VII-1 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
VII FORMY KWADRATOWE I DWULINIOWE
W tym rozdziale zakładamy, że
a) rozważane przestrzenie wektorowe są skończonego wymiaru, oraz
b) w ciele skalarów F element 2F := 1F + 1F nie jest równy 0F.
Ostatnie założenie wyrażane jest następująco:  charakterystyka ciała F jest różna od
1
2 . Umożliwia ono wykonywanie w F  dzielenia przez 2 : gdy przez " F oznaczyć
2
1 1
odwrotność elementu 2F, to a + a = a dla a " F. (Przykładowo, jeśli F = Z5 i
2 2
1
a = 3, to a = 4.) Najważniejsze dla nas przypadki, to gdy F jest ciałem liczbowym;
2
wtedy wykonalność dzielenia przez 2 nie wymaga żadnych uzasadnień.
Wstęp." Po afinicznych, najprostszymi są funkcje kwadratowe kilku zmiennych.
Występują one w wielu zagadnieniach geometrii i analizy. W tym rodziale pokażemy,
jak do badania tych funkcji wykorzystać można własności macierzy, a zwłaszcza ma-
cierzy symetrycznych. Przekształcenia takich macierzy umożliwią uproszczenie wielo-
mianu kwadratowego liniowÄ… zamianÄ… zmiennych. Wyniki algebry liniowej sÄ… pomocne
w ustaleniu, kiedy wielomian kwadratowy rzeczywisty przyjmuje tylko nieujemne (bÄ…dz

tylko dodatnie) wartości. Umożliwią one również dowód ważnego  twierdzenia o bez-
władności , sformułowanego w ż2.
Badamy tu też funkcje dwuliniowe V ×V F, gdzie V jest przestrzeniÄ… wektorowÄ…,
a F jej ciałem skalarów. Oto pewne powody znaczenia tych funkcji:
1) Funkcje dwuliniowe przekazują pełną informację o endomorfizmach liniowych.
Istotnie, gdy L " L(Fk) jest operatorem na przestrzeni Fk, to funkcja (u, v) u·L(v)
jest dwuliniowa i nietrudno jest zauważyć, że wyznacza ona L jednoznacznie. Pozwala
to badanie endomorfizmów sprowadzić, przynajmniej formalnie, do badania funkcji
dwuliniowych.
2) Funkcja dwuliniowa V × V F wyznacza w przestrzeni V namiastkÄ™ geometrii
euklidesowej: umożliwia zdefiniowanie ortogonalności wektorów, rzutu ortogonalnego,
przekształcenia sprzężonego, izometrii. (Opiszemy to dokładniej w żż3 i 4.) Tym
samym pewne intuicje i wyobrażenia, które wiążemy z przestrzeniami euklidesowymi,
mogą być choć w części przeniesione na przestrzenie z wyróżnioną funkcją dwuliniową.
3) Każda jednorodna funkcja kwadratowa V F wyznacza funkcję dwuliniową
V × V F. Ta prosta, lecz podstawowa obserwacja poczyniona w ż3 umożliwia
użycie opisanych wyżej pojęć geometrycznych do badania funkcji kwadratowych.
Niestety, rozwinięcie powyższych punktów 1) 3) wykracza poza zakres wykładu i
dotkniemy ich tylko w końcowych zadaniach uzupełniających.
VII-2 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
ż 1. Wielomiany i funkcje wielomianowe stopnia d"2
1. Wielomiany stopnia d" 2 i wyznaczone przez nie funkcje wielomianowe Fk F.
Definicja. Wielomian stopnia d" 2, zmiennych x1, ..., xk i współczynnikach w
F, to wyrażenie
k

p = bijxixj + bixi + c, (1)
1d"id"jd"k i=1
gdzie wszystkie współczynniki bij, bi, c są elementami F. Zbiór wszystkich takich wielo-
mianów oznaczać będziemy przez F2[x1, ..., xk]. Wartością wielomianu (1) w punk-
cie u = (u1, ..., uk) " Fk nazywamy skalar
k

p(u) := bijuiuj + biui + c.
1d"id"jd"k i=1
FunkcjÄ™ Fk F zadanÄ… przez u p(u) nazywamy funkcjÄ… wielomianowÄ… wyzna-
czoną przez wielomian p. Gdy bij = 0 dla pewnych i, j, to zarówno o wielomianie

p, jak i o wyznaczonej przez niego funkcji mówimy, że są stopnia 2 lub kwadratowe;
w przeciwnym razie powiemy, że są one stopnia 1 (gdy bi = 0 dla pewnego i), bądz


stopnia 0 (gdy c = 0 i b1 = · · · = bk = 0), bÄ…dz
też stopnia -" (w pozostałym

przypadku, tzn. gdy p = 0). Poprawność tej definicji w odniesieniu do funkcji wynika
z następującego twierdzenia:
Twierdzenie 1. Gdy 2F = 0F, to funkcja, wyznaczona przez wielomian p " F2[x1, ..., xk],

określa go jednoznacznie.
Dowód. Przy oznaczeniach (1) mamy
c = p(0) (2)
Badana funkcja wyznacza więc współczynnik c wielomianu p oraz następujące funkcje
f1, f2 : Fk F
1 1
f1(u) := (p(u) - p(-u)), f2(u) := p(u) - f1(u) - c = (p(u) + p(-u)) - c. (3)
2 2
Latwe rachunki pokazują, że przy tych definicjach,
k

