
ródeł informacji,
- obsługiwać komputer,
- współpracować w grupie.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
5
3. CELE KSZTAA
CENIA
W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:
- rozró\
nić z
ródła błędów i dokonać ich podziału,
- scharakteryzować rodzaje błędów występujących w pomiarach geodezyjnych,
- określić zadania rachunku wyrównawczego,
- posłu\
yć się podstawową wiedzą z zakresu rachunku wyrównawczego,
- określić miary charakteryzujące dokładność pomiarów,
- zastosować prawo przenoszenia się błędów średnich Gaussa,
- wyrównać spostrze\
enia bezpośrednie jednakowo dokładne,
- wyrównać spostrze\
enia bezpośrednie niejednakowo dokładne,
- wyrównać pary spostrze\
eń,
- wyrównać spostrze\
enia pośredniczące,
- zastosować metodę warunkową,
- wyrównać spostrze\
enia zawarunkowane,
- wyrównać spostrze\
enia metodami ścisłymi z wykorzystaniem komputerowych,
programów obliczeniowych.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
6
4. MATERIAA
NAUCZANIA
4.1. Wykorzystywanie teorii błędów do opracowywania
wyników pomiarów
4.1.1. Materiał nauczania
y
ródła błędów spostrze\
eń
Wyniki pomiarów geodezyjnych zwane tak\
e obserwacjami lub częściej spostrze\
eniami
(L1, L2, & Ln) nigdy nie są bezbłędne, lecz stanowią jedynie wartości przybli\
one pewnych
nieznanych wartości prawdziwych wielkości mierzonych. Spostrze\
enia obarczone sÄ…
licznymi błędami wynikającymi z niedoskonałości przyrządów pomiarowych, zmysłów
obserwatora oraz zmienności warunków atmosferycznych i środowiskowych podczas
wykonywania pomiarów.
W zale\
ności od z
ródeł powstawania i charakteru ich wpływu na rezultat pomiaru mo\
na
dokonać podziału błędów na trzy grupy:
a) błędy grube tzw. omyłki, które spowodowane są niedyspozycją lub nieuwagą
obserwatora. Typowym przykładem błędu grubego jest zapisanie błędnej ilości pełnych
przyło\
eń taśmy. Zastąpienie ręcznego notowania obserwacji w dziennikach
pomiarowych przez elektroniczny zapis danych pomiarowych znacznie zmniejsza
prawdopodobieństwo popełnienia błędów grubych.
Błędy grube muszą być bezwzględnie wyeliminowane z materiału obserwacyjnego przed
przystąpieniem do wyrównania.
b) błędy systematyczne, które powstają wskutek działania ustalonych prawidłowości
w określonych warunkach pomiaru.
y
ródła tych błędów mogą wynikać z następujących przyczyn:
 instrumentalnych, spowodowanych wadami instrumentów (przymiarów,
niwelatorów, teodolitów, dalmierzy itp.)
 osobowych, związanymi ze stałymi nawykami obserwatora np. błędu celowania
 środowiskowych, wynikających z działania znanych praw związanych z określonymi
warunkami pomiaru np. nieuwzględnienie temperatury, ciśnienia atmosferycznego
czyrefrakcji atmosferycznej.
Błędy systematyczne są przewa\
nie stałe co do znaku i wartości liczbowej np. błąd
miejsca zera podczas pomiaru kątów pionowych. Błędy systematyczne usuwamy
z wyników obserwacji w miarę ich ujawniania
c) błędy przypadkowe, które mają charakter losowy i w przeciwieństwie do błędów grubych
i systematycznych sÄ… niemo\
liwe do wyznaczenia i wyeliminowania ze względu na ich
losową zmienność co do wartości liczbowej jak i znaku.
Błędy te występują w ró\
nym nasileniu i wynikajÄ… z mniej lub bardziej znanych przyczyn
trudnych do ścisłego określenia takich jak: niedoskonałość instrumentu i wzroku
obserwatora zmienne warunki atmosferyczne czy oświetleniowe. Podczas pomiarów
prawdopodobieństwo popełnienia błędów przypadkowych ze znakami plus i minus jest
jednakowe.
Rodzaje błędów:
BÅ‚Ä…d prawdziwy  µ jest to ró\
nica między wartością pomierzoną  L0 i wartością
prawdziwÄ… spostrze\
enia  X :
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
7
µ = Lo  X
czyli
X = Lo  µ
W równaniu tym znana jest tylko wartość pomierzona, poniewa\
wartość prawdziwa
wielkości mierzonej jest z reguły nieznana, zatem nie jest tak\
e znany błąd prawdziwy
spostrze\
enia. W praktyce geodezyjnej dÄ…\
ymy do uzyskania wartości najbli\
szych wartości
prawdziwej. Będzie to wartość najbardziej prawdopodobna, otrzymana z wyrównania
spostrze\
eń.
BÅ‚Ä…d pozorny spostrze\
enia  -v jest to ró\
nica pomiędzy wartością pomierzoną
i wartością wyrównaną spostrze\
enia  Lw .
-v = Lw  Lo
Poprawka wyrównawcza  v jest to wielkość równa błędowi pozornemu, lecz
z przeciwnym znakiem. Wartość poprawki  v nale\
y dodać do spostrze\
enia  Lo aby
otrzymać jego wartość wyrównaną  Lw
Lo + v = Lw
Zadania rachunku wyrównawczego
Ka\
dy pomiar jakiejkolwiek wielkości niewiadomej zawsze jest obcią\
ony większym lub
mniejszym błędem przypadkowym. Dlatego te\
, je\
eli do wyznaczenia jakiejkolwiek
wielkości pojedynczej czy większej liczby niewiadomych, związanych znanymi funkcyjnymi
zale\
nościami z pośrednio mierzonymi wielkościami, wykonamy więcej spostrze\
eń ni\
to
jest niezbędne dla jednoznacznego wyznaczenia niewiadomych, to na ogół nie otrzymamy
jednoznacznego rozwiązania zadania. Wykorzystując wyniki bezpośrednich pomiarów
ka\
dorazowo otrzymamy inny wynik dla szukanej wielkości, wyniki będą jednak zbli\
one do
siebie. W związku z tym powstaje zagadnienie ustalenia na podstawie wyników
bezpośrednich spostrze\
eń, takich wartości niewiadomych, które byłyby najbardziej
prawdopodobne. W tym celu nale\
y wyniki obserwacji tak między sobą uzgodnić, aby
dawały jednoznacznie najbardziej prawdopodobne rozwiązanie. Uzgodnienie to nosi ogólną
nazwę rachunku wyrównawczego i polega na tym, \
e do wyników bezpośrednich spostrze\
eń
nale\
y obliczyć tak\
e poprawki  v , aby wielkości poprawione dały jednoznaczny układ
wartości niewiadomych.
Podstawy rachunku wyrównawczego.
Błędy przypadkowe mo\
na uznać za zdarzenia losowe, do których stosuje się zasady
rachunku prawdopodobieństwa i teorii błędów. Prawdopodobieństwo wystąpienia błędów
przypadkowych zostało ustalone przez niemieckiego matematyka i geodetę C. F. Gaussa
(1777 1855) w postaci prawa błędów Gaussa-Laplace a, a wykresem jest krzywa
prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego zwana krzywą de Moivre a-Gaussa
(rys. 1), gdzie Ć(µ) jest funkcjÄ… okreÅ›lajÄ…cÄ… zmiany prawdopodobieÅ„stwa pojawienia siÄ™ bÅ‚Ä™du
 µi .
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Rys. 1. Krzywa prawdopodobieÅ„stwa popeÅ‚nienia bÅ‚Ä™du przypadkowego µ [opracowanie wÅ‚asne]
Z krzywej prawdopodobieństwa wynikają następujące wnioski:
- najbardziej prawdopodobne jest pojawienie siÄ™ bÅ‚Ä™du przypadkowego  µ równego zero,
- prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej, lecz z ró\
nymi znakami
jest jednakowe,
- prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe ni\
prawdopodobieństwo błędu
większego,
- zwiększenie dokładności pomiaru powoduje zmniejszenie prawdopodobieństwa
pojawienia się błędów o du\
ych wartościach liczbowych,
- przy zwiększeniu liczby spostrze\
eÅ„  n suma bÅ‚Ä™dów przypadkowych [µ] dÄ…\
y do zera.
Zgodnie z zało\
eniami Gaussa funkcja rozkładu błędów przypadkowych osiąga
maksimum (największą wiarygodność) przy spełnieniu warunku
[µµ] = minimum
Najbardziej wiarygodne byÅ‚oby, gdyby poprawki  vi byÅ‚y równe bÅ‚Ä™dom prawdziwym  µi
z przeciwnym znakiem
[vv] = minimum
Miary dokładności spostrze\
eń
Błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji mogą być
następujące:
- błąd absolutny  ma przypadający na całą nieznaną wielkość
- błąd względny  mw przypadający na jednostkę mierzonej wielkości, czyli stosunek
błędu absolutnego do mierzonej wielkości  d . Błąd ten wyra\
amy za pomocą ułamka
z jednością w liczniku i stosujemy tylko przy charakteryzowaniu dokładności pomiaru
długości lub powierzchni
ma
d
mw =
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
9
- błąd średni pojedynczego spostrze\
enia  m obliczony na podstawie błędów
prawdziwych
[µµ]
n
m =
gdzie  n jest liczbą błędów prawdziwych, a więc i liczbą spostrze\
eń. Wobec braku
mo\
liwości określenia błędów prawdziwych wzór ten jest rzadko stosowany.
W przypadku, gdy błędy prawdziwe nie są znane, średni błąd pojedynczego
spostrze\
enia, obliczamy na podstawie błędów pozornych  v
[vv]
n -1
m =
- błąd graniczny  g , którego nazwa pochodzi stąd, \
e jego przekroczenie jest mało
prawdopodobne. Błąd ten wyznacza największą wartość błędu dopuszczalnego dla
danego pomiaru i przyjmowany jest zwykle, jako trzykrotna wartość błędu średniego
g = 3 m
W praktyce przyjmuje siÄ™ , \
e  g znajduje siÄ™ w przedziale
2m d" g d" 3 m
Przykład 1
Długość boku poligonowego zmierzono 4-krotnie taśmą stalową uzyskując wyniki:
L1 = 195,46 m
L2 = 195,48 m
L3 = 193,50 m
L4 = 195,45 m
Oblicz błąd średni i graniczny, je\
eli za długość prawdziwą przyjmiemy długość
zmierzonÄ… tachimetrem elektronicznym, wynoszÄ…cÄ… L = 195,456 m
µi = Li  L
µ1 =L1  L = 195,46  195, 456 = 0,004 m
µ2 =L2  L = 195,48  195, 456 = 0,024 m
µ3 =L3  L = 195,50  195, 456 = 0,044 m
µ4 =L4  L = 195,45  195, 456 =  0,006 m
[µµ]
n
m =
2
0,0042 + 0,0242 + 0,0442 + (- 0,006)
m = Ä…
4
m = Ä…0,024 [m]
g = 3 . m
g = Ä…0,075 [m]
Je\
eli błędy prawdziwe poszczególnych spostrze\
eń nie przekraczają błędu granicznego,
to wówczas spostrze\
enia te bierzemy do wyrównania. Je\
eli błąd dowolnego spostrze\
enia
jest większy od błędu granicznego to wówczas spostrze\
enia tego nie uwzględniamy przy
wyrównaniu.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
10
Przykład 2
Pomierzyliśmy długość L = 200 m ze średnim błędem m = ą2 cm. Oblicz błąd względny
tej długości.
m
mw =
L
Ä…2cm Ä…2cm 1
mw = = = Ä… = Ä…0,0001
200m 20000cm 10000
mw = 100ppm
(parts per million)
Własności średniej arytmetycznej i błędów pozornych
Obserwacje L1, L2, & Ln otrzymane w wyniku pomiarów tej samej wielkości, stanowiącej
niewiadomÄ…, nazywamy spostrze\
eniami bezpośrednimi. Niezale\
nie od zwiększania liczby
pomiarów  n , nieznana wartość prawidłowa  X tej wielkości nie daje się określić.
Poszukujemy, zatem jej najbardziej prawdopodobną wartość  x spełniającą związek:
x = Li + vi
Uwzględniając zasadę, \
e [vv] = min., otrzymujemy:
[vv] = (x L1)2+(x L2)2+& +(x Ln)2 = n.x2 2x.[L]+[LL]
Otrzymana funkcja przedstawia funkcjÄ™ typu y = ax²+bx+c, minimum tej funkcji wystÄ™puje
- b [L]
= -
dla wartości xmin = . Poniewa\
a = n, b 2. [L], więc x = .
2a n
Najbardziej prawdopodobną wartością dla spostrze\
eń L1, L2, & Ln jest średnia arytmetyczna,
czyli suma spostrze\
eń podzielona przez liczbę pomiarów. Dla uniknięcia du\
ych liczb
średnią arytmetyczną mo\
emy obliczać za pomocą wartości przybli\
onej  xo
["L]
n
x = xo +
Wielkość  xo mo\
e mieć dowolną wartość, jednak dla wygody obliczeń najprościej jest
przyjąć jako  xo najmniejsze ze spostrze\
eń. Wielkości "L stanowią ró\
nicę pomiędzy
kolejnymi spostrze\
eniami a wartością  xo
"Li = Li  xo
Po wyznaczeniu średniej arytmetycznej obliczamy poprawki poszczególnych spostrze\
eń
vi = x  Li
Poniewa\
suma poprawek spełnia zale\
ność [v] = n.x  [L], to podstawiając do równania
[L]
wartość x = , otrzymamy [v] = 0.
n
Oceny dokładności pomiaru i wielkości wyrównanych dokonujemy przez obliczenie
średniego błędu pojedynczego spostrze\
enia
[vv]
n -1
m = Ä…
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
11
oraz średniego błędu średniej arytmetycznej  mx
[vv]
n Å"(n-1)
mx = Ä…
Przykład 3
Długość boku zmierzono siedmiokrotnie. Oblicz wartość najprawdopodobniejszą
zmierzonej długości, średni błąd pojedynczego pomiaru oraz średni błąd
najprawdopodobniejszej długości.
