Technika analogowa
g
Wykład 10
Podstawowe twierdzenia teorii obwodów
w uję py
jęciu operatorowym
Operatorowe funkcje transmitancji
www.zto.ita.pwr.wroc.pl
1
Plan wykładu
Plan wykładu
Podstawowe twierdzenia w ujęciu operatorowym
Zasada superpozycji tw Thevenina i Nortona
Zasada superpozycji, tw. Thevenina i Nortona
Operatorowa transmitancja układu; związki między
pobudzeniem i reakcją w postaci operatorowej
pobudzeniem i reakcją w postaci operatorowej
Obliczanie transmitancji układu
Definicja stabilności układu w sensie BIBO
Definicja stabilności układu w sensie BIBO
Przykłady
2
Podstawowe twierdzenia teorii obwodów
Podstawowe twierdzenia teorii obwodów
Zd ji
Zasada superpozycji
Każda reakcja układu liniowego jest sumą
j g j ą
reakcji spowodowanych działaniem każdego z
pobudzeń i zródeł pochodzących od warunków
początkowych osobno.
kh b
Reakcją w teorii obwodów najczęściej jest napięcie na jakimś
elemencie lub prąd płynący przez ten element.
Pobudzeniami są autonomiczne zródła ( p ę p ą )
ą (napięciowe lub prądowe).
Również zródła od warunków początkowych, jak widać powyżej,
traktujemy jak pobudzenia. Z powyższego twierdzenia wynika, że zródła
sterowane nie są pobudzeniami (traktujemy je tak jak elementy RLC).
ą p( j )
j y j y
3
Przykład zastosowania zasady
superpozycji
Wyznaczyć napięcie u(t) stosując zasadę superpozycji .
R
1
R 1, C F,
R =1, C = F,
u(t) iZ(t)
2
C
e(t)
e(t) = 10"1(t), iZ (t) = 5 (t)
4
Przykład zastosowania zasady
superpozycji (c. d.)
+
R
R
I (s)
IZ(s)
C
10
E(s) = L 10"1(t) = ,
{}
IZ (s) = L 5 (t) = 5,
{}
s
U (s) = U '(s) +U ''(s)
u(t) = L-1 U (s)
{ }
5
s
U''(s)
Przykład zastosowania zasady
superpozycji (c. d.)
1
1
R = 1,C = F,
2
1
sC
sC
U '(s) = - E(s) =
( ) ( )
1
R+
sC
sC
2
10 20
10 20
s
- =-
2
ss s +2
()
1+
s
6
Przykład zastosowania zasady
superpozycji (c. d.)
1
R = 1,C = F,
2
Prawo Ohma
R
IZ(s)
C
IZ (s)
IZ (s)
U ''( )
U ''(s) =
Yw(s)
IZ (s) 510
U (s)'' == =
11
11
s + 2
s + 2
+ sC 1+ s
R 2
7
U''(s)
Przykład zastosowania zasady
superpozycji (c. d.)
10 20
U (s) U (s) +U (s)
U (s) = U '(s) +U ''(s) =-
s + 2 s s + 2
( )
( )
#ś#
#ś#
10 20
10 20
u(t) = L-1 ś#ź#
-=
ś#ź#
s + 2 s s + 2
()
# #
10 10 10 20 10
L-1 #ś#ś#
-+ = L-1 # - =
ś#ź#ź#
ś#
s + 2 s s + 2 s + 2 s
s + 2 s s + 2 s + 2 s
# # # #
# # # #
10(2e-2t -1)"1(t)
8
Twierdzenie Thevenina
Twierdzenie Thevenina
Dlb ód li i d i l i kó b ż
Dowolny obwód liniowy z wydzieloną parą zacisków a, b można
zastąpić obwodem złożonym z szeregowo połączonych:
autonomicznego zródła napięciowego o operatorowej SEM Eg i
g
elementu o operatorowej impedancji Zg(s).
I0(s) I0(s)
Zg (s)
E(s), Iz (s),
Z0(s) Z0(s)
U (s) U (s)
( ) ( )
E (s)
Eg (s)
uC (0- ), iL (0- )
(0 ) i (0 )
SEM Eg(s) jest napięciem na rozwartych zaciskach a, b, impedancja
( )
Zg(s) jest impedancją obwodu widzianą na zaciskach a, b przy
wyłączonych E(s) i I (s) i zródeł pochodzących od warunków
wyłączonych E(s) i IZ(s) i zródeł pochodzących od warunków
początkowych.