f1(u) = biui oraz f2(u) = bijuiuj dla u " Fk (4)
i=i 1d"id"jd"k
skÄ…d bi = f1(ei), bii = f2(ei) i bij = f2(ei + ej) - f2(ei) - f2(ej) dla 1 d" i < j d" k.
Wraz ze wzorami (2) i (3) wyznacza to współczynniki wielomianu p.
VII-3 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Uwaga 1. a) Oczywiście, podobnie do wielomianów k zmiennych stopnia d" 2 można
definiować wielomiany wyższych stopni. Odpowiednie uogólnienie twierdzenia 1 wy-
maga wymaga jednak dodatkowych założeń o ciele F. (Np., gdy F = Z3, to wielomian
x(x - 1)(x - 2) jest różny od 0, lecz wyznacza funkcję zerową.) Warto odnotować, że
wystarczające jest założenie, by ciało F było nieskończone; dowód będzie podany na
wykładzie Algebry.
b) Ze względu na twierdzenie 1, będziemy niekiedy utożamiać funkcję wielomianową
stopnia d" 2 z wyznaczającym ją wielomianem i np. mówić o jej współczynnikach.
k
Przyjmijmy p2 := bijxixj i p1 := bixi. Wielomiany p2 i p1 + c
1d"id"jd"k i=1
nazywamy, odpowiednio, częścią główną i częścią liniową wielomianu p. Podobnie
1
funkcje f2 i f1 + c nazywamy częścią główną i liniową wyznaczonej przez p funkcji.
Wielomian p, a także odpowiadającą mu funkcję, nazwiemy formą kwadratową, gdy
p = p2, zaÅ› formÄ… liniowÄ…, gdy p = p1.
Uwaga 2. Forma kwadratowa może być stopnia -" (tzn. być zerowa), podczas gdy
kwadratowa funkcja czy wielomian są, z przyjętej definicji, zawsze stopnia 2.
Uwaga 3. Przez xi oznaczamy na ogół i tą z rozważnych zmiennych (wówczas jest to
pewne wyrażenie algebraiczne), lecz niekiedy może tak być oznaczony i skalar. Ciąg
zmiennych x1, ..., xk będziemy oznaczać przez x, i tak samo może być oznaczony wektor
w Fk (którego współrzędne x1, ..., xk są skalarami). Nie prowadzi to do nieporozumień,
bo omawiamy na ogół lub jest skądinąd jasne, czy x jest ciągiem zmiennych, czy
skalarów.
Zadanie 1. Gdy f : Fk F jest funkcją wielomianową stopnia d" 2, to równoważne
sÄ… warunki:
a) f jest formÄ… kwadratowÄ…;
b) f(0) = 0 i f jest funkcjÄ… parzystÄ…, tzn. f(u) = f(-u) dla u " Fk;
c) f jest funkcjÄ… 2 jednorodnÄ…, tzn. f(tu) = t2f(u) dla t " F i u " Fk.
"
Zadanie uzupełniające 1. Niech funkcja f : R2 R ma tę własność, że dla każdych
u, v " R2 funkcja R R zadana przez t f(u + tv) jest wielomianowa stopnia d" 2.
Czy f jest funkcjÄ… wielomianowÄ… stopnia d" 2?
2. Formy kwadratowe a macierze.
Forma kwadratowa
1
Nazwa ta odzwierciedla istniejącą niestety w nazewnictwie matematycznym niekonsekwencję: jeśli h : Fk Fl
jest postaci x Ax + b, gdzie A " Ml,k i b " Fl, to gdy l > 1 mówi się o h, że jest  przekształceniem afinicznym ,
zaś gdy l = 1  że jest  funkcją liniową ; nazwa  funkcjonał liniowy oznacza natomiast, że l = 1 i b = 0.
VII-4 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)

q = bijxixj " F2[x1, ..., xk] (5)
1d"id"jd"k
jest wyznaczona przez swe współczynniki bij. Ponieważ zakładamy w (5), że i d"
j, to współczynniki te tworzÄ… tylko  górnÄ… połówke macierzy rozmiaru k × k. By
otrzymać pełną macierz, możemy dopisać w niej zera poniżej przekątnej; odpowiada
to rozszerzeniu w (1) sumowania na wszystkie pary (i, j) takie, że i, j " {1, ..., k}, przy
czym przyjmujemy bij = 0 gdy i > j. Jednak przy takiej zmianie zakresu wskaz
ników
istniejÄ… inne jeszcze możliwoÅ›ci wyboru k × k macierzy współczynników.
Definicja. FormÄ… kwadratowÄ… wyznaczonÄ… przez macierz A " Mk nazywamy za-
równo wielomian
k

q := aijxixj (6)
A
i,j=1
jak i odpowiadająca mu funkcję Fk F, którą oznaczymy fA. By qA zapisać w
postaci (1), należy dokonać redukcji wyrazów xixj oraz xjxi (i < j). Oczywiście
Lemat 1. Niech q i qA zadana będą wzorami (5) i (6), odpowiednio. Równość q = q
A
ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy aii = bii oraz aij + aji = bij dla i < j (i, j =
1, ..., k).
Uwaga i definicja. a) Okazuje się (jeden z powodów wskażemy w p.3), że spośród
macierzy wyznaczających formę kwadratową q najdogodniej jest wybrać symetryczną.
Z lematu wynika, że taka symetryczna macierz A istnieje i jest wyznaczona jedno-
znacznie; nazywać ją będziemy macierzą (Gaussa) formy q.
b) Wobec twierdzenia 1 w p. 1, macierz ta jest wyznaczona tym, że
A = At i q(v) = vtAv dla wszystkich v " Fk
1
c) Jeśli zachodzi (5), to aii = bii i aij = aji = bij dla 1 d" i < j d" k.
2
Ćwiczenie. Przestrzeń Rk wyposażamy w standardowy iloczyn skalarny. Dla syme-
trycznej macierzy A " Mk(R) dowieść, że:
a) Jeśli AvĄ"v "v " Rk, to A = 0. (Por. zad. uz. 2 w żVI.3.1.)
b) Jeśli funkcja v Av, v jest na sferze ||v|| = 1 stale równa c, to A = cI.
Oznaczenia. Jak wcześniej, we wzorach wykorzystujących mnożenie przez macierz
traktujemy skończone ciągi skalarów jako macierze jednokolumnowe. Umowę tę roz-
szerzamy obecnie i na ciągi wielomianów. Tak więc dla A " Mk i ciągu zmiennych
k
x = (x1, ..., xk), przex Ax oznaczamy ciąg wielomianów pi = aijxj (i = 1, ..., k),
j=1
a równość (6) zapisujemy tak:
q = xtAx (7)
A
VII-5 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)