Dane z pomiaru:
L1 = 195,45 m
L2 = 195,42 m
L3 = 193,47 m
L4 = 195,40 m
L5 = 195,39 m
L6 = 195,50 m
L7 = 193,46 m
Przyjmujemy wartość przybli\
oną (najlepiej przyjąć najmniejszą z wartości) L0 = 195,39 m.
Wartość najprawdopodobniejszą obliczymy ze wzoru:
"Li
Lw = L0 +
n
"Li = Li - L0
0.36
Lw = 195.39 + =195, 44m
7
Obliczenie wartości poprawek do spostrze\
eń:
v1 = Lw  L1 = 195,44  194,45 =  0,01
v2 = Lw  L2 = 195,44  194,42 = + 0,02
v3 = Lw  L3 = 195,44  194,47 =  0,03
v4 = Lw  L4 = 195,44  194,40 = + 0,04
v5 = Lw  L5 = 195,44  194,39 = + 0,05
v6 = Lw  L6 = 195,44  194,50 =  0,06
v7 = Lw  L7 = 195,44  194,46 =  0,02
Teoretyczna suma poprawek powinna równać się zero.
[v] =  0,01
Na skutek zaokrąglenia wartości najprawdopodobniejszej suma [v] `" 0, ale jest zbli\
ona do zera.
Średni błąd pojedynczego pomiaru
[vv]
n-1
m = Ä…
[vv] = 0,0095
n = 7
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
12
0,0095
m = Ä… = Ä…0,04m
6
Średni błąd najprawdopodobniejszej długości
[vv]
n Å"(n-1)
mL = Ä…
0,0095
7 Å"(7 -1)
= Ä…0,015m
mL = Ä…
Wyrównana długość boku wyniesie
Lw = 195,44m Ä… 0,015 m
lub
Lw = 195,44m Ä… 15 mm
Prawo przenoszenia się błędów
Poniewa\
wielkości obserwowane nie są bezbłędne, więc funkcje tych wielkości są tak\
e
obarczone błędami. Przy rozwiązywaniu zadań geodezyjnych często zachodzi potrzeba
określenia dokładności funkcji wielkości obserwowanych.
Do wyznaczenia średniego błędu funkcji wielkości obserwowanych, niezale\
nych od siebie,
których błędy średnie są znane, stosuje się sformułowane przez C.F. Gaussa prawo
przenoszenia się błędów średnich
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"F "F "F
Å" m1 + Å"m2 +Å"Å"Å" + Å"mn
ìÅ‚
"L1 ÷Å‚ ìÅ‚ "L2 ÷Å‚ ìÅ‚ "Ln ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
mF =
gdzie:
mF  błąd średni funkcji,
Li  wielkość obserwowana,
mi  średni błąd wielkości obserwowanej,
"F
 pochodna cząstkowa funkcji względem ustalonej wielkości obserwowanej.
"L
Błąd średni funkcji obserwacji jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów pochodnych
czÄ…stkowych pomno\
onych przez odpowiadające im średnie błędy zmiennych niezale\
nych.
WagÄ™ funkcji wyra\
a siÄ™ wzorem
2 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 "F 1 "F 1 "F 1
= Å" + Å" +... + Å"
pF ìÅ‚ "L1 ÷Å‚ p1 ìÅ‚ "L2 ÷Å‚ p2 ìÅ‚ "Ln ÷Å‚ pn
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
13
Tabela 1. Zestawienie pochodnych funkcji najczęściej występujących w zadaniach geodezyjnych [opracowanie
własne]
Lp. Nazwa funkcji Funkcja Pochodna
1 Stała y = c y = 0
2 Niewiadoma y = x y = 1
3 Potęga y = xn y = n . xn-1
4 Iloczyn liczby i potęgi y = axn y = n.a.xn-1
1
=
5 Pierwiastek
y = x
2 x
y
6 Suma lub ró\
nica y = f(x)Ä…g(x) y = f  (x)Ä…g (x)
7 Iloczyn y = f(x)Å"g(x) y = f  (x).g(x)+f(x).g (x)
'
f (x) f (x)Å"g(x) - f (x)Å"g'(x)
y = =
8 Iloraz
g(x) g2(x)
y
1
1
= -
9 Odwrotność y =
x2
x
y
10 Sinus y = sinx y = cosx
11 Cosinus y = cosx y = -sinx
1
= = 1+ tg2x
12 Tangens y = tgx
cos2 x
y
1
= - = -(1+ ctg2x)
13 Cotangens y = ctgx
sin2 x
y
1
=
14 Arcus sinus y = arc sinx
1- x2
y
1
= -
15 Arcus cosinus y = arc cosx
1- x2
y
1
=
16 Arcus tangens y = arc tgx
1+ x2
y
1
= -
17 Arcus cotangens y = arc ctgx
1+ x2
y
y = g[f(x)]
18 ZÅ‚o\
ona y = g (u) . f  (x)
gdzie f(x) = u
Przykład 4
Działka budowlana ma kształt trapezu (rys. 2). Pomierzono w niej dwa boki równoległe
(a i b) oraz wysokość (h). Oblicz powierzchnię działki oraz jej błąd średni.
Rys. 2. Działka w kształcie trapezu [opracowanie własne]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
14
Dane uzyskane z pomiaru:
a = 10,00 m Ä…0,15 m
b = 15,00 m Ä…0,20 m
h = 5,00 m Ä…0,10 m
Powierzchnia działki (funkcja spostrze\
eń)
a + b
P = Å" h
2
10m +15m
P = Å"5m = 62,50m2
2
Średni błąd powierzchni obliczamy ze wzoru
2 2 2
"P "P "P
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
mp = Ä… Å" ma + Å" m2 + Å" m2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ b ìÅ‚ ÷Å‚ h
"a "b "h
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
gdzie:
"P h
=
"a 2
"P h
=
"b 2
"P a + b
=
"h 2
PodstawiajÄ…c wyliczone pochodne czÄ…stkowe do wzoru, otrzymamy
2 2 2
h h a + b
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
mp = Ä… Å" ma + Å" m2 + Å" m2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ b ìÅ‚ ÷Å‚ h
2 2 2
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
mp = Ä… 2.52 Å"0,152 + 2.52 Å"0, 22 +12.52 Å"0,12 = Ä…1, 4m2
P = 62,5 m2Ä…1,4 m2
Przykład 5
Działka ma kształt kwadratu o długości boku 30 m. Z jaką dokładnością musimy
pomierzyć bok kwadratu, aby błąd obliczonej powierzchni działki nie przekraczał 2 m2?
Powierzchnia działki (funkcja spostrze\
eń)
P = a2
2
"P
ëÅ‚ öÅ‚
2
mp = Ä… Å" ma
ìÅ‚ ÷Å‚
"a
íÅ‚ Å‚Å‚
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
15
"P
= 2a
"a
mp = Ä…2a Å" ma
mp d" 2m2 to mp d" Ä…2a Å" ma
poniewa\

mp
ma d" Ä…
2a
stÄ…d
2m2
ma d" Ä…
2Å"30m
ma d" Ä…0,03m
Odp. Bok kwadratu nale\
y pomierzyć co najmniej z dokładnością ą3 cm.
Przykład 6
Działka ma kształt trójkąta prostokątnego (rys. 3). Obliczyć długość przeciwprostokątnej
 c mając dane przyprostokątne  a i  b , oraz podać z jakim błędem średnim  mc jest ona
obliczona.
Rys. 3. Działka w kształcie trójkąta [opracowanie własne]
Dane uzyskane z pomiaru:
a = 120,00 m Ä…0,06 m
b = 50,00 m Ä…0,02 m
Długość przeciwprostokątnej (funkcja spostrze\
eń)
c = a2 + b2
c = 1202 + 502 =130m
Średni błąd długości przeciwprostokątnej  mc wyniesie
2 2
"c "c
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
mc = Ä… Å" ma + Å" m2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ b
"a "b
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"c 1 a a
= Å"2a = =
"a
2 a2 + b2 a2 + b2 c
"c 1 b b
= Å"2b = =
"b
2 a2 + b2 a2 + b2 c
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
16
2 2
a b
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
2
mc = Ä… Å" ma + Å" m2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ b
c c
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
2 2
120 50
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
mc = Ä… Å"0,062 + Å"0,022 = Ä…0,06m
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
130 130
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
c = 130,00 m Ä…6 cm
Przykład 7
Zmierzono odległość  d pomiędzy punktami A i B oraz kąt nachylenia terenu  ą
(rys. 4). Obliczyć odległość  do , czyli odległość zredukowaną do poziomu odcinka A-B, oraz
określić błąd średni tej odległości.
Rys. 4. Pomiar odległości skośnej [opracowanie własne]
Dane uzyskane z pomiaru:
d = 280.00 m Ä…0,06 m
Ä… = 2°15'Ä…1'
Odległość  do zredukowana do poziomu (funkcja spostrze\
eń):
do = d. cos Ä…
do = 280m . cos2°15' = 279,78 m
"d0 2 2 "d0 2 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
md = Ä… Å" md + Å"mÄ…
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0
"d "d
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"d0
"d = cos Ä…
"d0
=
"d -d Å"sin Ä…
Á' = 3438'
2
2 2 ëÅ‚ mÄ… öÅ‚
2
md = Ä… cos Ä…) (-d Å"ìÅ‚ ÷Å‚
Å"md + Å"sin Ä…)
(
0
Á'
íÅ‚ Å‚Å‚
2
2 2
ëÅ‚ öÅ‚
1'
md = Ä… cos 2 15' Å"0,062 + -280Å"sin 2 15' Å"ìÅ‚ ÷Å‚
( ) ( )
0
3438'
íÅ‚ Å‚Å‚
md = Ä…0,06m
0
do = 279,78m Ä…0,06m = 279,78m Ä…6cm
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Spostrze\
enia bezpośrednie jednakowo dokładne, niejednakowo dokładne, pary
spostrze\
eń
Spostrze\
enia jednorodne wykonane tym samym przyrzÄ…dem i metodÄ… pomiaru,
w identycznych warunkach środowiska, przez tego samego obserwatora noszą nazwę
spostrze\
eń bezpośrednich jednakowo dokładnych. Wszystkie te spostrze\
enia L1, L2,& Ln
majÄ… charakter spostrze\
eń typowych, a więc charakteryzują się jednakowymi błędami
średnimi
m1 = m2 = & = mn = m
Wyniki pomiarów, dla których nie jest spełnione jedno z wcześniej wymienionych
zało\
eń (ten sam przyrząd metoda pomiaru, identyczne warunki środowiska, ten sam
obserwator) nazywamy spostrze\
eniami bezpośrednimi niejednakowo dokładnymi. Dla
zró\
nicowania dokładności tych spostrze\
eń przypisujemy ka\
demu z nich pewnÄ… dodatniÄ…
i niemianowaną liczbę  p zwaną wagą, określającą stopień naszego zaufania do danej
obserwacji. Spostrze\
enia dokładniejsze uzyskują większą wagę ni\
spostrze\
enia uzyskane
z pomiaru mniej dokładnego.
Szczególnym spostrze\
eniem pośród pomiarów niejednakowo dokładnych jest
spostrze\
enie o wadze równej jedności (nie musi występować w danym zbiorze obserwacji),
które nosi nazwę spostrze\
enia typowego a średni błąd  mo tego spostrze\
enia nazywamy
średnim błędem jednostkowym. Wszystkie spostrze\
enia jednakowo dokładne są
spostrze\
eniami typowymi, a więc ich wagi są równe jedności.
W pomiarach geodezyjnych bardzo często mamy do czynienia z obserwacjami znacznej
liczby jednorodnych wielkości o ró\
nych wartościach, z których ka\
dÄ… mierzymy dwukrotnie.
TakÄ… formÄ™ pomiaru nazywamy pomiarem parami. Je\
eli dysponujemy znacznÄ… liczbÄ…
jednorodnych wielkości, mierzonych dwukrotnie (parami), to mo\
emy obliczyć średnie błędy
takich spostrze\
eń, przy czym rozró\
niamy pomiary parami jednakowo i niejednakowo
dokładne.
Średnie błędy spostrze\
eń
Głównymi zadaniami procesów wyrównania są:
- określenie najbardziej prawdopodobnych wartości wyników pomiaru (spostrze\
eń),
- określenie najbardziej prawdopodobnych wartości szukanych wielkości (niewiadomych),
- dokonanie oceny dokładności materiału obserwacyjnego i wielkości wyrównanych.
Dla poszczególnych rodzajów spostrze\
eń będzie to wyglądało następująco:
a) spostrze\
enia bezpośrednie jednakowo dokładne L1, L2, & , Ln
 określenie najbardziej prawdopodobnej wartości  x mierzonej wielkości
[L]
n
x =
 określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrze\
eń
Li = x - vi
 dokładność pojedynczego spostrze\
enia tzw. średni błąd pojedynczego spostrze\
enia
[vv]
n-1
m = Ä…
 dokładność wielkości wyrównanej tzw. średni błąd średniej arytmetycznej
[vv]
n Å"(n -1)
mx = Ä…
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
18
b) spostrze\
enia bezpośrednie niejednakowo dokładne L1, L2, & , Ln
Wagi obserwacji niejednakowo dokładnych są odwrotnie proporcjonalnie do kwadratów
ich błędów średnich
1 1 1 1
p1 : p2 : p3...pn = : : :...