9
Twierdzenie Thevenina (c d )
Twierdzenie Thevenina (c.d.)
Wyznaczanie napięcia biegu luzem
I0(s) = 0
E(s), Iz (s),
U0(s) = Eg (s)
g
uC (0- ), iL (0- )
(0 ) i (0 )
Wyznaczanie impedancji generatora
E(s) = 0
Iz (s) = 0
Zwej (s) = Zg (s)
( ) ( )
z
wej g
uC (0-) = 0
10
iL(0-) = 0
Twierdzenie Thevenina (c d )
Twierdzenie Thevenina (c.d.)
I0(s)
Zg (s)
Z0(s)
U (s)
E (s)
Eg (s)
Zgodnie z twierdzeniem Thevenina
E ( )
Eg (s)
I0(s) =
Zg (s) + Z0(s)
11
Przykład
Przykład
Wyznaczyć prąd i(t) stosując tw. Thevenina.
A B
i(t) R
iZ(t)
C
e(t)
1
1
R =1, C = F,
2
e(t) =10"1(t) i (t) = 5 (t)
e(t) =10"1(t), iZ (t) = 5 (t)
12
Przykład (c. d)
Napięcie biegu luzem
1
1
R = 1,C = F,
2
10
E(s) = I (s) = 5
E(s) = , IZ (s) = 5
s
Z NPK mamy
y
E(s) +UC (s) +U (s) = 0
Z Prawa Ohma
12
12
U (s) E(s) UC (s)
U (s) = -E(s) -UC (s)
U ( ) I ( ) 5
UC (s) = IZ (s) = 5
sC s
10 10 20
10 10 20
U (s) = Eg (s) = -E(s) -UC (s) = - - = -
13
ss s
Przykład (c. d)
Wyznaczanie impedancji wewnętrznej
Zwej (s)
E(s) = 0,
Iz(s) = 0
1 2
Zg (s) = Zwej (s) = =
g j
sC s
C
14
Przykład (c. d)
Wyznaczanie prądu i(t)
20 2
Eg (s) =- , Zg (s) =
gg
ss
20
Eg (s)
( )
20
20
g
s
s
I(s) = =- =- "!
2
Zg (s) + R s + 2
+1
s
"! i(t) = -20e-2t1(t)
15
Twierdzenie Nortona
Twierdzenie Nortona
Dlb ód li i d i l i kó b ż
Dowolny obwód liniowy z wydzieloną parą zacisków a, b można
zastąpić obwodem złożonym z równoległe połączonych:
autonomicznego zródła prądowego o operatorowej SEM Ig i
g
elementu o operatorowej admitancji Yg(s).
I0(s) I0(s)
E(s), Iz (s),
U (s) Z0(s) U (s) Z0(s)
Ig (s) Yg (s)
u (0 ) i (0 )
uC (0- ), iL (0- )
Wydajność prądowa Ig(s) jest prądem płynącym przez zwarte zaciski
( )
a, b, admitancja Yg(s) jest admitancją obwodu widzianą na zaciskach
a b przy wyłączonych E(s) i I (s) i zródeł pochodzących od
a, b przy wyłączonych E(s) i IZ(s) i zródeł pochodzących od
warunków początkowych.
16
Twierdzenie Nortona (c d )
Twierdzenie Nortona (c.d.)
Wyznaczanie prądu zwarcia
E(s), Iz (s),
IZW (s) = Ig (s)
U0(s) = 0
uC ( ), iL ( )
(0- ), (0- )
CL
Wyznaczanie admitancji generatora
a
a
SLS
SLS
E(s) = 0
Ywej = Yg (s)
Iz (s) = 0
uC (0-) = 0
( )
iL(0-) = 0 17
b
Twierdzenie Nortona (c d )
Twierdzenie Nortona (c.d.)
I0(s)
1
1
Y0(s) =
Ig (s) Yg (s)
U (s)
Z0(s)
Zgodnie z twierdzeniem Nortona
Y0(s)
I0(s) = Ig (s)
Y (s) + Y (s)
Yg (s) + Y0(s)
18
Przykład
Przykład
Wyznaczyć prąd i(t) stosując Tw. Nortona.