Jest to oczywiście spowodowane tym, że q (v) = vipi(v) = vtAv dla v " Fk.
A
i
"
Wielomianowi kwadratowemu nie będącemu formą też można przyporządkować
macierz symetryczną. (Nie odegra to jednak większej roli i dlatego pozostała część tego
punktu to materiał uzupełniający). W tym celu dla wielomianu p zadanego wzorem
(1) przyjmijmy
aij = aji = bij/2 gdy i < j, aii = bii, a0i = ai0 = bi/2 oraz a00 = c

Macierz symetrycznÄ… (aij)i,j=0,1,...,k oznaczmy A i nazwijmy rozszerzonÄ… macierzÄ…
k
wielomianu p, a także wyznaczonej przez niego funkcji. Przy p := aijxixj mamy

i,j=0
p(x) = p(1, x1, ..., xk), skÄ…d



p = xtAx, gdzie x := (1, x1, ..., xk). (8)
3. Upraszczanie formy podstawieniem liniowym. Kongruentność macierzy.
k k
Definicja. Niech p = bijxixj + bixi + c i niech C " Mk będzie macierzą
i,j=1 i=1
k
nieosobliwą. Zastąpmy każdą ze zmiennych xi wielomianem cijyj. Powiemy, że
j=1
zamiana zmiennych (lub: podstawienie) x = Cy przeprowadza p w otrzymany
wielomian p zmiennych y1, ..., yk.
Podstawienie x = Cy nazywamy liniowym. Zakładamy w nim zawsze nieosobliwość
macierzy C. Umożliwia to wyrażenie y poprzez x wzorem y = C-1x, analogicznym do
x = Cy. Latwo widzieć, że stopień wielomianu p nie przewyższa stopnia wielomianu
p. Wobec powyższej symetrii między p i p , są więc one tego samego stopnia.
Twierdzenie 1. Gdy qA " F2[x1, ..., xk] jest formÄ… o macierzy A, to podstawienie
x = Cy przeprowadza jÄ… w formÄ™ q o macierzy CtAC.
Dowód. Dla y " Fk zachodzi
q(y) = q (Cy) = (Cy)tA(Cy) = yt(CtAC)y
A
Ponadto, CtAC jest macierzą symetryczną (patrz poniższe zadanie). Stąd i z części
b) definicji-uwagi z p.2 wynika, że macierzą formy q jest CtAC.
Definicja. Macierze A, B " Mk(F) nazwiemy kongruentnymi, jeśli istnieje macierz
nieosobliwa C " Mk(F) taka, że B = CtAC.
Zadanie 1. a) Kongruentność jest relacją równoważności w zbiorze Mk(F).
b) Gdy jedna z kongruentnych macierzy jest symetryczna (odp. antysymetryczna), to
druga też.
VII-6 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
c) Gdy Ai<"Bi dla i = 1, 2, to diag(A1, A2)<"diag(B1, B2), gdzie <" to kongruentność.
d) Macierze kongruentne majÄ… ten sam rzÄ…d.
Uwaga 1. Część b) zadania uwidacznia korzyść, jaką niesie wybór macierzy syme-
trycznej spośród wszystkich, zadających rozważaną formę: zbiór macierzy symetrycz-
nych jest zamknięty względem odpowiadającej zamianie zmiennych relacji kongruencji,
podczas gdy np. narzucający się wybór macierzy górnie trójkątnej nie prowadzi do
zbioru o tej własności.
Wykorzystamy teraz podstawienia liniowe do upraszczania macierzy formy.
Twierdzenie 2 (Lagrange a o diagonalizacji form kwadratowych, 2 wersje). Każda
macierz symetryczna jest kongruentna z pewnÄ… macierzÄ… diagonalnÄ….
Równoważne sformułowanie: Każdą formę kwadratową q " F2[x1, ..., xk] można
k 2
podstawieniem liniowym przeprowadzić w formę iyi , dla pewnych 1, ..., k " F.
i=1
By dostrzeć równoważność obu wersji wystarcza zapisać q w postaci q , dla odpo-
A
wiedniej macierzy symetrycznej A, i skorzystać z twierdzenia 1.
Twierdzenie 2 udowodnimy opisując sposób wyznaczenia macierzy C i skalarów
1, ..., k takich, że CtAC = diag(1, ..., k). Różni się on tym od opisanego w żII.3.2
sposobu doprowadzenia macierzy do postaci schodkowej, że operacje wierszowe repli-
kowane sÄ… jako kolumnowe.
Sposób diagonalizacji macierzy symetrycznej A " Mk(F) przez kongru-
encję. Wykonujemy kolejno k kroków opisanych niżej.
Krok s ty (s = 1, ..., k). Niech B oznacza macierz symetrycznÄ…, otrzymanÄ… w wy-
niku wykonania poprzedzających kroków i mającą wyrazy różne od 0 tylko na prze-
kątnej i w miejscach ij dla i, j e" s. (Gdy s = 1, przyjmujemy B = A.) Wyróżnimy
dwie części tego kroku:
Część 1. Wykonujemy ją tylko, gdy bss = 0 i bts = 0 dla pewnego t > s. Wtedy

do wiersza s dodajemy c krotność wiersza t takÄ…, że c = 0 i d := 2bst + c · btt = 0.

(Można n.p. obrać jeśli nie c = 1, to c = -1 .) Następnie, powtarzamy tę operację na
kolumnach otrzymanej macierzy (dodajemy tę samą krotność t tej kolumny do s tej).
KoÅ„cowÄ… macierz oznaczamy nadal przez B; zauważmy, że bss = c · d = 0.