2 2
m1 m2 m3 m2
2 n
Dla i-tego spostrze\
enia oraz spostrze\
enia typowego mo\
emy napisać proporcje
1 1
pi : p0 = :
2 2
mi m0
2
m0
Poniewa\
, po = 1, więc pi = .
mi2
- określenie najbardziej prawdopodobnej wartości  x mierzonej wielkości dokonujemy przy
pomocy średniej arytmetycznej ogólnej (wa\
onej). Średnia arytmetyczna ogólna jest równa
sumie iloczynów spostrze\
eń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag
pL
[ ] p1L1+p2L2 +& +pnLn
x = =
p p1+p2 +& +pn
[ ]
Podobnie jak w przypadku zwykłej średniej arytmetycznej do obliczenia średniej ogólnej
mo\
na wykorzystać wartość przybli\
onÄ…  x0
p Å""L
[ ]
x = x0 +
p
[ ]
- określenie najbardziej prawdopodobnych wartości spostrze\
eń Li = x  vi
- dokładność typowego spostrze\
enia (po = 1) tzw. średni błąd  m0 typowego spostrze\
enia
pvv
[ ]
m0 = Ä…
n-1
- dokładność wartości wyrównanej tzw. średni błąd  mx średniej arytmetycznej ogólnej
pvv
[ ]
mx =Ä…
p n-1
[ ]( )
- dokładność i-tego spostrze\
enia tzw. średni błąd  mi pojedynczego spostrze\
enia
pvv
[ ]
mi =Ä…
pi× n-1
( )
c) pary spostrze\
eń
 określenie najbardziej prawdopodobnej wartości  x mierzonej wielkości dokonuje
się przy wielkości średniej lub średniej arytmetycznej ogólnej.
' '' ' '
L1 L1 L'2 L'2 L'n L'n
Je\
eli pomiary naszych wielkości dały wyniki i , i , & , , to ró\
nice
pomiędzy pierwszym a drugim pomiarem wynoszą
' ''
L1 L1
d1 = -
'
L'2 L'2
d2 = -
& & & &
'
L'n L'n
dn = -
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
19
 Gdyby obserwacje nie były obcią\
one \
adnymi błędami przypadkowymi ani
systematycznymi, to ró\
nice te byłyby wszystkie równe zeru. W rzeczywistości jednak
wyniki pomiarów bezpośrednich są obcią\
one błędami przypadkowymi, więc otrzymane
ró\
nice  d mo\
emy uwa\
ać za błędy prawdziwe wyznaczenia ró\
nicy dwóch obserwacji.
 dokładność ró\
nicy spostrze\
eń tzw. średni błąd ró\
nicy
dd
[ ]
md =
n
n  liczba par spostrze\
eń
 dokładność pojedynczego pomiaru wykonanego parami tzw. średni błąd pojedynczego
pomiaru
dd
md [ ]
m = =
2n
2
 dokładność podwójnego pomiaru dowolnej pary danego szeregu spostrze\
eń tzw. błąd
średni średniej arytmetycznej
dd
m 1 [ ]
mL = =
2 n
2
 dla pomiarów niejednakowo dokładnych błąd ró\
nicy spostrze\
eń
pdd
[ ]
md =
n
oraz średni błąd typowego spostrze\
enia
pdd
[ ]
m0 =
2n
Przykład 8
Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość długości odcinka AB, pomierzonego
czterokrotnie z jednakową dokładnością.
L1 = 154,152m
L2 = 154,147m
L3 = 154,155m
L4 = 154,150m
Algorytm stepowania:
1. Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości  Lw
L
[ ]
Lw =
n
154,152 +154,147 +154,155 +154,150
Lw =
4
Lw = 154,151m
2. Obliczenie poprawek dla poszczególnych spostrze\
eń
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
20
3.
vi = Lw  Li
v1 = 154,151  154,152 = -0,001m
v2 = 154,151  154,147 = +0,004m
v3 = 154,151  154,155 = -0,004m
v4 = 154,151  154,150 = +0,001m
[v] = v1+v2+v3+v4 = 0
4. Obliczenie średniego błędu pojedynczego spostrze\
enia
vv
[ ]
m =
n -1
2 2
vv = v1 + v2 + v3 + v2
[ ]
2 4
vv = 0,000034
[ ]
0,000034
[ ]
m = = Ä…0,003m
3
5. Obliczenie średniego błędu wyrównanej długości odcinka AB
vv
[ ]
mL = Ä…
n n -1
( )
0,000034
mL = Ä… = Ä…0,002m
4 4 -1
( )
Lw = 154,151m Ä…0,002m
Przykład 9
Pomierzyliśmy kąt trzema teodolitami: pierwszym ze średnim błędem m1 = ą30 , drugim
ze średnim błędem m2 = ą20 , trzecim ze średnim błędem m3 = ą10 . Jakie są wagi tych
spostrze\
eń?
Poniewa\
, nie mamy tutaj podanego średniego błędu typowego spostrze\
enia, więc jedno
ze spostrze\
eń przyjmujemy za typowe.
1. m1 = m0 = Ä…30" p1 = 1
2
2
( )
m0 30"
p2 = = = 2, 25
m2 20" 2
2
( )
2
2
( )
m0 30"
p3 = = = 9
2
m3 10" 2
( )
2. m2 = m0 = Ä…20" p2 = 1
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
21
2
2
( )
m0 20" 4
p1 = = =
2
m1 30" 2 9
( )
2
2
( )
m0 20"
p3 = = = 4
2
m3 10" 2
( )
3. m3 = m0 = Ä…10" p3 = 1
2
2
( )
m0 10" 1
p1 = = =
2
m1 30" 2 9
( )
2
2
( )
m0 10" 1
p2 = = =
m2 20" 2 4
2
( )
Otrzymujemy w ten sposób trzy układy wag, które są sobie równowa\
ne i mo\
emy dowolny
układ wag uwzględniać w obliczeniach.
Przykład 10
Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość kąta ABC, który pomierzono czterokrotnie
teodolitami o ró\
nej dokładności (rys. 5).
Rys. 5. Pomiar kąta [opracowanie własne]
Wyniki uzyskane z pomiaru:
Ä…1 = 44°15 20 Ä…20
Ä…2 = 44°14 58 Ä…10
Ä…3 = 44°15 05 Ä…5
Ä…4 = 44°15 10 Ä…15
1. Ustalenie wag poszczególnych spostrze\
eń.
Przyjmujemy średni błąd typowego spostrze\
enia mo= 10 i w zwiÄ…zku z tym p2 = 1
2
2
( )
m0 10''
p1 = = = 0,25
2
m1 20'' 2
( )
2
2
( )
m0 10''
p3 = = = 4
2
m3 5'' 2
( )
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
22
2
2
( )
m0 10''
p4 = = = 0,44
m2 15'' 2
4
( )
2. Określenie wartości przybli\
onej kÄ…ta.
Przyjmujemy jako przybli\
oną wartość mierzonego kąta, najmniejszą wartość uzyskaną
z pomiaru.
Ä…0 = Ä…2 = 44°14 58
3. Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości pomierzonego kąta
p Å""Ä…]
[
Ä…w = Ä…0 +
p
[ ]
"Ä…1 = Ä…1 -Ä…0 = 44o15'20" - 44o14'58" = +22"
"Ä…2 = Ä…2 -Ä…0 = 44o14'58" - 44o14'58" = 0"
"Ä…3 = Ä…3 -Ä…0 = 44o15'05" - 44o14'58" = +7"
'
"Ä…4 = Ä…4 -Ä…0 = 44o1510" - 44o14'58" = +12"
0,25Å"22" + 4Å"7" + 0.44Å"12
Ä…w = 44o14'58" +
0, 25 +1+ 4 + 0,44
Ä…w = 44o14'58" + 6,8" = 44o15'04,8"
4. Określenie poprawek dla poszczególnych spostrze\
eń
vi = Ä…w  Ä…i
44o15'04,8" - 44o15'20" = -15,2
v1 =
44o15'04,8"- 44o14'58" = +6,8
v2 =
44o15'04,8"- 44o15'05" = -0,2
v3 =
'
44o15'04,8"- 44o1510" = -5,2
v4 =
5. Kontrola obliczenia średniej arytmetycznej.
[pv] = 0
[pv] = 0,25.(-15,2 ) + 1.(6,8 ) - 4.(0,2 ) - 0,44.(-5,2 )
[pv] = - 0,1
6. Określenie średniego błędu typowego spostrze\
enia
pvv
[ ]
m0 = Ä…
n -1
2
pvv =116,12(")
[ ]
116,12
m0 = Ä… = Ä…6, 2"
4 -1
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
23
7. Określenie średniego błędu pojedynczego spostrze\
enia
pvv
[ ]
mi = Ä…
pi (n -1)
116,12
m1 = Ä… = Ä…12, 4"
0, 25Å"(4 -1)
116,12
m2 = Ä… = Ä…6, 2"
1Å"(4 -1)
116,12
m3 = Ä… = Ä…3,1"
4Å"(4 -1)
116,12
m4 = Ä… = Ä…9, 4"
0, 44Å"(4 -1)
8. Określenie średniego błędu wyrównanej wartości kąta
pvv
[ ]
mÄ… = Ä…
[p](n -1)
116,12
mÄ… = Ä… = Ä…2,6"
5,69Å"(4 -1)
Ä…w = 44°15 04,8 = Ä…2,6
Przykład 11
Wyznacz najprawdopodobniejszą wartość pięciu odcinków pomierzonych parami
z jednakową dokładnością (rys. 6)
Rys. 6. Pomiar długości boków w pięciokącie [opracowanie własne]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
24
Tabela 2. Wyniki pomiarów [opracowanie własne]
Odcinek Wyniki pomiarów
l1 l2
207,85 207,90
1-2
202,31 202,28
2-3
204,42 204,49
3-4
214,38 214,31
4-5
206,72, 205,78
5-1
1. Określenie najbardziej prawdopodobnej wartości długości odcinków (średnie arytmetyczne)
207,85 + 207,90
1- 2 = = 207,785
2
202,31+ 202, 28
2 - 3 = = 202, 295
2
204, 42 + 204, 49
3 - 4 = = 204, 445
2
214,38 + 214,31
4 - 5 = = 214,345
2
206,72 + 205,78
5 -1 = = 205,750
2
2. Określenie błędów prawdziwych wyznaczenia ró\
nicy dwóch obserwacji
d1-2 = l1 - l2 = -0,05m
d2-3 = l1 - l2 = +0,03m
d3-4 = l1 - l2 = -0,07m
d4-5 = l1 - l2 = +0,07m
d5-1 = l1 - l2 = -0,06m
3. Określenie błędu średniego ró\
nicy
dd
[ ]
md = Ä…
n
dd = 0,0168
[ ]
0,0168
md = Ä… = Ä…0,058m
5
4. Określenie średniego błędu pojedynczego pomiaru.
dd
md [ ]
m = = Ä…
2n
2
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
25
0,0168
m = Ä… = Ä…0,041m
2Å"5
5. Określenie średniego błędu średniej arytmetycznej
dd
m 1 [ ]
mL = = Ä… Å"
2 n
2
1 0,0168
mL = Ä… Å" = Ä…0,029m
2 5
6. Określenie średniego błędu dla podwójnego pomiaru ka\
dego odcinka.
Błędy te obliczamy podstawiając do powy\
szych wzorów n = 1 a zamiast [dd]
odpowiednie dd.
 błąd średni ró\
nicy jednej pary
dd
[ ]
md = Ä… = Ä…d
1
md = Ä…0,05m
1
md = Ä…0,03m
2
md = Ä…0,07m
3
md = Ä…0,07m
4
md = Ä…0,06m
5
 błąd średni jednego pomiaru
dd
[ ] d
m = Ä… = Ä…
2Å"1
2
m1 = Ä…0,035m
m2 = Ä…0,021m
m3 = Ä…0,050m
m4 = Ä…0,050m
m5 = Ä…0,042m
 błąd średni średniej arytmetycznej (wartości wyrównanej)
dd
1 [ ] d
mL = Ä… = Ä…
2 1 2
mL = Ä…0,025m
1
mL = Ä…0,015m
2
mL = Ä…0,035m
3
mL = Ä…0,035m
4
mL5 = Ä…0,030m
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
26
1- 2 = 207,785 Ä… 0,025m
2 - 3 = 202,295 Ä… 0,015m
3 - 4 = 204,445 Ä… 0,035m
4 - 5 = 214,345 Ä… 0,035m
5 -1 = 205,750 Ä… 0,030m
4.1.2. Pytania sprawdzajÄ…ce
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Jak określamy błędy spostrze\
eń w zale\
ności od z
ródła powstawania?
2. Co to jest błąd prawdziwy spostrze\
enia?
3. Co jest zadaniem rachunku wyrównawczego?
4. Na czym opierają się podstawy rachunku wyrównawczego?
5. Jak określimy błędy za pomocą, których charakteryzuje się dokładność obserwacji?
6. Jak określamy średnią arytmetyczną?
7. Na czym polega prawo przenoszenia się błędów?
8. Co to sÄ… spostrze\
enia bezpośrednie jednakowo dokładne?
9. Co to sÄ… spostrze\
enia bezpośrednie niejednakowo dokładne?
10. Co to sÄ… pary spostrze\
eń?
11. Jakie są główne zadania procesu wyrównania spostrze\
eń?