A B
A B
i(t) R
1
1
R = 1, C = F,
2
iZ(t)
C
e(t)
e(t) 10 1(t) iZ (t) 5 (t)
e(t) = 10"1(t), iZ (t) = 5 (t)
19
Przykład (c d) Prądzwarcia
Przykład (c. d) Prąd zwarcia
1
R = 1,C = F,
2
10
10
E(s) = , IZ (s) = 5
s
Z PPK
Z PPK
I (s) + I (s) + I (s) = 0
IZW (s) + IC (s) + IZ (s) = 0
I (s) IZW (s) IC (s) IZ (s)
Ig (s) = IZW (s) =-IC (s) - IZ (s)
1 10
1 10
Ig (s) =-sC " E(s) - IZ (s) =- s - 5 =-10
20
2 s
Przykład (c. d) Wyznaczanie
opertorowej impedancji wewnętrznej
1
R = 1,C = F,
2
Ywej (s) = Yg (s)
( ) ( )
1
Ywej (s) = Yg (s) = sC = s
2
C
21
Przykład (c. d) Wyznaczanie prądu i(t)
y ()yp ( )
1
1
R = 1,C = F,
2
1
Ig (s) =-10, Yg (s) = s
2
1
120
120
R
I(s) = Ig (s) = -10 = -
( )
11
s + 2
Yg (s) + s +1
R 2
R 2
i(t) = L I (s) = -20e-2t1(t)
( ) ( ) ( )
{ }
{ }
22
)
(s)
g
I
Zamiana rzeczywistych zródeł
prądowych i napięciowych
K żdi t z ódł dl bi i( ł j z ódł
Każde rzeczywiste zródło prądowe lub napięciowe (włączając zródła
sterowane) może być zastąpione zródłem dualnym: prądowe na
napięciowe i napięciowe na prądowe.
Równoważność jest tylko na zaciskach!!!.
a a
T.N
Zg (s)
Yg (s)
Ig (s)
Eg (s)
T.T
b b
Ig (s) Eg (s)
1 1
Eg = , Zg (s) = Ig = , Yg (s) =
Yg (s) Yg (s) Zg (s) Zg (s)
23
Pojęcie funkcji transmitancji
operatorowej
W układzie mającym n par zacisków
I1(s)
każdej parze zacisków odpowiada
pewien prąd i napięcie Stosunek
pewien prąd i napięcie. Stosunek
U ( )
U1(s)
E(s) = 0
transformat Laplace a dwóch wielkości
Iz (s) = 0
związanych z różnymi parami zacisków
Ik (s)
( )
k
u (0 ) = 0
uC (0-) = 0
n wrotnika przy warunkach
n - wrotnika przy warunkach
iL (0- ) = 0
Uk (s)początkowych zerowych i wyłączonych
zródłach autonomicznych, nazywamy
tit j t
transmitancją operatorową.
In (s)
Transmitancję oznaczamy H(s), G(s),
Un(s)T(s) lub K(s).
( )
n
Uk (s) Ii (s)
T (s) = K(s) =
T (s) = , K(s) =
Przykład
U1(s) U2(s)
24
Pojęcie funkcji transmitancji
operatorowej
I1(s)
U1(s)
E(s) 0
E(s) = 0
Najczęściej funkcję transmitancji
Najczęściej funkcję transmitancji
Iz (s) = 0
definiuje się jako
Ik (s)
uC (0- ) = 0
iL (0- ) = 0
Uk (s)
Uk (s)
R(s)
H (s) = ,
In (s)
P(s)
U (s)
Un(s)
gdzie
R(s) transformata Laplace'a reakcji, tzn R(s) = L r(t)
R(s) - transformata Laplace a reakcji tzn. R(s) = L r(t) ,
{ }
{ }
P(s) - transformata Laplace'a pobudzenia, tzn. P(s) = L p(t) .