Część 2. Od wierszy s + 1, s + 2, ..., k macierzy B odejmujemy takie krotności wier-
sza p, by stojące poniżej przekątnej wyrazy kolumny s uczynić zerami. Następnie,
zamieniamy zerami (s + 1)-szy i dalsze wyrazy wiersza s otrzymanej macierzy.
To kończy opis obu części kroku s. Macierz B, otrzymana w wyniku wykonania
wszystkich k kroków, jest diagonalna (uzasadnienie poniżej). Dla otrzymania macie-
rzy C takiej, że CtAC = B, należy powyższą konstrukcję rozszerzyć, dopisując do B
klatki kwadratowe, z których pierwsza (tj. przy s = 1) jest równa Ik. W obu częściach
VII-7 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
każdego z kroków, klatkę dopisaną zmieniamy tylko wtedy, gdy na macierzy B wyko-
nano operację wierszową, i wtedy powtarzamy ją na klatce dopisanej. Końcową klatkę
dopisanÄ… przyjmujemy za Ct; po transpozycji, da ona szukanÄ… macierz C.
Wykazanie poprawności tego sposobu poprzedzimy przykładem.
Przykład 1. Niech
q = x2 + 3x2 + 19x2 - 2x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 - 6x2x4 - 12x3x4.
1 2 4
MacierzÄ… tej formy jest
ëÅ‚ öÅ‚
1 -1 2 1
ìÅ‚ ÷Å‚
-1 3 0 -3
ìÅ‚ ÷Å‚
A = " M4(R)
íÅ‚ Å‚Å‚
2 0 0 -6
1 -3 -6 19
Wykonujemy kolejno opisane wcześniej kroki (nad strzałkami zaznaczono, czy wy-
konano część 1, czy 2 odpowiedniego kroku, oraz czy operacje były wierszowe, czy
kolumnowe):
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 -1 2 1 | 1 0 0 0 1 0 0 0 | 1 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 2 2 -2 | 1 1 0 0 0 2 2 -2 | 1 1 0 0
2w 2k
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
(A, I) - -
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 2 -4 -8 | -2 0 1 0 0 2 -4 -8 | -2 0 1 0
0 -2 -8 18 | -1 0 0 1 0 -2 -8 18 | -1 0 0 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0 0 | 1 0 0 0 1 0 0 0 | 1 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 2 2 -2 | 1 1 0 0 0 2 0 0 | 1 1 0 0
2w 2k
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
- -
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 -6 -6 | -3 -1 1 0 0 0 -6 -6 | -3 -1 1 0
0 0 -6 16 | 0 1 0 1 0 0 -6 16 | 0 1 0 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 0 0 0 | 1 0 0 0 1 0 0 0 | 1 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 2 0 0 | 1 1 0 0 0 2 0 0 | 1 1 0 0
2w 2k
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
- -
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 -6 -6 | -3 -1 1 0 0 0 -6 0 | -3 -1 1 0
0 0 0 22 | 3 2 -1 1 0 0 0 22 | 3 2 -1 1
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
1 1 -3 3 1 0 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
0 1 -1 2 0 2 0 0
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Zatem przy C = otrzymamy CtAC = . Inaczej
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
0 0 1 -1 0 0 -6 0
0 0 0 1 0 0 0 22
2 2 2 2
mówiąc, podstawienie x = Cy przeprowadza q w formę y1 + 2y2 - 6y3 + 22y4.
Dowód twierdzenia 2. Wykażemy, że otrzymane na końcu macierze B i C mają
żądane własności.
VII-8 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Wez
my część 2 kroku s. Wykonujemy w niej ciąg operacji wierszowych, który wobec
twierdzenia 1 z żI.4.3 powoduje zastąpienie B macierzą EB, dla pewnej nieosobliwej
macierzy E. Ponieważ macierz B jest symetryczna, a s-ta kolumna macierzy EB ma
tylko jeden (s-ty) wyraz niezerowy, to wykonanie następnie na macierzy EB ciągu ope-
racji kolumnowych, odpowiadajÄ…cych wykonanym poprzednio operacjom wierszowym,
skutkuje jedynie zastąpieniem zerami wyrazów s + 1, ..., k wiersza s macierzy EB.
Wykorzystując ponownie przywołane twierdzenie stwierdzamy, że wykonanie części 2
powoduje zastÄ…pienie macierzy B przez EBEt, dla pewnej nieosobliwej macierzy E.
Tak samo zmienia się macierz B w części 1 kroku s. Po tym kroku pozostanie więc
ona symetryczna i spełni warunek bij = 0 gdy i = j i min(i, j) d" s. (Wynika to