12. Co to sÄ… wagi spostrze\
eń?
13. Jak określamy średnią arytmetyczną ogólną?
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Wyrównaj spostrze\
enia bezpośrednie jednakowo dokładne.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiałach dydaktycznych spostrze\
enia bezpośrednie jednakowo dokładne
i średnie błędy spostrze\
eń bezpośrednich jednakowo dokładnych,
2) sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia,
3) obliczyć wartość najbardziej prawdopodobną mierzonej wielkości przy pomocy średniej
arytmetycznej,
4) określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrze\
eń,
5) obliczyć średni błąd pojedynczego pomiaru,
6) obliczyć średni błąd najbardziej prawdopodobnej mierzonej wielkości.
Wyposa\
enie stanowiska pracy:
- kalkulator,
- papier formatu A4,
-  Poradnik dla ucznia .
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
27
Ćwiczenie 2
Wyrównaj spostrze\
enia bezpośrednie niejednakowo dokładne.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiałach dydaktycznych spostrze\
enia bezpośrednie niejednakowo
dokładne i średnie błędy spostrze\
eń bezpośrednich niejednakowo dokładnych,
2) sformułować, w oparciu o wyniki pomiarów podane przez nauczyciela, temat ćwiczenia,
3) określić wagi spostrze\
eń,
4) obliczyć najbardziej prawdopodobną wartość mierzonej wielkości przy pomocy średniej
arytmetycznej ogólnej (wa\
onej),
5) określić najbardziej prawdopodobne wartości spostrze\
eń,
6) obliczyć średni błąd typowego spostrze\
enia,
7) obliczyć średni błąd średniej arytmetycznej ogólnej,
8) obliczyć średnie błędy poszczególnych spostrze\
eń.
Wyposa\
enie stanowiska pracy:
- kalkulator,
- papier formatu A4,
-  Poradnik dla ucznia .
4.1.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) dokonać podziału błędów spostrze\
eń w zale\
ności od z
ródła
powstawania?
2) zdefiniować błąd prawdziwy spostrze\
enia?
3) określić zadanie rachunku wyrównawczego?
4) dokonać podziału błędów, za pomocą których charakteryzuje się
dokładność obserwacji?
5) obliczyć średnią arytmetyczną?
6) określić na czym polega prawo przenoszenia się błędów?
7) zdefiniować spostrze\
enia bezpośrednie jednakowo dokładne?
8) zdefiniować spostrze\
enia bezpośrednie niejednakowo dokładne?
9) zdefiniować pary spostrze\
eń?
10) określić główne zadanie procesu wyrównania spostrze\
eń?
11) zdefiniować wagi spostrze\
eń?
12) określić średnią arytmetyczną ogólną?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
28
4.2. Wyrównanie metodą pośredniczącą
4.2.4. Materiał nauczania
Ogólne zasady wyrównania metodą pośredniczącą.
Istnieje wiele zadań geodezyjnych, w których bezpośredniemu pomiarowi podlegają
wielkości słu\
ące do rachunkowego (pośredniego) wyznaczenia innych przekształconych
wielkości, stanowiących niewiadome. Spostrze\
enia L1, L2, & , Ln, które nie odnoszą się
bezpośrednio do wielkości szukanych, lecz słu\
Ä… do wyznaczenia niewiadomych za pomocÄ…
ustalonych związków, noszą nazwę spostrze\
eń pośredniczących. Charakterystycznym
przykładem jest kątowe wcięcie wstecz, w którym bezpośrednio mierzy się kąty poziome
o wierzchołku w punkcie o nieznanych współrzędnych i ramionach przechodzących przez punkty
o znanych współrzędnych a następnie określa się współrzędne (Xs; Ys) punktu wcinanego  S
(rys. 7).
Rys. 7. Kątowe wcięcie wstecz [opracowanie własne]
n = 2 ilość obserwacji
u = 2 ilość niewiadomych
Zadanie takie ma tylko jedno rozwiÄ…zanie, poniewa\
zawiera dwie obserwacje niezbędne
do określenia dwóch niewiadomych (X, Y) i nie podlegają one wyrównaniu.
Je\
eli będziemy mogli pomierzyć kierunki do czterech punktów (rys. 8) to wówczas
otrzymamy obserwacje nadliczbowe nn
Rys. 8. Kątowe wcięcie wstecz z elementami nadliczbowymi [opracowanie własne]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
29
n = 5 ilość obserwacji
u = 2 ilość niewiadomych
nn = n  u = 5  2 = 3 ilość obserwacji nadliczbowych
Do obliczenia współrzędnych (X, Y) mo\
emy skorzystać z punktów ABC, ABD, ACD
lub BCD i otrzymać 4 niezale\
ne rozwiązania. Aby otrzymać jedno rozwiązanie musimy
zastosować rachunek wyrównawczy, w którym zakładamy, \
e funkcje F1, F2, & , Fn
zachodzące pomiędzy mierzonymi wartościami prawdziwymi spostrze\
eń A1, A2, & , An
a prawdziwymi niewiadomymi X, Y, Z,& zachodzÄ… tak\
e między wartościami wyrównanymi
(najbardziej prawdopodobnymi) tych wielkości
Przykładem prostego zadania mo\
e być wyrównanie kątów w przykładzie (rys. 9).
Rys. 9. Pomiar kątów na stanowisku  S [opracowanie własne]
n = 6
u = 3
nn = 3
W tym przypadku występują trzy spostrze\
enia nadliczbowe, poniewa\
do wzajemnego
określenia poło\
enia czterech kierunków niezbędne jest pomierzenie trzech kątów np. kątów
1, 2, 3, których wartości prawdziwe będą stanowić niewiadome X, Y, Z. Pomiędzy
wartościami prawdziwymi spostrze\
eń A1, A2, & , A6 a niewiadomymi mo\
na napisać
następujące związki funkcyjne:
A1 = X
A2 = Y
A3 = Z
A4 = X+Y
A5 = Y+Z
A6 = X+Y+Z
Poniewa\
nie znamy wartości prawdziwych Ai mierzonych wielkości, więc zastępujemy
je najprawdopodobniejszymi wartościami spostrze\
eń wyrównanych  Li + vi uzyskiwanych
w wyniku wyrównania.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
30
Równania poprawek i równania normalne
Proces wyrównawczy dostarcza poprawek  vi , które dodane do spostrze\
eń powodują
spełnienie przez spostrze\
enia wyrównane  Li + vi i najprawdopodobniejsze wartości
niewiadomych  x,y,z,&  , tych samych funkcji  F1, F2, & , Fn , które wią\
ą ze sobą wartości
prawdziwe spostrze\
eń A1, A2, & , An z wartościami prawdziwymi niewiadomych X,Y,Z,&
Dla ka\
dego spostrze\
enia, mo\
na więc, napisać związki zwane równaniami obserwacyjnymi.
L1+v1 = F1 (x,y,z,& )
L2+v2 = F2 (x,y,z,& )
& & & & & & & & & & & & & ..
Ln+vn = Fn (x,y,z,& )
Otrzymany układ  n równań obserwacyjnych mo\
emy przekształcić do układu  n równań
poprawek (błędów) w postaci
v1 = F1 (x,y,z,& )  L1
v2 = F2 (x,y,z,& )  L2
& & & & & & & & & .
vn = Fn (x,y,z,& )  Ln
Je\
eli funkcje F1, F2, & , Fn mają charakter nieliniowy, to trzeba je doprowadzić do postaci
liniowej poprzez rozwinięcie funkcji na szereg Taylora (z odrzuceniem wyrazów rzędu
wy\
szego ni\
pierwszy). Je\
eli zamiast niewiadomych x,y,z,& będących przewa\
nie du\
ymi
liczbami , wprowadzimy niewielkie liczbowo poprawki niewiadomych dx,dy,dz,& , które
spełniają zale\
ności:
x = xo + dx
y = yo + dy
z = zo + dz
to wówczas
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
"Fi ëÅ‚"Fi öÅ‚ "Fi
Fi x0, y0,z0 +ìÅ‚ ÷Å‚dx +ìÅ‚ ÷Å‚ +ìÅ‚ ÷Å‚dz
÷Å‚dy
( )
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚
÷Å‚
÷Å‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ìÅ‚ ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
Fi x0 +dx, y0 +dy, z0 + dz =
( ) íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
"x "y "z
íÅ‚ Å‚Å‚
Współczynniki przy niewiadomych dx, dy, dz są równe pochodnym cząstkowym funkcji
F1, F2,& Fn względem poszczególnych niewiadomych i je\
eli oznaczymy je przez
ëÅ‚ öÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚"Fi ÷Å‚ = ai
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"x
ëÅ‚"Fi öÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚
÷Å‚ = bi
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
"y
íÅ‚ Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚"Fi ÷Å‚ = ci
ìÅ‚
÷Å‚
ìÅ‚
íÅ‚ Å‚Å‚
"z
a wyrazy wolne równań powstające jako ró\
nice przybli\
onych wartości funkcji Fi (xo, yo, zo)
oraz spostrze\
eń Li oznaczymy przez
Fi (xo,yo,zo)  Li = li
to wówczas otrzymamy układ równań poprawek w postaci
v1 = a1.dx + b1.dy + c1.dz +& + l1
v2 = a2.dx + b2.dy + c2.dz +& + l2
..........................................................................
vn = an.dx + bn.dy + cn.dz +& + ln
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
31
W układzie  n równań błędów występuje  n+u nieznanych poprawek  vi oraz  u
niewiadomych dx, dy, dz,& ., a więc układu tego nie mo\
na rozwiązać bez dodatkowego
warunku. Do określenia tych wielkości, jest, więc konieczne wprowadzenie zasady
najmniejszych kwadratów [vv]=min. dla spostrze\
eń jednakowo dokładnych lub [pvv] = min.
dla spostrze\
eń niejednakowo dokładnych. Je\
eli utworzymy funkcjÄ™ Åš = [vv] to
Åš = [vv] = ( a1.dx + b1.dy + c1.dz +& + l1)2+( a2.dx + b2.dy + c2.dz +& + l2)2+( an.dx + bn.dy +
cn.dz +& + ln)2
Po uporzÄ…dkowaniu powy\
szego równania względem poszczególnych zmiennych oraz
wprowadzeniu symboli sumowych otrzymamy:
Åš = [vv] = [aa].dx2+2.[ab].dx.dy+2.[ac].dx.dy+2.[bc].dy.dz+2.[al]+[bb].dy2+& +[ll]
Warunkiem koniecznym dla osiągnięcia minimum przez funkcję Ś jest zerowanie się jej
wszystkich pochodnych cząstkowych względem poszczególnych zmiennych
" vv
[ ]
= 0
"dx
" vv
[ ]
= 0
"dy
" vv
[ ]
= 0
"dz
np.
" vv
[ ]
=
"dx
2.[aa].dx + 2.[ab].dy + 2.[ac].dz +& +2.[al] = 0
Po zestawieniu pozostałych równań i podzieleniu ich przez 2 otrzymamy układ  u liniowych
równań normalnych zawierających  u niewiadomych.
[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + & +[al] = 0
[ab]dx + [bb]dy + [bc]dz + & +[bl] = 0
[ac]dx + [bc]dy + [cc]dz + & +[cl] = 0
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Układ równań normalnych jest układem symetrycznym i mo\
na rozwiązać go za pomocą
wybranego algorytmu obliczeniowego np. algorytmu Gaussa (kolejna redukcja
niewiadomych) lub Banachiewicza (pierwiastek krakowianowy).
Metoda pośrednicząca
Po rozwiązaniu układu równań normalnych uzyskujemy wartości poprawek
niewiadomych dx, dy, dz, & które dodajemy do przybli\
onych wartości niewiadomych
xo, yo, zo,& i otrzymujemy najbardziej prawdopodobne (wyrównane) wartości niewiadomych
x, y, z,& Kolejnym etapem wyrównania jest obliczenie poprawek spostrze\
eń  vi
otrzymywanych z równań poprawek a następnie poprawienie spostrze\
eń  Li poprzez
dodanie do nich poprawek  vi , co w efekcie daje wartości spostrze\
eń wyrównanych.
Kontrola ogólna polega na obliczeniu zale\
ności
[al]dx +[bl]dy + [cl]dz + & +[ll] = [vv]
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
32
 Kontrola generalna (ostateczna) polega na podstawieniu wartości niewiadomych do
równań obserwacyjnych i sprawdzeniu ich spełnienia. Końcowy etap wyrównania spostrze\
eń
stanowi ocena dokładności, polegająca na obliczeniu średnich błędów obserwacji
niewiadomych i poło\
enia punktów.
Średni błąd pojedynczego spostrze\
enia dla spostrze\
eń jednakowo dokładnych obliczamy
ze wzoru
[vv]
Ä…
n -u
m =
Dla określenia średniego błędu typowego spostrze\
enia dla spostrze\
eń niejednakowo
dokładnych posługujemy się wzorem
[pvv]
Ä…
n -u
mo =
Dla określenia średnich błędów niewiadomych konieczne jest wyznaczenie tzw.
współczynników wagowych  Q .