{ }
25
Przykład
Przykład
Wyznaczyć funkcję transmitancji
Wyznaczyć funkcję transmitancji
U (s)
U2(s)
T (s) =
U1(s)
R1 R3
1 3
R2 R4 U2(s)
U1(s)
R1 = R2 = R3 = R4 = 1
Zastosujemy M.N.W. Pobudzeniem jest napięcie U1, reakcją napięcie U2
26
Przykład
Przykład
3
3
1 2
1 2
Metoda napięć węzłowych
R1 R3
R2 R4 U2(s)
( )
2 4 2
U1(s)
U3(s)
#ś#
11 1
Dla 2. + (s) - U3(s) = 0
ś#
R R
R3 R4 ź#U2
R R R R 1
R1 = R2 = R3 = R4 = 1
# #R
# #R3
#ś#
111 1 1
Dla 3 ++
Dla 3. ++ (s) U (s) U (s) = 0
ś#
ś#ź#U (s) - R3 U2(s) - R1 U1(s) = 0
R1 R2 R3 ź#U3
# #
Podstawiając dane i porządkując otrzymujemy
ją p ą ją y j y
2. 2U2(s) -U3(s) = 0
12
U2(s) U1(s), U3(s) U1(s)
U2(s) = U1(s), U3(s) = U1(s)
3. -U2(s) + 3U3(s) = U1(s) 55
27
Przykład
Przykład
3
3
1
1
2
2
12
U2(s) = U1(s), U3(s) = U1(s)
R1 R3
55
R2 R4 U2(s)
( )
2 4 2
U1(s)
U3(s)
Zatem
R R R R 1
R1 = R2 = R3 = R4 = 1
U2(s) 1
T (s) ==
U1(s) 5
( )
1
28
Przykład
Przykład
U (s)
U2(s)
Wyznaczyć funkcję transmitancji
Wyznaczyć funkcję transmitancji
T (s) =
U1(s)
k
R1 R3
R2 R4 U2(s)
U1(s)
( )
1
R = R = R = R = 1 k =1
R1 = R2 = R3 = R4 = 1 k =1
k
Uwy
Uwy
Uwe Uwe
Uwy = kUwe
y
yNSN wtórnik
yNSN - wtórnik
29
Przykład
Przykład
U3(s)
R2
U3(s) = U1(s),
R1 R3
R1 + R2
1 2
R R U ( )
R2 R4 U2(s)
U1(s)
U3(s)
R4
4
U ( ) U ( )
U2(s) = U3(s),
k = 1
R1 = R2 = R3 = R4 = 1
R3 + R4
U3(s) U2(s)
U3(s) U2(s)
T1(s) = T2(s) =
( ) ( )
U1(s) U3(s)
T (s) = T1(s)"T2(s)
U2(s) U3(s) U2(s) 1 1 1
( ) ( ) ( )
3
22
T ( )
T (s) =="= " =
U1(s) U1(s) U3(s) 2 2 4
30
Przykład
Przykład
Znalezć transmitancję poniższego obwodu Funkcja transmitancji
Znalezć transmitancję poniższego obwodu. Funkcja transmitancji
określona jest jako
U2(s)
H (s) = .
( )
U1(s)
R = 2 R = 4
R1 = 2, R2 = 4,
C1 =1F, C2 =1/ 2F
31
Przykład
Przykład
C
C1
U1(s) = L u1(t) U2(s) = L u2(t)
{ } { }
1 R1
R
R1
Z (s) ==
Z1(s) ==
1
+ sC1 sC1R1 +1
u1 t
( )
C2 u2(t)
R2
R1
R2
Z2(s) =
R1 = 2, R2 = 4,
sC2R2 +1
C1 1F C2 1/ 2F
C1 =1F, C2 =1/ 2F
U2(s) Z2(s) R2 2
H (s) = == = .
sC2R2 +1
U1(s) Z1(s) + Z2(s)
U1(s) Z1(s) + Z2(s) 3
RR
R1 2 2 + R2 3
C2R2 = C1R1
sC1R1 +1
Dzielnik skompensowany
32
Przykład zastosowania M N W
Przykład zastosowania M. N. W
U2(s)
( )
Wyznaczyć funkcję transmitancji T (s) =
U1(s)
R3
R1
U C U
U1 C1 C2 R2 U2
C
C3
U
U
źU
U
U3
RR1 R2 CCC1F
R1 = R2 = 1, R3 = 2 , C1 = C2 = C3 = 1F,
Zastosujemy M.N.W. Pobudzeniem jest napięcie U1- reakcją napięcie U2
T (s) = T1(s)"T2(s)
U U
U3 U2
T1(s) = , T2(s) =
33
U1 U3
Przykład zastosowania M N W
Przykład zastosowania M. N. W
1 2
1 2
3
C2
R1 R2 źU R3
U3
U1
U3
U2
C1 C3 2
3
U
U
1 3
1
1
3 U U
3. U3 = źU
U2 sC3 1
T2(s) = = =
#ś#
U3 R3 + 1 2s +1
ś#ź#
11 1 1
ś#ź# sC
ś#ź# sC3
2 ++ sC U U U = 0
2. ++ sC1 U - U1 - U3 = 0,
R1 R2 + 11
R1
ś#ź#
R2 +
ś#ź#
sC2 sC2
# #
s 1 U
( )
#ś# ( )
#1+ s + ś#U -U1 - s s +1 U1
źU = 0
U =
ś#
s +1ź# s +1
# # s2 + 3 - ź s +1
( )
Odpowiedz
ź s +1 ź s +1
ź s +1 ź s +1
U źU ( ) ( )
U3 źU ( ) ( )
T1(s) = = = T (s) = T1(s)"T2(s) =
U1 U1 s2 + 3 - ź s +1
( )
s2 + 3 - ź s +1 2s +1
( )()
()
34
Przykład zastosowania M P O
Przykład zastosowania M.P.O
Wyznaczyć operatorową impedancję wejściową następującego dwójnika.