z opisu tego kroku.) Końcowa macierz B jest więc zarówno diagonalna, jak i równa
En(...(E1AEt )...)Et , gdzie E1, ..., En to macierze nieosobliwe, odpowiadajÄ…ce wyko-
1 n
nywanym częściom kolejnych kroków. Stąd B = SASt dla S = En...E1  czyli przy
C := St zachodzi B = CtAC, gdzie macierz Ct = S otrzymujemy z klatki Ik przez
wykonanie kolejno wszystkich opisanych operacji wierszowych. (Korzystamy z tego,
że i ta z tych operacji polega na mnożeniu macierzy z lewej strony przez Ei.)
Uwaga 2. Wykonanie części 2 jakiegokolwiek kroku nie zmienia wartości wyznacznika
klatki wyznaczonej przez pierwszych s wierszy i kolumn macierzy B. (Tu s jest dowolnÄ…
liczbę niewiększą od stopnia macierzy.) Istotnie, żadna z operacji wykonywanych w
części 2 nie zmienia tego wyznacznika.
"
Uwaga 3. Jeśli, jak w przykładzie 1, dla każdego s wykonanie części 1 jest zbędne, to
otrzymana macierz C jest górnie trójkątna i ma tylko jedynki na przekątnej. (Istotnie,
 dopisana klatka Ct jest wtedy dolnie trójkątna i ma wyłącznie jedynki na przekątnej.)
Zadania uzupełniające.
1. Zauważyć, że twierdzenie 1 pozostaje słuszne jeśliby dopuścic podstawienia o
osobliwej macierzy C. Wykorzystać to do obliczenia wyznacznika macierzy formy
(a1x1 + a2x2 + a2x3)2 + (b1x1 + b2x2 + b3x3)2 + (c1x1 + c2x2 + c3x3)2.
2. a) Dowieść kongruentności macierzy diag(a, b) i diag((a + b)ab, a + b).
b) Dowieść, że gdy macierz symetryczna A jest nieosobliwa, to macierz diag(A, -A)
jest kongruentna z macierzÄ… diag(I, -I).
3. a) Dowieść, że gdy macierz A jest nieosobliwa i symetryczna, to A-1 = CB-1Ct,
gdzie B i C otrzymano w sposób opisany w tym punkcie.
b) Ponieważ macierz diagonalną B łatwo jest  odwrócić , więc daje to pewien spo-
sób obliczania macierzy A-1. Można go użyc do wyznaczenia odwrotności dowolnej
macierzy nieosobliwej X dzięki tożsamości X-1 = A-1Xt, gdzie macierz A := XtX
jest symetryczna (a dla F = R dodatnio określona, patrz ż....).
VII-9 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
4. (twierdzenie Kroneckera) Niech A " Mk będzie macierzą symetryczną, któ-
rej klatka wyznaczona przez pierwszych r wierszy i kolumn jest nieosobliwa. Do-
wieść, że formę qA można podstawieniem liniowym przeprowadzić w formę postaci
r k
aijyiyj + bijyiyj, dla pewnych współczynników bij. Ponadto, można
i,j=1 i,j=r+1
uzyskać, by podstawienie nie zmieniało zmiennych xr+1, . . . , xk.
b) Dowieść, że gdy r = rk(A), to wszystkie współczynniki bij są równe 0.
5. Niech A " Mk \ {0} będzie macierzą symetryczną i niech r " N. Dowieść, że:
a) Istnieje niezerowy minor główny2 stopnia 1 lub 2.
b) Jeśli r d" k - 2 i istnieje niezerowy minor główny stopnia r, taki, że wszystkie
2
obejmujące go minory główne stopni r + 1 i r + 2 są zerowe, to rk(A) = r. (Wska-
zówka: założyć, że minor wyznaczony jest przez początkowych r wierszy i kolumn, po
czym wyzerować wszystkie wyrazy pod odpowiadającą mu klatką i obok niej.)
c) Sformułować podobną tezę gdy r = k-1 i dowieść jej i tego, że istnieje niezerowy
minor główny stopnia rk(A).
Zadania ze zbioru Kostrykina: żII.2.2.17.
4. Funkcje wielomianowe stopnia d" 2 na przestrzeni wektorowej.
Niech f : V F będzie funkcją na k wymiarowej przestrzeni wektorowej V nad
ciałem F.
Definicja. Powiemy, że funkcji tej w bazie V = (v1, ..., vk) odpowiada wielomian
p " F2[x1, ..., xk] (lub: że funkcja f jest w bazie V zadana wielomianem p), jeśli
zachodzi tożsamość
f(1v1 + ... + kvk) = p(1, ...., k) dla 1, ..., k " F (9)
Uwaga 1. a) Gdy, w bazie V, funkcji fi : V F odpowiada wielomian pi (i = 1, 2),
to sumie f1 + f2 i iloczynowi f1f2 odpowiadajÄ… wielomiany p1 + p2 i p1p2, odp.
b) W danej bazie funkcji f odpowiadać może tylko jeden wielomian stopnia d" 2.
(Wynika to z twierdzenia 1 w p.1.)
c) Latwo o przykład funkcji, której w żadnej bazie nie w odpowiada wielomian. Gdy
V = R = F, jest nią np. funkcja sin  bo ma nieskończenie wiele zer, a wielomiany
p " R[x] nie majÄ… ich tyle.
Stwierdzenie 1. Jeśli funkcji f odpowiada w bazie V wielomian p, to w bazie V

odpowiada jej wielomian p powstały z p przez podstawienie x = Cy, gdzie C = [I]V .
V
2
patrz dalej zad. uz. 2 w ż2.4
VII-10 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)

Dowód. Tożsamość (9) oznacza, że f(v) = p([v]V) dla v " V . Ponieważ [v]V = C[v]V ,