Jednym ze sposobów ich wyznaczenia jest rozwiązanie układu równań zwanych równaniami
wag. A
ączna ilość tych równań wynosi  n2 , np. dla spostrze\
eń jednakowo dokładnych
i trzech niewiadomych (u = 3) układ równań wag przyjmuje postać:
[aa]Q11 + [ab]Q12 + [ac]Q13 = 1
[ab]Q11 + [bb]Q12 + [bc]Q13 = 0
[ac]Q11 + [bc]Q12 + [cc]Q13 = 0
[aa]Q21 + [ab]Q22 + [ac]Q23 = 0
[ab]Q21 + [bb]Q22 + [bc]Q23 = 1
[ac]Q21 + [bc]Q22 + [cc]Q23 = 0
[aa]Q31 + [ab]Q32 + [ac]Q33 = 0
[ab]Q31 + [bb]Q32 + [bc]Q33 = 0
[ac]Q31 + [bc]Q32 + [cc]Q33 = 1
Średnie błędy poszczególnych niewiadomych określają wzory
mx = mo Q11
my = mo Q22
mz = mo Q33
Ocena dokładności osnów geodezyjnych opiera się przewa\
nie na wyznaczeniu po
wyrównaniu średnich błędów  mx i  my współrzędnych punktów wyznaczanych,
stanowiących niewiadome w metodzie pośredniczącej oraz średniego błędu poło\
enia punktu
obliczanego na podstawie wzoru
m2 + m2
x y
mp =
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
33
Przykład 12
Wyrównać metodą pośredniczącą jednakowo dokładne kąty pomierzone na pojedynczym
stanowisku pomiarowym S (rys. 10).
Tabela 3 Dane uzyskane z pomiaru
Nr kąta Wartość kąta
1
41g20c15cc
2
52g32c31cc
3
58g14c22cc
4
93g52c52cc
5
110g46c41cc
6
151g66c60cc
Rys. 10. Pomiar kątów na stanowisku  S [opracowanie własne]
1. Wybór niewiadomych i określenie ich wartości przybli\
onych:
""1 = x
""2 = y
""3 = z
x0 =
41g20c00cc
y0 =
52g32c00cc
z0 =
58g14c00cc
2. Zestawienie równań obserwacyjnych i równań błędów:
Równania obserwacyjne
L1 + v1 = x L4 + v4 = x + y
L2 + v2 = y L5 + v5 = y + z
L3 + v3 = z L6 + v6 = x + y + z
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
34
v1 = x0 + dx - L1
v2 = y0 + dy - L2
v3 = z0 + dz - L3
v4 = x0 + dx + y0 + dy - L4
v5 = y0 + dy + z0 + dz - L5
v6 = x0 + dx + y0 + dy + z0 + dz - L6
v1 = dx -15cc
v2 = dy - 31cc
v3 = dz - 22cc
v4 = dx + dy - 52cc
v5 = dy + dz - 41cc
v6 = dx + dy + dz - 60cc
Tabela 4 Stabelaryzowane równania błędów
Nr
Współczynniki przy niewiadomych Wyrazy
poprawki
wolne [cc]
a b c
1 1 0 0 -15
2 0 1 0 -31
3 0 0 1 -22
4 1 1 0 -52
5 0 1 1 -41
6 1 1 1 -60
3. UÅ‚o\
enie układu równań normalnych i jego rozwiązanie za pomocą pierwiastka
krakowianowego:
[aa]dx + [ab]dy + [ac]dz + [al] = 0
[ab]dx + [bb] dy + [bc]dz + [bl] = 0
[ac]dx + [bc] dy + [cc]dz + [cl] = 0
3dx + 2dy +dz  127 = 0
2dx + 4dy +2dz  184 = 0
dx + 2dy +3dz  123 = 0
1,73dx + 1,16dy + 0,58dz  73,41 = 0
1,63dy + 0,81dz  60,64 = 0
1,42dz  22,04 = 0
dz = 15,52
dy = 29,49
dx = 17,46
4. Określenie przyrostów niewiadomych:
dx = +17,5cc
dy = +29,5cc
dz = +15,5cc
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
35
5. Obliczenie poprawek:
v1 = 17,5 -15 = 2,5cc
v2 = 29,5 - 31 = -1,5cc
v3 = 15,5 - 22 = -6,5cc
v4 = 17,5 + 29,5 - 52 = -5cc
v5 = 29,5 +15,5 - 41 = +4cc
v6 = 17,5 + 29,5 +15,5 - 60 = +2,5cc
6. Kontrola ogólna:
[al]dx + [bl] dy + [cl]dz + [ll] = [vv]
(127Å"17.5) +
(-184Å" 29,5 +
) (-123Å"15,5 + 9655 = 98
)
[vv] = 98
98 = 98 c.n.d.
7. Obliczenie niewiadomych:
x = x0 + dx = 41g20c00cc +17,5cc = 41g20c17,5cc
y = y0 + dy = 52g32c00cc + 29,5cc = 52g32c29,5cc
z = z0 + dz = 58g14c00cc +15,5cc = 58g14c15,5cc
8. Spostrze\
enia wyrównane:
L1 + v1 = 41g20c15cc + 2,5cc = 41g20c17,5cc
L2 + v2 = 52g32c31cc -1,5cc = 52g32c29,5cc
L3 + v3 = 58g14c22cc - 6,5cc = 58g14c15,5cc
L4 + v4 = 93g52c52cc - 5cc = 93g52c47cc
L5 + v5 = 110g46c41cc + 4cc = 110g46c45cc
L6 + v6 = 151g66c60cc + 2,5cc = 151g66c62,5cc
9. Kontrola ostateczna:
L1 + v1 = x = 41g20c17,5cc
L2 + v2 = y = 52g32c29,5cc
L3 + v3 = z = 58g14c15,5cc
L4 + v4 = x + y = 93g52c47cc
L5 + v5 = y + z = 110g46c45cc
L6 + v6 = x + y + z = 151g66c62,5cc
10. Ocena dokładności:
średni błąd pojedynczego kąta
vv
[ ] 98
m = = Ä… = Ä…5,7cc
n - u 6 - 3
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
36
równania wag:
3Q11 + 2Q12 + Q13 = 1
2Q11 + 4Q12 + 2Q13 = 0
Q11 + 2Q12 + 3Q13 = 0
3Q21 + 2Q22 + Q23 = 1
2Q21 + 4Q22 + 2Q23 = 1
Q21 + 2Q22 + 3Q23 = 1
3Q31 + 2Q32 + Q33 = 0
2Q31 + 4Q32 + 2Q33 = 0
Q31 + 2Q32 + 3Q33 = 1
Równania wag mo\
emy zredukować przy pomocy algorytmu Gaussa do postaci:
[aa]Q11 + [ab]Q12 + [ac]Q13 = 1
[aa]Q21 + [ab]Q22 + [ac]Q23 = 0
[bb.1]Q22 + [bc.1]Q23 = 1
[aa]Q31 + [ab]Q32 + [ac]Q33 = 1
[bb.1]Q32 + [bc.1]Q33 = 1
[cc.2]Q33 = 1
Redukcja Gaussa I stopnia wygląda następująco:
ab
[ ]Å"[ab]
bb.1 = bb
[ ] [ ]-
aa
[ ]
ab
[ ]Å"[ac]
bc.1 = bc
[ ] [ ]-
aa
[ ]
a II stopnia tak:
bc.1
[ ]
cc.2 = cc.1
[ ] [ ]- Å" bc.1
[ ]
bb.1
[ ]
ac bc.1
[ ] [ ]
cc.2 = cc
[ ] [ ]- Å" ac
[ ]- Å" bc.1
[ ]
aa bb.1
[ ] [ ]
obliczenia:
2
bb.1 = 4
[ ] - Å" 2 = 2,7
3
2
bc.1 = 2
[ ] - Å"1 = 1,3
3
1 1,3
cc.2 = 3
[ ] - Å"1- Å"1,3 = 2,04
3 2,7
3Q11 + 2Q12 + Q13 = 1
3Q21 + 2Q22 + Q23 = 1
2,7Q22 + 1,3Q23 = 1
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
37
 3Q31 + 2Q32 + Q33 = 0
2,7Q32 + 1,3Q33 = 0
2,04Q33 = 1
Q33 = 0,49
= -0, 24
Q32
Q31 = 0
Q22 = 0,49
Q21 = 0,08
Q11 = 0,28
średnie błędy niewiadomych
mx = m Å" Q11 = Ä…3,0cc
my = m Å" Q22 = Ä…4,0cc
mz = mÅ" Q33 = Ä…4,0cc
Wyrównane wartości kątów:
""1 = 41g20c17,5cc Ä… 3,0cc
""2 = 52g32c29,5cc Ä… 4,0cc
""3 = 58g14c15,5cc Ä… 4,0cc
Przykład 13.
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty
w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy A-B jest znana (rys. 11).
Tabela 6. Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]
Pomierzone kierunki
1. 53o55 45
2. 34o03 13
3. 25o56 57
4. 66o03 17
5. 69o57 26
6. 18o02 24
7. 25o51 59
8. 66o08 06
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
38
Baza A-B = 1409,68 m
Rys. 11. Czworobok geodezyjny [opracowanie własne]
1. Obliczenie współrzędnych przybli\
onych punktów C i D.
Przyjmujemy bok AB jako równoległy do osi y-ów i zakładamy, \
e współrzędne
punktów A i B wynoszą: XA = 2000,00; YA = 2000,00; XB = 2000,00; YB = 3409,68
i traktujemy je jako bezbłędne.
Przy takim zało\
eniu poszukujemy najprawdopodobniejszych współrzędnych punktów
C i D i obliczamy poprawki do pomierzonych kątów
1.1. Obliczenie współrzędnych przybli\
onych punktu C (rys. 12).
Rys. 12. Wcięcie w przód [opracowanie własne]
XA YA XB YB
XC,YC = f =
( )
1 ctg4 -1 ctg1(1,2)
uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku lewoskrętnym.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
39
XC = f(1)
YC = f(2)
2000,00 2000,00 2000,00 3409,68
f =
1 0, 444084763 -1 0,728433087
XC = 3202,2674
YC = 2875,7714
Kontrolą obliczeń współrzędnych XC, YC jest policzenie kąta (2+3) z formy rachunkowej
prof. dr S. Hausbrandta.
"XC-B "YC-B
tg 2 + 3 =
( )
"XC-A "YC-A 0
-1202, 2674 +533,9086
tg 2 + 3 =
( )
-1202, 2674 -875,7714
0
tg 2 + 3
( ) = 1,733176129
"" 2 + 3 = 60O00'58"
( )
"" 2 + 3
( ) wyliczamy te\
z trójkąta ABC
"" 2 + 3
( ) = 180  (1 + 4)
"" 2 + 3 = 60O00'58"
( )
1.2. Obliczenie współrzędnych przybli\
onych punktu D (Rys.13).
Rys. 13. Wcięcie w przód [opracowanie własne]
XA YA XB YB
XD,YD = f =
( )
-1 ctg5 1 ctg8
1,2
( )
uwaga: wzór słuszny dla trójkąta ABC oznaczonego w kierunku prawoskrętnym
XD = f(1)
YD = f(2)
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
40
2000,00 2000,00 2000,00 3409,68
f =
-1 0,364815984 1 0,442408379
XD = 253,6701
YD = 2772,5910
kontrola
"XA-D "YA-D
tg 6 + 7 =
( )
"XB-D "YB-D 0
-1746,3299 +772,5910
tg 6 + 7 =
( )
-1746,3299 -637,0890
0
tg 6 + 7
( )
= 0,962582953
"" 6 + 7 = 43O54'28"
( )
"" 6 + 7
( )
wyliczamy te\
z trójkąta ABC
"" 6 + 7
( )
= 180  (5+8)
"" 6 + 7 = 43O54'28"
( )
2. Obliczenie współczynników kierunkowych i wyrazów wolnych
Je\
eli mamy kÄ…t Ä… (rys. 14)
Ä…
Rys. 14. Pomiar kąta na stanowisku S [opracowanie własne]
to wówczas, obliczenie małego przyrostu dą kąta ą przy małej zmianie przyrostów
współrzędnych dxL, dyL, dxP, dyP, dxS, dyS, punktów wyznaczających ten kąt (punkty
L  lewe ramię, P  prawe ramię, S  wierzchołek kąta) obliczamy ze wzoru:
dxLdyL dxP dyP dxS dyS
dÄ… =
AL BL -AP -BP -(AL - AP ) -(AL - AP )
1
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
41
Współczynniki kierunkowe A i B z odpowiednimi wskaz
nikami sÄ… funkcjami przyrostu
współrzędnych
"x
A = Á" Å"
"x2 + "y2
"y
B = Á" Å"
"x2 + "y2
"xL = xL - xS
"yL = yL - yS
"xP = xP - xS
"yP = yP - yS
"xL
AL = Á" Å"
"x2 + "y2
L L
"yL
BL = Á" Å"
"x2 + "y2
L L
"xP
AP = Á" Å"
"x2 + "y2
P P
"yP
BP = Á" Å"
"x2 + "y2
P P
dÄ… = Ä…0  Ä…m
ą0  kąt obliczony ze współrzędnych
Ä…m  kÄ…t pomierzony
2.1. Obliczenie dla kÄ…ta 1 (rys. 15)
Rys. 15. Schemat pomiaru dla kąta 1 [opracowanie własne]
-1202, 2674 +875,7714
tg 1 =
( )
0 1409,68
0
tg 1 = 1,372809675
53o55'45,00"
arc tg 1 =
""1 = 53o55'45,00"
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
42
AL =112,09 AP = 0
BL = 81,65 BP =146,32
2.2. Obliczenie dla kÄ…ta 2 (rys. 16)
Rys. 16. Schemat pomiaru dla kąta 2 [opracowanie własne]
2948,5973 -103,1804
tg 2 =
( )
-1202, 2674 -875,7714
0
tg 2 = 0,676203587
( )
""2 = 34o04'00,11"
AL = -69,87 AP = -112,09
BL = -2, 44 BP = -81,65
2.3. Obliczenie dla kÄ…ta 3 (rys. 17)
Rys. 17. Schemat pomiaru dla kąta 3 [opracowanie własne]
-1202,2674 533,9186
tg 3 =
( )
-2948,5973 -103,1804
0
tg 3 = 0, 486648701
( )
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
43
""3 = 25o56'59,31"
AL = -143,30 AP = -69,87
BL = 63,64 BP = -2,44
2.4. Obliczenie dla kÄ…ta 4 (rys. 18)
Rys. 18. Schemat pomiaru dla kąta 4 [opracowanie własne]
0 1409,68
tg 4 =
( )
1202, 2674 -533,9186
0
tg 4 = 2,251822503
( )
'
""4 = 66o0317,00"
AL = 0 AP = 143,30
BL = -146,32 BP = - 63,64
2. 5. Obliczenie dla kÄ…ta 5 (rys. 19)
3.