A
Dane
R
R1
C R1 = R2 =1, L1 = L2 = 1H
C =1F
R2
L1 L2
B
B
Z
Zwe
35
Przykład zastosowania M P O
Przykład zastosowania M.P.O
Rozwiązanie
R1 = R2 = 1, L1 = L2 = 1H, C = 1F
Iwe (s) = Im1(s)
11
11
Ą#
Ą#ń#
+ sL1 - -sL1 ń#
ó#Ą#
sC
Im2
R1 ó# sC
Im1 Ewe
Ą# ń# Ą# ń#
Ą#
C
11
ó#Ą#
Im1 - R1 + R2 + -R2 ó#I Ą# ó# Ą#
= 0
E (s) m2
Ewe (s) m1 1 2 2 m2
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
ó#Ą#
sC sC
R2
ó# Ą# ó# Ą#
ó#
-sL1 -R2 R2 + sL1 + sL2 Ą# Ł#Im3 Ś# Ł# 0 Ś#
Im3 ó#Ą#
L1 L2
ó#Ą#
Ł# Ś#
Podstawiając dane
Ewe(s)
Zwe(s) =
11
Ą#ń#
Iwe(s)
+ s --s
ó#Ą#
ó#Ą#
ss
Im1 Ewe
Ą# ń# Ą# ń#
ó#Ą#
11
ó#I Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
- 2 + -1= 0
m2
ó# Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
ss
ó# Ą# ó# Ą#
ó# Ą# ó# Ą#
0
ó#
ó#Ą#
Ł#I Ś# Ł# Ś#
-s -1 1+ 2sĄ# Ł#Im3 Ś# Ł# 0 Ś#
ó#Ą#
36
ó#Ą#
Ł#Ś#
Przykład zastosowania M P O
Przykład zastosowania M.P.O
11
11
Ą#ń#
Ą#ń#
+ s - -s
ó#Ą#
ss
Im1 Ewe
Ą# ń# Ą# ń#
ó#Ą#
Ewe 2s3 + 2s2 + 3s +1
11
ó#I Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
Zwe = =
- 2 + -1 0
2 + 1= 0
we
2
2
ó# Ą# ó# Ą#
ó#Im2 Ą# ó# Ą#
ó#Ą#
ó#Ą#
I 43 1
Im1 4s2 + 3s +1
ss
ó# Ą# ó# Ą#
ó#
-s -1 1+ 2sĄ# Ł#Im3 Ś# Ł# 0 Ś#
ó#Ą#
ó#Ą#
Ł#Ś#
Ł#Ś#
1
Ewe --s
s
s
1
0 2 +-1
s
4s2 + 3s +1 Ewe
0 -1 1+ 2s
( )
4s2 + 3s +1 Ewe
()
s
Im1 = ==
m1
32 32
" 2s3 + 2s2 + 3s +1 2s3 + 2s2 + 3s +1
37
s
Przykład
Przykład
Wyznaczyć funkcję transmitancji układu przedstawionego poniżej.
Obliczyć odpowiedz tego układu na pobudzenie i1(t) = exp(-t)1(t).
źU1(s)
U ( )
D
Dane
U2(s) R1 =1, R2 =1/ 2,
T (s) =
ź > 0
I ( )
I1(s)
R 1 C 2 F C 1/ 2 F
R3 =1,C1 = 2F,C2 =1/ 2F
38
Przykład (c d)
Przykład (c.d)
R C
R2 C2
Z2 s
( )
I1 s
( )
R3
Dane
Dane
R1 =1, R2 =1/ 2,
U1 s R1 U2 s
( ) źU1(s) ( )
C1
R3 =1,C1 = 2F,C2 =1/ 2F
ź > 0
U2(s)
Z1 s
( )
T (s) =
I1(s)
11
R1
Oznaczmy
Z1(s) === ,
1
1 1
+ sC1 CRs +1 2s +1
R1
R1
1 R2R3C2s +1 s +1
Z2(s) == =
11
R2 + R3 C2s +1 3s +1
()
+
+
1
R3 R2 + 1
39
sC2
Przykład (c d)
Przykład (c.d)
Pobudzeniem jest prąd I (s) reakcją U (s)
Pobudzeniem jest prąd I1(s) , reakcją U2(s) .