więc f(v) = p(C[v]V ) dla v " V  co wraz z definicją p daje żądaną tezę.
Definicja. a) Powiemy, że funkcja f : V F jest kwadratowa (odpowiednio: jest
wielomianowa danego stopnia i d" 2, jest formą kwadratową), jeśli w pewnej
bazie V odpowiada jej wielomian o tej własności3. Ze stwierdzenia 1 i wiadomości z
p.1 wynika, że wybór bazy V nie jest istotny.
b) MacierzÄ… formy kwadratowej f : V F w bazie V przestrzeni V nazy-
wamy macierz formy q " F2[x1, ..., xk], która w tej bazie odpowiada f. Jest to więc
macierz symetryczna A taka, że dla wszystkich v " V zachodzi f(v) = xtAx, gdzie
x = [v]V.
Wniosek 1. Gdy A i B sÄ… macierzami formy kwadratowej f w bazach V i W, odpo-
wiednio, to B = CtAC, gdzie C := [I]W.
V
Dowód. Wynika to ze stwierdzenia 1 i twierdzenia 1 z p.2.
Nadamy teraz twierdzeniu o diagonalizacji form kwadratowych z p.3 nowÄ… (lecz
równoważną) postać. Potrzebna jest
Definicja. Rzędem formy kwadratowej f : V F, oznaczanym przez rk(f), nazy-
wamy rząd jej macierzy w dowolnej bazie przestrzeni V . (Poprawność definicji wynika
z zadania 1 d) w p.3 i wniosku 1.) FormÄ™ nazywamy niesosobliwÄ… lub niezdegene-
rowanÄ…, gdy rk(f) = dim V , a osobliwÄ… lub zdegenerowanÄ… w przeciwnym razie.
Twierdzenie 1 (o diagonalizacji formy kwadratowej, wersja dla funkcji). Niech f : V F
będzie formą kwadratową na przestrzeni wektorowej V . Wówczas istnieje baza tej prze-
strzeni, w której formie f odpowiada wielomian postaci 1x2 + ... + kx2, dla pewnych
1 k
skalarów 1, .., k.
Dodatek: Przy tych oznaczeniach, liczba niezerowych skalarów i jest równa rk(f).
Dowód. Niech A " Mk będzie macierzą formy f w pewnej bazie V = (v1, .., vk)
przestrzeni V . Na mocy twierdzenia 2 w p.3 istnieje macierz nieosobliwa C " Mk,
dla której B := CtAC jest macierzą diagonalną. Obierzmy bazę W przestrzeni V
tak, by [I]W = C. Z wniosku 1 wynika, że macierz formy f w bazie W jest równa B,
V
a zatem jest diagonalna. Oznacza to, że w bazie tej formie f odpowiada wielomian
k
postaci ix2, przy czym rząd macierzy B jest równy liczbie niezerowych wyrazów
i=1 i
jej przekÄ…tnej (1, ..., k).
Definicja. O bazie W powiemy, że diagonalizuje formę kwadratową f : V F,
jeśli macierz formy f w bazie W jest diagonalna. Odnotujmy, że w powyższym do-
3
Nazwa  forma kwadratowa będzie więc używana zarówno w odniesieniu do wielomianów kilku zmiennych, jak
i do funkcji skalarnych na przestrzeniach wektorowych. W wielu podręcznikach unika się tej dwuznaczności tak, że
funkcje będące formą kwadratową nazywa się  funkcjonałami kwadratowymi jednorodnymi ; por zadanie 1 w p.1.
VII-11 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
k
wodzie baza diagonalizująca W = (w1, .., wk) określona jest wzorem wj = cijvi
i=1
dla j = 1, ..., k. (Wynika to z definicji macierzy [I]W.)
V
Uwaga 2. Oba twierdzenia diagonalizacyjne (powyższe i z p.3) nazywane są twier-
dzeniem Lagrange a o diagonalizacji form kwadratowych.
Ćwiczenie. Dla i = 1, 2, niech Ai będzie macierzą formy kwadratowej fi w bazie V,
zaś Bi  macierzą tej formy w bazie W. Dowieść, że jeśli macierze te są nieosobliwe,
to tr(A-1A2) = tr(B-1B2).
1 1
Zadanie 1. Dowieść, że gdy V i W są przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F, to
złożenie f ć% L formy kwadratowej f : W F z operatorem L " L(V, W ) jest formą
kwadratową. Dla danych baz V i W przestrzeni V i W , odpowiednio, wyrazić macierz
formy f ć% L w bazie V przez macierz formy f w bazie W i macierz [L]V .
W
Zadanie uzupełniające 1. Dowieść, że wyraz aij macierzy formy kwadratowej f w bazie
1
(v1, ..., vk) jest równy (f(vi + vj) - f(vi) - f(vj)). (Wskazówka: wzór na bij w
2
dowodzie twierdzenia 1 w p.1.)
Zadania ze zbioru Kostrykina: II.2.2.32
ż 2. Przypadek rzeczywistego ciała skalarów i kilka słów o zespolonym.
Poza fragmentami punktu 1, gdzie rozpatrujemy również przypadek zespolony, w pa-
ragrafie tym zakładamy, że F = R. Znaczenie rzeczywistych funkcji kwadratowych w
Analizie bierze się m.in. stąd, że gładkie funkcje Rk R można aproksymować ich
rozwinięciami Taylora drugiego stopnia, a te są funkcjami kwadratowymi. Wykorzy-
stując własności ciała R (w tym jego uporządkowanie relacją <) możemy też dla F = R
uzyskać o funkcjach kwadratowych więcej informacji, niż w ogólnym przypadku.
1. Określoność rzeczywistych form kwadratowych.
Niech f będzie formą kwadratową na rzeczywistej przestrzeni liniowej V .
Definicja. Powiemy, że forma f jest dodatnio określona, jeśli f(v) > 0 dla wszyst-
kich v " V \{0}, a jest ujemnie określona, jeśli f(v) < 0 dla wszystkich v " V \{0}.
O macierzy symetrycznej A " Mk powiemy, że jest dodatnio (odp. ujemnie) okre-
ślona, gdy forma f : Rk R ma tę własność. Gdy któryś z tych warunków jest speł-
A
niony przy ostrym znaku nierówności zastąpionym przez tępy, to mówimy, że forma
lub macierz jest dodatnio (odp. ujemnie) półokreślona. W pozostałym przypadku
formę czy macierz nazywamy nieokreśloną.
VII-12 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Przykład 1. Forma f(x1, x2, x3) = (x1 - x2)2 + (x1 - 2x3)2 jest dodatnio półokreślona,
a w ślad za nią taka jest jej macierz
ëÅ‚ öÅ‚
2 -1 -2
íÅ‚ Å‚Å‚
A = -1 1 0
-2 0 4
Nie są one dodatnio określone, bo f(2, 2, 1) = 0.
Uwaga 1. a) Jeśli A jest macierzą formy f w pewnej bazie V przestrzeni V , to
f ma którąś ze zdefiniowanych wyżej własności wtedy i tylko wtedy, gdy ma ją A.
(Korzystamy z tego, że f(v) = [v]t A[v]V = fA([v]V) dla v " V .)
V
b) Wynika stąd, że gdy macierze symetryczne A, B są kongruentne i A ma którąś z
tych własności, to i B ją ma (bo jest macierzą formy fA w pewnej bazie przestrzeni Rk).
c) Jeśli więc badamy macierz symetryczną ze względu na określoność czy półokreślo-
ność, to wolno nam zastąpić ją przez dowolną kongruentną z nią macierz diagonalną.
Ta zaś jest określona dodatnio (odp. ujemnie) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie
wyrazy jej przekątnej są dodatnie (odp. ujemne), i tak samo jest dla półokreśloności
(nierówności są wtedy tępe).
d) Gdy symetryczne macierze symetryczne A i B są dodatnio określone, to
diag(A, B) też, i vice versa. Tak samo dla określoności ujemnej i obu półokreślo-
ności.
Przykład 2. Macierz z przykładu 1 w ż1.3 nie jest półokreślona, bo kongruentna z
nią macierz diagonalna B nie ma na przekątnej wyłącznie wyrazów nieujemnych, czy
wyłącznie niedodatnich.
Ćwiczenie. Gdy macierz symetryczna jest półokreślona i nieosobliwa, to jest określona.
Dlaczego?
Dla małych k, a także w zastosowaniach teoretycznych, użyteczne może być wy-
znacznikowe kryterium określoności formy. By je sformułować umówmy się nazywać
minor macierzy poczÄ…tkowym, gdy jest on wyznaczony przez pierwszych jej s wierszy
i kolumn, dla pewnej liczby s.
Twierdzenie 1. Rzeczywista macierz symetryczna wtedy i tylko wtedy jest dodatnio
określona, gdy wszystkie jej minory początkowe są dodatnie.
Dowód. Oznaczmy macierz przez A. Ponieważ a11 = q (e1), więc każdy z rozważa-
A
nych warunków implikuje a11 > 0. Zakładamy więc niżej, że a11 > 0. Wówczas krok