Rys. 19. Schemat pomiaru dla kąta 5 [opracowanie własne]
-1746,3299 -637,089
tg 5 =
( )
0 -1409,68
0
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
44
tg 5 = 2,741110125
( )
""5 = 69o57'26,05"
AL = -104, 24 AP = 0
BL = -38,03 BP = -146,32
2.6. Obliczenie dla kÄ…ta 6 (rys. 20)
Rys. 20. Schemat pomiaru dla kąta 6 [opracowanie własne]
2948,5973 103,1804
tg 6 =
( )
1246,3299 637,089
0
tg 6 = 0,325665635
( )
'
""6 = 18o0219,13"
AL = 69,87 AP = 104, 24
BL = 2,44 BP = 38,03
2.7. Obliczenie dla kÄ…ta 7 (rys. 21)
Rys. 21. Schemat pomiaru dla kąta 7 [opracowanie własne]
1746,3299 -772,5910
tg 7 =
( )
2948,5973 103,1804
0
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
45
tg 7 = 0, 484908408
( )
""7 = 25o52'08,89"
AL = 98,78 AP = 69,87
BL = -43,70 BP = 2, 44
2.8. Obliczenie dla kÄ…ta 8 (rys. 22)
Rys. 22. Schemat pomiaru dla kąta 8 [opracowanie własne]
0 1409,68
tg 8 =
( )
-1746,3299 772,5910
0
tg 8 = 2,260354961
( )
""8 = 66o08'06,00"
AL = 0 AP = -98,78
BL = 146,32 BP = 43,70
Tabela 7. Zestawienie danych do uło\
enia równań poprawek [opracowanie własne]
Ä…0
dxLdyL dxP dyP dxS dyS
Nr AL BL
Ä…m
kÄ…ta AP BP
AL BL -AP -BP -(AL - AP ) -(AL - AP )
Ä…Ä… = Ä…0  Ä…m
1
dxC dyC 0 0 0 0
112,09 81,65
1 0
0 146,32
112,09 81.65 0 -146,32 -112,09 64,67
1
dxD dyD 0 0 dxc dyc
 69,87  2,44
2  12,89
 112,09  81,65
-69,87 - 2,44 112,09 -81,65 -42,22 -79,211
0 0 dxD dyD dxC dyC
 143,30 63,64
3 2,31
 69,87  2,44
143,30 63,64 69,87 2, 44 73, 43 -66,081
0 0 dxC dyC 0 0
0  146,32
4 0
143,30  63,64
0 -146,32 -143,30 63,64 143,30 82,681
dxD dyD 0 0 0 0
 104,24  38,03
5 0
0  146,32
-104, 24 -38,03 0 146,32 104, 24 -108, 29
1
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
46
dxC dyC 0 0 dxD dyD
69,87 2,44
6  4,87
104,24 38,03
69,87 2, 44 -104, 24 -38,03 34,37 35,951
0 0 dxC dyC dxD dyD
98,78  43,70
7 9,89
69,87 2,44
98,78 -43,70 -69,87 -2, 44 -28,91 46,14
1
0 0 dxD dyD 0 0
0 146,32
8 0
 98,78 43,70
0 146,32 98,78 -43,70 -98,78 -102,62
1
3. UÅ‚o\
enie równań poprawek
Równania poprawek będą miały postać
vi = aidxC + bidyC + cidxD + didyD + dÄ…i
v1 = 81,65dxC  112,09dyC
v2 =  79,21dxC + 42,22dyC  2,44dxD + 69,87dyD  12,89
v3 =  66,08dxC  73,43dyC + 2,44dxD  69,87dyD + 2,31
v4 = 63,64dxC + 143,30dyC
v5 =  38,03dxD + 104,24dyD
v6 = 2,44dxC  69,87dyC + 35,95dxD  34,37dyD  4,87
v7 =  2,44dxC + 69,87dyC +46,14dxD + 28,91dyD + 9,89
v8 =  43,70dxD  98,78dyD
Tabela 8. Stabelaryzowane równania poprawek [opracowanie własne]
Nr Współczynniki przy niewiadomych Wyrazy wolne
poprawki a b c d dÄ… [3 ]

1 81,65 0 0 0
112,09
2  79,21 42,22  2,44 69,87  12,89
3  66,08  73,43 2,44  69,87 2,31
4 63,64 143,30 0 0 0
5 0 0  38,03 104,24 0
6 2,44  69,87 35,95  34,37  4,87
7  2,44 69,87 46,14 28,91 9,89
8 0 0  43,70  98,97 0
4. UÅ‚o\
enie układu równań normalnych i jego rozwiązanie
[aa] dxC + [ab] dyC + [ac] dxD + [ad] dyP + [adÄ…] = 0
[ab] dxC + [bb] dyC + [bc] dxD + [bc] dyP + [bdÄ…] = 0
[ac] dxC + [bc] dyC + [cc] dxD + [cd] dyP + [cdÄ…] = 0
[ad] dxC + [bd] dyC + [cd] dxD + [dd] dyP + [ddÄ…] = 0
21369,4698dxC + 1134,5061dyC + 7,1736dxD  1071,7963dyD + 832,3577 = 0
1134,5061 dxC + 50037,1852dyC + 429,7893dxD + 12501,8391dyD + 317,4421 = 0
7,1736dxC + 429,7893dyC + 6789,1802dxD + 113,7121dyD + 318,3361 = 0
-1071,7963dxC + 12501,8391dyC + 113,7121dxD + 32421,9733dyD  608,7222 = 0
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
47
Pierwiastek krakowianowy
146,1830dxC + 7,7609dyC + 0,0491dxD  7,3319dyD + 5,6939 = 0
223,5552dyC + 1,9208dxD + 56,1774dyD + 1,2223 = 0
82,3741dxD + 0,0749dyD + 3,8326 = 0
170,9161dyD  3,7207 = 0
dyD = 0,0218
dxD = - 0,0465
dyC = - 0,0105
dxC = - 0.0373
5. Określenie przyrostów niewiadomych
dxC = -0,037
dyC = -0,010
dxD = -0,046
dyD = 0,022
6. Obliczenie poprawek
v1 = 81,65Å"
(-0,037
)-112,09Å"
(-0,010 = -1,87"
)
v2 = -79, 21Å"
(-0,037 + 42,22Å"
) (-0,010 2,44Å"
)- (-0,046 + 69,87 Å"0,022 -12,89 = -8,74"
)
v3 = -66,08Å"
(-0,037 - 73, 43Å"
) (-0,010 + 2,44Å"
) (-0,046 69,87Å"0,022 + 2,31 = 3,91"
)-
v4 = 63,64Å"
(-0,037 +143,30Å"
) (-0,010 = -3,88"
)
v5 = -38,03Å"
(-0,046 +104,24Å"0,022 = 4,04"
)
v6 = 2, 44Å"
(-0,037 - 69,87 Å"
) (-0,010 + 35,95Å"
) (-0,046 34,37Å"0,022 - 4,87 = -6,65"
)-
v7 = -2, 44Å"
(-0,037 + 69,87 Å"
) (-0,010 + 46,14Å"
) (-0,046 + 28,91Å"0,022 + 9,89 = 7,73"
)
v8 = -43,70Å"
(-0,046 98,78Å"0,022 -12,89 = -0,12"
)-
7. Kontrola ogólna
[adÄ…]dxC + [bdÄ…]dyC + [cdÄ…]dxD + [ddÄ…]dyD + [dÄ…dÄ…] = [vv]
832,3577 Å"
(-0,0373 + 317, 4421Å"
) (-0,0105 + 318,3361Å"
) (-0,0465 +
)
+
(-608,7222 Å"0,0218 + 293,0172 = 230,56
)
[vv] = 230,54
L H" P
Zachodzi, więc równość w granicach dokładności obliczeń
8. Obliczenie niewiadomych  współrzędnych wyrównanych.
XC = X0 + dxC = 3202, 267 - 0,037 = 3202, 230
YC = Y0 + dyC = 2875,771- 0,010 = 2875,761
XD = X0 + dxD = 253,670 - 0,046 = 253,624
YD = Y0 + dyD = 2772,591+ 0,022 = 2772,613
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
48
9. Spostrze\
enia wyrównane
""1+ v1 = 53 55'45" -1,87" = 53 55'43,13"
'
""2 + v2 = 34 0313" - 8,74" = 34 03'04, 26"
""3 + v3 = 25 56'57" + 3,91" = 25 57'00,91"
' '
""4 + v4 = 66 0317" - 3,88" = 66 0313,12"
""5 + v5 = 69 57'26" + 4,04" = 69 57'30,04"
'
""6 + v6 = 18 02'24" - 6,65" = 18 0217,35"
""7 + v7 = 25 51'59" + 7,73" = 25 52'06,73"
""8 + v8 = 66 08'06" - 0,12" = 66 08'05,88"
10. Kontrola ostateczna
Tabela 9. Obliczenie wartości kątów z wyrównanych współrzędnych [opracowanie własne]
v
Nr
(z równań
Ä…m Ä…obl. Ä…obl.- Ä…m
-
-
-
kÄ…ta
poprawek)
1.
53 55'43,13" -1,87" -1,87"
53 55'45"
'
2.
34 03'04,26" -8,74" -8,74"
34 0313"
3.
25 57'00,91" +3,91" +3,91"
25 56'57"
'
'
4.
66 0313,12" -3,88" -3,88"
66 0317"
5.
69 57'30,04" +4,04" +4,04"
69 57'26"
6.
18 02'17,35" -6,65" -6,65"
18 02'24"
'
7.
25 52'06,73" +7,73" +7,73"
25 5159"
8.
66 08'05,88" -0,12" -0,12"
66 08'06"
11. Ocena dokładności
Średni błąd pomiaru kąta.
vv
[ ]
m = Ä…
nn
nn  liczba spostrze\
eń nadliczbowych
nn = n  u = 8  4 = 4
230,54
m = Ä… = Ä…7,59"
4
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
49
4.2.2. Pytania sprawdzajÄ…ce
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczenia.
1. Co to sÄ… spostrze\
enia pośredniczące?
2. Jak układamy równanie poprawek w metodzie pośredniczącej?
3. Jak układamy równanie normalne w metodzie pośredniczącej?
4. Z jakich etapów składa się wyrównanie spostrze\
eń metodą pośredniczącą?
5. Czym ró\
ni się wyrównanie spostrze\
eń jednakowo dokładnych od wyrównania
spostrze\
eń niejednakowo dokładnych?
6. Do czego słu\
ą współczynniki wagowe  Q ?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą pośredniczącą kąty
w czworoboku geodezyjnym, w którym długość zmierzonej bazy jest znana.
Rysunek do ćwiczenia 1. Czworobok geodezyjny [opracowanie własne]
Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]:
Nr kÄ…ta KÄ…t
24o30 49
79o12 28
55o54 50
24o21 54
16o47 58
82o55 20
66o55 54
13o20 45
Długość pomierzonej bazy B103-104 zmienia się według wzoru: 1000m + nr dz. 100 m;
nr dz.  numer ucznia w dzienniku
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
50
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody pośredniczącej,
2) zapoznać się z przykładem  wyrównania sieci kątowej w postaci czworoboku
geodezyjnego zamieszczonym poni\
ej,
3) dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny.
Wyposa\
enie stanowiska pracy:
- papier formatu A4,
-  Poradnik dla ucznia ,
- kalkulator funkcyjny.
4.2.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) zdefiniować spostrze\
enia pośredniczące?
2) uło\
yć równania poprawek?
3) uło\
yć równania normalne?
4) wymienić etapy wyrównania spostrze\
eń metodą pośredniczącą?
5) określić ró\
nicę pomiędzy wyrównaniem spostrze\
eń jednakowo
dokładnych a wyrównaniem spostrze\
eń niejednakowo dokładnych?
6) określić do czego słu\
ą współczynniki wagowe  Q ?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
51
4.3. Wyrównanie spostrze\
eń metodą warunkową
4.3.1. Materiał nauczania
Metoda warunkowa
Spostrze\
eniami zawarunkowanymi nazywamy wyniki pomiarów geodezyjnych
odnoszące się do takich wielkości, których wartości prawdziwe muszą spełniać z góry
wiadome i ściśle określone równania matematyczne, zwane warunkami. W ramach
wyrównania spostrze\
eń zawarunkowanych przyjmowane jest zało\
enie, \
e równania
warunkowe muszą spełniać nie tylko wartości prawdziwe mierzonych wartości, lecz tak\
e
spostrze\
enia wyrównane (L+v).