I1 s I3 s I2 s Z2 s
U2 s
Z1 s źU1(s)
U1 s
I1(s) = I2(s) + I3(s), U2 = źU1 U1 = U2 / ź
U2(s)
-U2
U2 1- ź
U1(s) -U2(s) ()
ź
I (s) == =
I2(s) == = ,
Z2(s) Z2(s) źZ2(s)
U2(s)
U1(s) U2(s)
ź
I3(s) == =
40
Z1(s) Z1(s) źZ1(s)
Przykład (c d)
Przykład (c.d)
I1(s) = I2(s) + I3(s)
ź
U2 1- ź
( ) U2(s)
( ) U2(s)
2
I ( )
I1(s) =+
źZ2(s) źZ1(s)
ź s +1
ź s +1
U (s) źZ (s)Z (s) ( )
U2(s) źZ1(s)Z2(s) ( )
T (s) == =
I1(s) Z1(s)(1- ź) + Z2(s) 2s2 + 3(2 - ź)s + 2 - ź
Odpowiedz
1
I (s) = L i (t) = L e 1(t) =
I1(s) = L i1(t) = L e-t1(t) =
{ }
{ }
{ }
{ }
s +1
ź(s +1) 1
ź
U2(s) = T (s)I1(s) =" =
2
2s + 3(2 ź)s + 2 ź s +1
2s2 + 3(2 - ź)s + 2 - ź s +1
( )
( )
2 + 3(2 ) + 2
2s2 + 3(2 - ź)s + 2 - ź
41
Przykład (c d)
Przykład (c.d)
Przypadek 1. ź =1
1
1
11 1
11 1
2
2
U2(s) = T (s)I1(s) = = =
-
1
1
2s2 + 3s +1 ś# s +1
s +
(s +1)# s +
ś#ź#
2
2
# #
# #
1
# - t
ś#
u2(t) = ( )
( )
i1(t) = e-t1(t)
( ) ( )
ś#ź#
ś#e 2 - e-t ź#1(t)
2
1
# #
u2(t)
u2(t)
42
Przykład (c d)
Przykład (c.d)
19
19
Przypadek 2.
ź =
9
19 19 19 19
19 19 19 19
1 1
t - t
#ś#
19
18 18 9
3
U2(s) = T (s)I1(s) = = = -9 u2(t) = e6 - e
+
ś#ź#1(t)
1 1 1 1
11s + s -
#ś##ś# 9
# #
s2 - s -
s + s -
ś#ź#ś#ź#
6 18 3 6
36
# ## #
# ## #
u2(t)
( )
2
i1(t) = e-t1(t)
t
t
43
Stabilność układów
Stabilność układów
Układ jest stabilny w sensie BIBO
(ang. Bounded Input Bounded Output),
gdy jest spełniona zależność
d j ł il ść
p( ) ( ) [ p( )] ,
p(t) < " dla t e" t0 ! r(t) = T[ p(t)] < " dla t e" t0,
00
t0 jest dowolną liczbą rzeczywistą
Ograniczone w czasie pobudzenie wywołuje
ograniczoną reakcję.
Jakie właściwości musi mieć układ, aby jego reakcja
była ograniczona w sensie definicji stabilności BIBO?
44
Odpowiedz będzie na następnym wykładzie !
Dziękuję za uwagę !
Dziękuję za uwagę !
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykład 2 10 3 12BYT Wzorce projektowe wyklady z 10 i 24 11 2006wyklad 10 09 06 2 komorka chemWyklad 10 starzeniewyklad 10Wykład 10 Zastosowanie KRZWykład 10 skręcanie OKwykład 10Wykład 10 przykładyBHP Wyklad 10wykład 1 4 10 12wyklad 10 09 06 2 komorka budowaBudownictwo Ogolne I zaoczne wyklad 9 i 10 stropy bAnaliza Wykład 10 (09 12 10) ogarnijtemat comWyklad 10 termografiaWYKLAD 10Wykład 9(10)więcej podobnych podstron