a11 0
1 algorytmu z ż1.3 przeprowadza macierz A w macierz B postaci , kon-
0 Q
gruentną z A i mającą te same co ona minory początkowe. (Patrz uwaga 1 w ż1.3).
Wobec tego:
VII-13 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
1) Minory poczÄ…tkowe macierzy A wtedy i tylko wtedy wszystkie sÄ… dodatnie, gdy
jest to prawdą dla Q. (Korzystamy z tego, że i ty minor początkowy macierzy B jest
iloczynem i - 1 szego minora poczÄ…tkowego macierzy Q i liczby dodatniej a11.)
Teza twierdzenia, oczywista dla k = 1, wynika więc przez indukcję względem k, bo
2) Na mocy części b) i d) uwagi 1, macierz A wtedy i tylko wtedy jest dodatnio
określona, gdy macierz Q ma tę własność. (Gra rolę to, że a11 > 0.)
Z równości det(-B) = (-1)s det(B) dla B " Ms i twierdzenia 1, zastosowanego
do macierzy -A, otrzymujemy
Wniosek 1. Rzeczywista macierz symetryczna jest ujemnie określona wtedy i tylko
wtedy, gdy jej minory poczÄ…tkowe stopnia nieparzystego sÄ… ujemne, a parzystego do-
datnie.
Twierdzenie 1 i wniosek 1 noszÄ… nazwÄ™ kryterium Sylvestera Jacobiego. Za-
piszmy je dla
ëÅ‚ öÅ‚
a| b| d|
íÅ‚ Å‚Å‚
A = b c| e| " M3(R) (zaznaczono klatki poczÄ…tkowe)
d e f|

a b
a) A jest macierzÄ… dodatnio okreÅ›lonÄ… Ô!(a > 0 i det > 0 i det(A) > 0);
b c

a b
b) A jest macierzÄ… ujemnie okreÅ›lonÄ…Ô!(a < 0 i det > 0 i det(A) < 0).
b c
Uwaga 2. Już dla 4 × 4 macierzy kryterium Sylvestera Jacobiego jest znacznie trud-
niej stosować, niż kryterium z uwagi 1c). Nie wolno też ulec pokusie zamiany w założe-
niu i tezie słów  dodatnio i  dodatnie przez  nieujemnie i  nieujemne , odpowiednio,
o czym zaświadcza macierz diag(0, 1, -1).
Zadania uzupełniające.
1. Niech A będzie macierzą symetryczną nad F (ograniczenie F = R jest tu zbędne)
i niech r oznacza jej rząd, zaś ai jej i-ty minor początkowy. Dowieść, że jeśli ai = 0

dla i = 1, ..., r, to A = CtDC, gdzie D = diag(a1, a2/a1, ..., ar/ar-1, 0, ..., 0), a C
macierzą górnie trójkątną, z jedynkami na przekątnej.
Uwaga 3. Rezultat ten nosi nazwę twierdzenia Jacobiego. Wynika z niego, że
gdy wszystkie minory poczÄ…tkowe a1, . . . , ar macierzy symetrycznej A sÄ… niezerowe,

to formę q można liniową zamianą zmiennych przeprowadzić w formę (ai/ai-1)x2,
A
i i
gdzie przyjmujemy a0 := 1.
VII-14 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
2. Dla symetrycznej macierzy A " Mk(R) dowieść implikacji a) Ò! b) Ò! c) Ò! d)
oraz b)Ò!a) i b)Ò!e), dotyczÄ…cych poniższych warunków. (Wskazówka: w dowodach,
że b)Ò! e) i b)Ò! a), wykorzystać d) i e), odpowiednio.)
a) Macierz A jest dodatnio półokreślona;
b) Każdy minor główny macierzy A (tzn. minor wyznaczony przez jej wiersze i
kolumny należące do tego samego podzbioru zbioru {1, ..., k}) jest nieujemny.
"a
c) aii e" 0 i |aij| d" ajj d" (aii + ajj)/2 dla i, j = 1, ..., k.
ii
d) Jeśli aii = 0, to aij = aji = 0 (i, j = 1, ..., k).
e) W algorytmie z ż1.3, zastosowanym do macierzy A, część 1 każdego kroku jest
pomijana.
3. a) Dla każdej macierzy B " Mk(R), macierz BtB jest symetryczna i dodatnio
półokreślona.
b) Gdy macierz symetryczna A jest dodatnio półokreślona, to A = BtB dla pewnej
macierzy górnie trójkątnej B o nieujemnych wyrazach na przekątnej. (Jest to rozkład
Cholesky ego macierzy A, istotny dla metod numerycznych algebry liniowej.)
Zadania ze zbioru Kostrykina: 9, 11, 13, 31" w żII.2.2.
2. Twierdzenie o bezwładności.
Danej formie kwadratowej f : V R na rzeczywistej przestrzeni wektorowej V