W postaci ogólnej równanie warunkowe mo\
na przedstawić jako równość funkcji
spostrze\
eń wyrównanych  f i określanych wartości liczbowych  w .
f1 (L1+v1,L2+v2,& Ln+vn) = w1
f2 (L1+v1,L2+v2,& Ln+vn) = w2
& & & & & & & & & & & & & & & & & & .
fr (L1+v1,L2+v2,& Ln+vn) = wr
W przypadku gdy funkcje f1,f2,,& fn sÄ… funkcjami nieliniowymi, nale\
y je doprowadzić
do postaci liniowej rozwijając funkcję na szereg Taylora z pominięciem wyrazów o potędze
wy\
szej ni\
pierwsza.
Do sprawdzenia obliczeń wykorzystujemy kontrolę ogólną
pvv = w Å"k
[ ] -[ ]
Kontrola generalna wyrównania polega na sprawdzeniu spełnienia wyjściowych warunków
podstawiajÄ…c do nich spostrze\
enia wyrównane (L+v). Ocena dokładności spostrze\
eń
zawarunkowanych polega na obliczeniu średniego błędu pojedynczego spostrze\
enia  m .
vv
[ ]
m = Ä…
r
m0
lub spostrze\
enia typowego  
pvv
[ ]
m0 = Ä…
r
średnie błędy poszczególnych spostrze\
eń niejednakowo dokładnych obliczamy ze wzoru:
m0
mi = Ä…
pi
Równania warunkowe
Podczas układania równań warunkowych nale\
y przestrzegać następujących zasad:
a) liczba warunków  r musi być równa liczbie spostrze\
eń nadliczbowych  nn ,
b) warunki nale\
y układać tak, aby liczba zawartych w nich spostrze\
eń była jak
najmniejsza, lecz jednocześnie w układzie równań warunkowych muszą wystąpić
wszystkie spostrze\
enia danego zadania,
c) warunki muszą być niezale\
ne od siebie tzn. takie, aby \
adnego z nich nie mo\
na było
wyliczyć z pozostałych równań warunkowych.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
52
Prostymi przykładami równań warunkowych są:
a) przy wyrównaniu kątów zmierzonych na jednym stanowisku (rys. 24 ) mamy daną liczbę
 n kątów pomierzonych oraz znaną liczbę  k kierunków które mamy wyznaczyć. Do
wyznaczenia  k kierunków trzeba wyznaczyć  k  1 kątów czyli liczba warunków  r
równa się liczbie spostrze\
eń nadliczbowych  nn
r = nn
r = n  (k  1) = n  k +1
Przykład 14
Ułó\
równania warunkowe dla kątów mierzonych z jednego stanowiska
Rys. 23. Pomiar kątów na stanowisku do 4 kierunków [opracowanie własne]
n = 6
k = 4
r = 6  4 + 1 = 3
Liczba równań warunkowych wynosi 3, są to:
""5+""6 = 360o
1.
""1+""2 = ""5
2.
""3+""4 = ""6
3.
b) W siatkach niwelacyjnych z ka\
dego obwodu zamkniętego wynika, \
e suma ró\
nic
wysokości równa się zero [h] = 0. W ciągach niwelacyjnych otwartych suma
poszczególnych ró\
nic wysokości jest równa ró\
nicy wysokości reperów
[h] = HRpA  HRpB
Ogólnie rzecz ujmując, w siatkach niwelacyjnych wysokość co najmniej jednego reperu jest
znana. Zatem do wyznaczenia ka\
dego następnego punktu potrzebna jest jedna ró\
nica
wysokości, a do wyznaczenia  x punktów potrzebnych jest  x ró\
nic wysokości. Liczba
warunków powinna spełniać poni\
szą równość:
r = nn = n  x
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
53
gdzie:
n  jest to liczba pomierzonych ró\
nic wysokości
x  jest to liczba nieznanych reperów
Przykład 15
Ułó\
równania warunkowe dla siatki niwelacyjnej (rys. 24)
Rys. 24. Przykład siatki niwelacyjnej [opracowanie własne]
liczba pomierzonych ró\
nic wysokości  9
n = 9
liczba nieznanych reperów  4
x = 4
r = nn = n  x = 9  4 = 5
1. h3 + h6  h2 = 0
2. h4 + h5  h3 = 0
3. h1 + h4 + h5 = HB  HA
4. h1 + h3 + h8 = HC  HA
5. h1 + h2 + h7 = HD  HA
a) przy wyrównaniu siatki triangulacyjnej musimy uwzględniać następujące warunki:
- warunek bazowy  ka\
da siatka musi mieć jedną bazę,
- warunek trójkątów  ka\
dy trójkąt z trzema pomierzonymi kątami daje warunek
sumy kÄ…tów równej 180°,
- warunek sinusów  wszędzie tam, gdzie do obliczenia długości boków stosujemy
twierdzenie sinusów , to mamy tyle warunków sinusowych ile twierdzeń
sinusowych,
- warunek horyzontu  suma kÄ…tów równa siÄ™ 360° dla kÄ…tów zamykajÄ…cych horyzont
na stanowisku,
- warunek nawiązania azymutalnego  liczba nawiązań do dwóch boków
o znanych azymutach.
A
ączna liczba warunków w siatkach triangulacyjnych jest sumą spostrze\
eń
nadliczbowych wszystkich wymienionych warunków.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
54
 Liczba warunków  r jest zawsze mniejsza od liczby spostrze\
eń  n poniewa\

w przeciwnym wypadku wielkości występujące w równaniach jako niewiadome, dałoby się
wyznaczyć na podstawie równań warunkowych.
Przykład 16
Wyrównaj metodą warunkową kąty pomierzone w trójkącie (rys. 25)
²
Å‚
Ä…
Rys. 25. Pomiar kątów w trójkącie [opracowanie własne]
Dane:
Ä… = 67015 25
² = 78020 30
Å‚ = 34024 35
1. UÅ‚o\
enie równań warunkowych
n = 3
u = 2
r = n  u = 3  2 = 1
Mamy tutaj do czynienia z jedną obserwacją nadliczbową, a więc tylko z jednym
warunkiem
(Ä… + v1) + (² + v2) + (Å‚ + v3) = 180°
2. Obliczenie odchyłek
Éa= Ä… + ² + Å‚  180°
Éa= -30 
3. Zestawienie równań poprawek
v1 + v2 + v3  30 = 0
poprawki v1 v2 v3 É
a +1 +1 +1 -30
4. Zestawienie równań poprawek wyra\
onych przez korelaty
vi = ai . ka
v1 = ka
v2 = ka
v3 = ka
5. Zestawienie równań normalnych korelat
[aa] . ka + Éa = 0
3ka  30 = 0
ka = 10
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
55
6. Obliczenie wartości poprawek wyra\
onych przez korelaty
v1 = 10
v2 = 10
v3 = 10
7. Kontrola ogólna
[vv] = 300
 [k . É] = 300
[vv] = -[k . É] 300 = 300
8. Spostrze\
enia wyrównane
Ä… + v1 = 67015 35
² + v2 = 78020 40
Å‚ + v3 = 34024 45
9. Kontrola generalna
(Ä… + v1) + (² + v2) + (Å‚ + v3) = 67°15 35 180° + 78020 40 + 34°24 45 = 180°
10. Obliczenie średniego błędu spostrze\
enia
vv
[ ]
m = Ä…
r
300
m = Ä… = Ä…17,3"
1
Zastosowanie metody warunkowej
Poniewa\
wyrównanie spostrze\
eń wykonywane metodą pośredniczącą i warunkową
daje identyczne wyniki, więc istnieje problem ustalenia kryterium dokonania wyboru metody
wyrównania. Przy tradycyjnych metodach wykonywania obliczeń głównym kryterium
wyboru była liczba równań normalnych, niezbędnych do rozwiązania danego zadania.
W metodzie pośredniczącej liczba ta jest równa liczbie niewiadomych  u , natomiast
w metodzie warunkowej ilość równań normalnych jest równa liczbie warunków  r .
r = n  u
czyli u = n  r
Biorąc pod uwagę kryterium liczby równań normalnych:
- wybieramy metodę pośredniczącą w przypadku gdy:
n
2
r >
- wybieramy metodÄ™ warunkowÄ… gdy:
n
2
r <
Przy zastosowaniu współczesnej techniki obliczeniowej ró\
nice w ilości równań
normalnych nie majÄ… istotnego znaczenia dla procesu rachunkowego, dlatego w ramach
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
56
układania komputerowych programów obliczeniowych z reguły wykorzystuje się wyrównanie
metodą pośredniczącą, która zapewnia lepszą jednolitość i przejrzystość postępowania oraz
wygodniejszą ocenę dokładności.
Programy obliczeniowe do wyrównania spostrze\
eń metodami ścisłymi
Wyrównania ścisłe osnów geodezyjnych mo\
na wykonać metodą pośredniczącą lub
warunkową. Obie te metody zostały wcześniej omówione. Obecnie wyrównanie osnów tymi
metodami przeprowadzane jest z wykorzystaniem komputerowych technik obliczeniowych.
Najpopularniejszymi programami słu\
ącymi do ścisłego wyrównania osnów są m.in. program
C-GEO stworzony przez firmę Softline z Wrocławia i GEONET stworzony przez
prof. dr hab. in\
. R. Kadaja z Akademii Rolniczej w Krakowie. Programy te sÄ… stosowane
z wielkim powodzeniem w całej Polsce.
Przykład 17
Wyrównaj spostrze\
enia metodÄ… warunkowÄ…
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiary wyrównaj metodą warunkową ró\
nice
wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej jednopunktowo (rys. 26).
Rys. 26. Siatka niwelacyjna [opracowanie własne]
Tabela 10. Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]
Nr ciągu Długość ciągu [km] Ró\
nica wysokości [m]
1. 2,174 - 5,236
2. 2,192 +3,184
3. 2,235 -1,594
4. 2,850 +3,650
5. 2,953 +8,408
6. 2,989 -4,785
n = 6
u = 3
r = nn= n  u = 6  3 = 3
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
57
1. UÅ‚o\
enie równań warunkowych
I (h1 + v1) + (h5 + v5)  (h2 + v2) = 0
II -(h1 + v1) + (h3 + v3)  (h4 + v4) = 0
III (h2 + v2) + (h6 + v6)  (h3 + v3) = 0
2. Obliczenie odchyłek
Éa = h1 + h5  h2
Éb = - h1 + h3  h4
Éc = h2 + h6  h3
Éa = -5236 + 8408  3184 = -12 mm
Éb = 5236  1594  3650 = - 8mm
Éc = 3184  4785 + 1594 = -7mm
3. Zestawienie równań poprawek.
I v1  v2 + v5  12 = 0
II - v1  v3 - v4  8 = 0
III v2  v3 + v6  7 = 0
Tabela 11. Stabelaryzowane równania poprawek [opracowanie własne]
Warunki Poprawka v1 v2 v3 v4 v5 v6 É
É
É
É
I a +1 -1 0 0 +1 0 -12
II b -1 0 +1 -1 0 0 -8
III c 0 +1 -1 0 0 +1 -7
4. Zestawienie równań poprawek wyra\
onych przez korelaty:
ai bi ci
vi = Å" ka + Å"kb + Å" kc
pi pi pi
dla ciągów niwelacyjnych wagi spostrze\
eń przyjmujemy z zasady jako:
1 1
pi = = Li
Li pi gdzie L  długość ciągu w km
Ò!
v1 = 2,174.ka  2,174. kb
v2 = - 2,191.ka + 2,193.kc
v3 = 2,235.kb  2,235. kc
v4 =  2,850. kb
v5 = 2,953.ka
v6 = 2,989.kc
5. Zestawienie równań normalnych korelat
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
aa ab ac
Å" ka + Å" kb + Å" kc + É1 = 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
p p p
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ab bb bc
Å"ka + Å" kb + Å" kc + É2 = 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
p p p
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ac bc cc
Å" ka + Å" kb + Å" kc + É3 = 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
p p p
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
58
7,319ka - 2,174kb - 2,192kc -12 = 0
-2,174ka + 7, 259kb - 2, 235kc -8 = 0
-2,192ka - 2,235kb + 7,416kc - 7 = 0
6. Rozwiązanie układu równań normalnych korelat przy pomocy pierwiastka krakowianowego:
2,705ka - 0,804kb - 0,810kc - 4,436 = 0
2,571kb -1,123kc - 4, 4494 = 0
2,345kc - 6,672 = 0
kc = 2,845
kb = 2,992
ka = 3,381
7. Obliczenie wartości poprawek wyra\
onych przez korelaty:
v1 = 2,174.3,381  2,174.2,992 = 0,85
v2 = -2,192.3,381 + 2,192.2,845 = -1,17
v3 = 2,235.2,992  2,235.2,845 = 0,33
v4 = -2,850.2,992 =  8,53
v5 = 2,953.3,381 = 9,98
v6 = 2,989.2,845 = 8,50
8. Kontrola ogólna:
[pvv] = 84,44
-[k.É] = 84,42
[pvv] = -[k.É]
9. Spostrze\
enia wyrównane:
h1 + v1 = - 5236 + 0,850 = - 5235,15 mm
h2 + v2 = 3184 - 1,17 = 3182,83 mm
h3 + v3 = - 1594 + 0,33 =  1593,67 mm
h4 + v4 = 3650  8,53 = 3641,47 mm
h5 + v5 = 8408 + 9,98 = 8417,98 mm
h6 + v6 =  4785 + 8,50 =  4776,50 mm
10. Kontrola ostateczna:
I (h1 + v1) + (h5 + v5)  (h2 + v2) = - 5235,15 + 8417,98 - 3182,83 = 0
II -(h1 + v1) + (h3 + v3)  (h4 + v4) = 5235,15 - 1593,67  3641,47 = 0,01
III (h2 + v2) + (h6 + v6)  (h3 + v3) = 3182,83  4776,50 + 1593,67 = 0
11. Obliczenie średniego błędu typowego spostrze\
enia (dla ciągu o długości 1 km):
pvv
[ ]
m0 = Ä…
r
84, 44
[ ] mm
m0 = Ä… = Ä…5,31
3 km
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
59
12. Obliczenie średnich błędów poszczególnych spostrze\
eń:
m0
mi =
pi
5,31
m1 = = Ä…7,83mm
1
2,174
5,31
m2 = = Ä…7,86mm
1
2,192
5,31
m3 = = Ä…7,94mm
1
2,235
5,31
m4 = = Ä…8,96mm
1
2,850
5,31
m5 = = Ä…9,12mm
1
2,953
5,31
m6 = = Ä…9,18mm
1
2,989
4.3.2. Pytania sprawdzajÄ…ce
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.
1. Co to sÄ… spostrze\
enia warunkowe?
2. Jak układamy równania normalne?
3. Co to są korelaty i do czego słu\
Ä…?
4. Jak układamy równania normalne korelat?
5. W jaki sposób wybieramy metodę wyrównania spostrze\
eń?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
60
4.3.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Posługując się danymi uzyskanymi z pomiaru wyrównaj metodą warunkową ró\
nice
wysokości w siatce niwelacyjnej nawiązanej wielopunktowo.
Rysunek do ćwiczenia 1. Siatka niwelacyjna [opracowanie własne]
Tabela do ćwiczenia: Dane uzyskane z pomiaru [opracowanie własne]
Nr ciÄ…gu 1 2 3 4 5 6 7
Ró\
nica wysokości [m] 3,852 0,947 0,452 0,210 0,487 2,909 1,724
Długość [km] 4,7 5,9 3,8 1,5 2,7 3,1 2,0
Wysokości reperów nawiązania:
HA = 96,267m
HB = 95,599m
HC = 94,142m
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) odszukać w materiałach dydaktycznych rozdziały dotyczące metody warunkowej,
2) zapoznać się z przykładem  wyrównanie metodą warunkową ró\
nic wysokości
w siatce niwelacyjnej w celu wyznaczenia wysokości trzech reperów zamieszczonym
poni\
ej,
3) ustalić dane wyjściowe do wykonania ćwiczenia,
4) dokonać wyrównania w oparciu o wiedzę teoretyczną i przykład praktyczny.
Wyposa\
enie stanowiska pracy:
- kalkulator funkcyjny,
- papier formatu A4,
-  Poradnik dla ucznia .
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
61
4.3.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz:
Tak Nie
1) zdefiniować spostrze\
enia zawarunkowane?
2) uło\
yć równania normalne przy wyrównaniu kątów?
3) uło\
yć równania normalne w siatkach niwelacyjnych?
4) zdefiniować pojęcie korelaty?
5) uło\
yć równania normalne korelat?
6) wybrać metodę wyrównania spostrze\
eń?
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
62
5. SPRAWDZIAN OSI
GNI
Ć
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
1. Przeczytaj uwa\
nie instrukcjÄ™.
2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartÄ™ odpowiedzi.
3. Zapoznaj się z zestawem zadań testowych.
4. Test zawiera 20 zadań. Do ka\
dego zadania dołączone są 4 mo\
liwości odpowiedzi.
Tylko jedna jest prawidłowa.
5. Udzielaj odpowiedzi na załączonej karcie odpowiedzi, stawiając w odpowiedniej rubryce
znak  x . W przypadku pomyłki nale\
y błędną odpowiedz
zaznaczyć kółkiem,
a następnie ponownie zakreślić odpowiedz
prawidłową.
6. Zadania wymagają prostych obliczeń, które powinieneś wykonać przed wskazaniem
poprawnego wyniku.
7. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonywanego zadania.
8. Je\
eli udzielenie odpowiedzi będzie Ci sprawiało trudność, wtedy odłó\
jego rozwiÄ…zanie
i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.
9. Na rozwiÄ…zanie testu masz 45 minut.
Powodzenia!
ZESTAW ZADAC
TESTOWYCH
1. Wyniki pomiarów geodezyjnych są
a) zawsze bezbłędne.
b) wartościami prawdziwymi mierzonych wielkości.
c) wartościami przybli\
onymi wielkości prawdziwych.
d) podstawą podziału błędów na trzy grupy.
2. Błędy systematyczne powstają wskutek
a) nieuwagi obserwatora.
b) działania ustalonych prawidłowości w określonych warunkach pomiaru.
c) przyczyn trudnych do ścisłego określenia.
d) zbyt du\
ej liczby pomiarów.
3. Błędy przypadkowe są
a) mo\
liwe do wyznaczenia na podstawie du\
ej liczby obserwacji.
b) niemo\
liwe do wyznaczenia i wyeliminowania.
c) mo\
liwe do wyznaczenia na postawie znajomości z
ródeł błędów.
d) stałe co do znaku i wartości liczbowej.
4. Z przebiegu krzywej prawdopodobieństwa popełnienia błędu przypadkowego wynika, \
e
a) prawdopodobieństwo błędu większego jest większe ni\
prawdopodobieństwo błędu
mniejszego.
b) prawdopodobieństwo błędu mniejszego jest większe ni\
prawdopodobieństwo błędu
większego.
c) przy zmniejszaniu liczby spostrze\
eń suma błędów przypadkowych dą\
y do zera.
d) prawdopodobieństwo błędów o tej samej wartości bezwzględnej lecz z ró\
nymi
znakami jest równe zero.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
63
5. Błąd względny jest równy
a) błędowi średniemu.
b) błędowi granicznemu.
c) średniemu błędowi bezwzględnemu przypadającemu na całą mierzoną wielkość.
d) dwukrotnej wartości błędu średniego.
6. Åšrednia arytmetyczna obliczona dla spostrze\
eń jednakowo dokładnych jest równa
a) sumie spostrze\
eń.
b) sumie spostrze\
eń podzielonej przez liczbę pomiarów.
c) liczbie pomiarów.
d) wartości przybli\
onej mierzonej wielkości.
7. Prawo przenoszenia się błędów średnich słu\
y do obliczania
a) błędu średniego funkcji obserwacji.
b) błędu względnego funkcji obserwacji.
c) pochodnych czÄ…stkowych funkcji obserwacji.
d) błędów średnich bezpośrednio obserwowanych wielkości.
8. Do obliczenia błędu średniego przewy\
szenia, korzystamy z funkcji h = d.tgą i wówczas
"h
równa się
"d
a) d.sinÄ….
b) tgÄ….
c) d.cosÄ….
d) d.
9. Pomierzona przekątna działki w kształcie kwadratu wynosi 100m. Je\
eli przekÄ…tnÄ…
pomierzyliśmy z błędem ą0,1 m, to powierzchnię tej działki obliczymy z błędem
a) Ä…5 m2.
b) Ä…10 m2.
c) Ä…20 m2.
d) Ä…100 m2.
10. Na mapie zmierzono odległość pomiędzy dwoma punktami, przy czym błąd przyło\
enia
podziałki wynosi ą0,1 mm a błąd odczytu ą0,15mm. Przy zmierzonej długości nale\
y
oczekiwać błędu
a) Ä…0,1 mm.
b) Ä…0,15 mm.
c) Ä…0,18 mm.
d) Ä…0,25 mm.
11. Do obliczania wartości kąta nachylenia terenu pomiędzy dwoma punktami, przy
pomierzonej poziomej odległości między nimi  d i ró\
nicy wysokości  h stosujemy
h
wzór tgą = . Przy obliczaniu błędu średniego tego kąta korzystamy z funkcji
d
a) tgÄ….
b) ctgÄ…,
c) arc tgÄ….
d) arc ctgÄ….
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
64
12. Średnia arytmetyczna ogólna obliczana dla spostrze\
eń bezpośrednich niejednakowo
dokładnych jest równa sumie
a) spostrze\
eń podzielonych przez sumę wag.
b) spostrze\
eń podzielonej przez liczbę pomiarów.
c) iloczynów spostrze\
eń i odpowiadających im wag podzielonej przez sumę wag.
d) iloczynów spostrze\
eń i odpowiadających im wag podzielonej przez liczbę wag.
13. Przy pomiarach ciągów poligonowych, przyjmuje się najczęściej wagi odnoszące się do
boków jako
a) wprost proporcjonalne do długości boków.
b) odwrotnie proporcjonalne do długości ciągów.
c) równe liczbie przyło\
eń taśmy na danym ciągu.
d) równe błędom średnim pomierzonych boków.
14. Je\
eli za spostrze\
enie typowe przyjmiemy spostrze\
enie o średnim błędzie ą3 , to waga
dla spostrze\
enia o średnim błędzie ą1 wynosi
a) 9.
b) 6.
c) 3.
d) 1.
15. Mamy trzy spostrze\
enia niejednakowo dokładne o średnich błędach m1 = ą2 cm,
m2 = Ä…1 cm, m3 = Ä…5 cm. Spostrze\
eniom tym odpowiadajÄ… wagi
a) p1=0,25; p2=1; p3=0,04.
b) p1=6; p2=25; p3=1.
c) p1=4; p2=16; p3=0,5.
d) p1=0,5; p2=1; p3=0,1.
16. Spostrze\
enia pośredniczące
a) odnoszą się bezpośrednio do szukanych wielkości.
b) słu\
ą do wyznaczenia niewiadomych za pomocą ustalonych związków funkcyjnych.
c) słu\
ą do wyznaczenia wartości prawdziwych mierzonych wielkości.
d) pozwalają określić ilość spostrze\
eń nadliczbowych.
17. Je\
eli funkcja, którą się posługujemy przy wyrównywaniu spostrze\
eń, nie jest funkcją
liniowÄ… to nale\
y rozwinąć ją na szereg
a) Taylora.
b) Maclaurina.
c) Taylora z odrzuceniem wyrazów rzędu wy\
szego ni\
pierwszy.
d) Maclaurina z odrzuceniem wyrazów rzędu wy\
szego ni\
pierwszy.
18. Liczba spostrze\
eń nadliczbowych jest równa
a) liczbie spostrze\
eń niezale\
nych od siebie.
b) liczbie spostrze\
eń niezbędnych do rozwiązania danego zadania geodezyjnego.
c) ró\
nicy liczby spostrze\
eń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrze\
eń niezale\
nych
od siebie.
d) ró\
nicy liczby spostrze\
eń uzyskanych z pomiaru i liczby spostrze\
eń niezbędnych
do rozwiÄ…zania danego zadania geodezyjnego.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
65
19. Pomierzyliśmy 5 ciągów niwelacyjnych w celu wyznaczenia wysokości trzech nowych
reperów.
Siatka niwelacyjna nawiązana jednopunktowo [opracowanie własne]
Liczba warunków wynosi
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
20. Korelaty sÄ… to
a) poprawki do spostrze\
eń.
b) wartości najbardziej prawdopodobne niewiadomych.
c) współczynniki nieoznaczone występujące jako dodatkowe niewiadome.
d) odchyłki, których suma jest równa zero.
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
66
KARTA ODPOWIEDZI
ImiÄ™ i Nazwisko& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Wykorzystywanie teorii błędów do opracowania pomiarów geodezyjnych
Zakreśl poprawną odpowiedz
znakiem X.
Nr
Odpowiedz
Punkty
zadania
1 a b c d
2 a b c d
3 a b c d
4 a b c d
5 a b c d
6 a b c d
7 a b c d
8 a b c d
9 a b c d
10 a b c d
11 a b c d
12 a b c d
13 a b c d
14 a b c d
15 a b c d
16 a b c d
17 a b c d
18 a b c d
19 a b c d
20 a b c d
Razem:
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
67
6. LITERATURA
1. Adamczewski Z.:  Rachunek wyrównawczy w 15 wykładach . Oficyna Wydawnicza
Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2005
2. Adamczewski Z.:  Teoria błędów dla geodetów . Oficyna Wydawnicza Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 2005
3. Baran W.:  Teoretyczne podstawy opracowania wyników pomiarów geodezyjnych .
PWN Warszawa 1999
4. Chojnicki W.:  Geodezyjny rachunek wyrównawczy w zadaniach . PPWK, Warszawa
1968
5. Hausbrandt S.:  Rachunek wyrównawczy i obliczenia geodezyjne . PPWK, Warszawa
1970
6. Jagielski A.:  Geodezja II . Stabill, Kraków 2003
7. Sadownik T.:  Geodezja dla klasy IV . PPWK, Warszawa 1980
8. Szczęsny J., Wysocki K.:  Matematyka dla techników geodezyjnych . PWSZ, Warszawa
1964
9. Warchałowski E.:  Rachunek wyrównawczy dla geodetów . PWN, Warszawa 1955
10. Wiśniewski Z.:  Rachunek wyrównawczy w geodezji z przykładami Wydawnictwo
Uniwersytetu Warmińsko-Mazurskiego, Olsztyn 2005
 Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
68


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
10 Meyer Z i inni Wykorzystanie testu Osterberga do statycznych obciazen probnych pali
311[10] Z1 10 Sporządzanie mapy sytuacyjno wysokościowej na podstawie pomiarów terenowych
2007 07 Wykorzystanie przypadków użycia do modelowania zachowania [Inzynieria Oprogramowania]
2007 07 Wykorzystanie przypadków użycia do modelowania zachowania [Inzynieria Oprogramowania]
311[15] Z1 01 Wykonywanie pomiarów warsztatowych
lakiernikq4[03] z1 07 u
07 05 Materialy wybuchowe do robot budowlanych
malarz tapeciarzq4[01] z1 07 n
DYSKUSJA ROZWOJU POJĘĆ W FIZYCE OD TEORII KLASYCZNYCH DO KWANTOWEJ

więcej podobnych podstron