odpowiadają w różnych bazach diagonalizujących różne wielomiany postaci ix2.
i i
Pokażemy jednak, że liczby dodatnich i ujemnych współczynników i są jednoznacznie
przez f wyznaczone.
Twierdzenie 1 (J.J.Sylvestera o bezwładności, trzy wersje). a) Gdy formie kwadra-
towej f : V R na rzeczywistej przestrzeni wektorowej V odpowiada w pewnej bazie
k
V = (vi)k wielomian ix2, to liczba s dodatnich współczynników i jest od bazy
i=1 i=1 i
V niezależna, i tak samo jest dla współczynników ujemnych i dla równych 0.
b) Gdy rzeczywiste macierze diagonalne sa kongruentne, to majÄ… tÄ™ samÄ… liczbÄ™
wyrazów dodatnich, i podobnie dla wyrazów ujemnych i dla równych 0.
c) Gdy podstawienia liniowe przeprowadzajÄ… pewnÄ… formÄ™ q " R2[x1, ..., xk] w formy
2 2 2 2
1y1 +...+kyk i  y1 +...+ yk, odpowiednio, to w ciągu 1, ..., k jest tyle wyrazów
1 k
dodatnich, co w  , ...,  . Tak samo jest też z wyrazami ujemnymi i z równymi 0.
1 k
Dowód. Wersja c) wynika z b), bo macierze diag(1, ..., k) i diag( , ...,  ) w c) są
1 k
kongruentne. Z kolei, b) wynika z a), bo kongruentne macierze A, B " Mk(R) sÄ…
macierzami, w różnych bazach, pewnej wspólnej formy kwadratowej Rk R. (Korzy-
stamy z wniosku 1 w ż1.4.) Pozostaje dowieść a), i to tylko w odniesieniu do liczby s
 bo gdy jej niezależność od bazy zastosować do formy -f, to otrzymamy niezależność
VII-15 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
od bazy liczby t. Teza wynika więc z poniższego lematu, wyrażającego s w sposób
niezależny od bazy:
Lemat 1. Przy oznaczeniach części a) twierdzenia, s jest maksymalnym wymiarem
liniowych podprzestrzeni przestrzeni V , na których forma f jest dodatnio określona.
Dowód. Niech dodatnimi współczynnikami bÄ™dÄ… 1, ..., s. Gdy u = µ1v1 +· · ·+µsvs,
gdzie µi = 0 dla pewnego i, to f(u) = 1µ2 + · · · + sµ2 > 0. Zatem:

1 s
przy U := lin(v1, ..., vs), forma f|U jest dodatnio określona i dim(U) = s. (10)
Z drugiej strony, jeÅ›li podprzestrzeÅ„ W ‚" V jest wymiaru wiÄ™kszego niż s, to na
postawie wniosku 1 w żIII.6.1 zawiera ona niezerowy wektor w " lin{vs+1, ..., vk}.
Forma f|W nie jest więc wtedy dodatnio określona, bo f(w) d" 0 (uzasadnienie jak dla
(10)). To kończy dowód lematu.
Uwaga 1. Podobne rozumowania pozwalają też wyznaczyć przez k, s i t maksymalny
wymiar podprzestrzeni, na których forma f jest dodatnio półokreślona czy zerowa;
patrz niżej zadanie uzupełniające 2.
Definicja. a) Dodatnim (odp.: ujemnym) indeksem bezwładności formy kwa-
dratowej f : V R nazywamy liczbę dodatnich (odp. ujemnych) wyrazów
macierzy tej formy w dowolnej bazie diagonalizującej. (Poprawność definicji wynika z
wersji a) twierdzenia.) Oznaczamy je przez Ã+(f) i przez Ã-(f), odpowiednio. ParÄ™
(Ã+(f), Ã-(f)) oznaczamy przez Ã(f) i nazywamy sygnaturÄ… formy f.
b) Podobnie definiujemy i oznaczamy indeksy bezwładności i sygnaturę macierzy A,
która jest rzeczywista i symetryczna: są one równe indeksom bezwładności i sygnaturze
wyznaczonej przez A formy f : Rk R. Tak wiÄ™c Ã+(A) (odp. Ã-(A)) jest liczbÄ…
A
dodatnich (odp. ujemnych) wyrazów na przekątnej dowolnej macierzy diagonalnej,
kongruentnej z A, zaÅ› Ã(A) = (Ã+(A), Ã-(A)).
Przykład 1. Macierz z przykładu 1 w ż1.3 ma sygnaturę (3, 1), ponieważ jest kongru-
entna z macierzÄ… diagonalnÄ… o 3 wyrazach dodatnich i 1 ujemnym.
Uwaga 2. a) Suma dodatniego i ujemnego indeksu bezwładności jest równa rzędowi
(formy czy macierzy). Patrz  Dodatek w twierdzeniu 1 z ż1.4.
b) Jeśli rzeczywiste macierze symetryczne są kongruentne, to mają tę samą sygna-
turę, i odwrotnie. (Wynika to z definicji sygnatury i przechodniości kongruentności.)
c) Gdy A jest macierzÄ… formy f w pewnej bazie, to Ã(f) = Ã(A). Istotnie, dla
bazy diagonalizujÄ…cej wynika to z definicji, a dla innej  z b), bo macierze formy f w
różnych bazach są kongruentne.
Ćwiczenie. Wyznaczyć sygnaturę formy det : M2(R) R oraz jej obcięcia do {A "
M2 : tr(A) = 0}.
VII-16 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Wniosek 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem F " {R, C}, zaś
f : V F niech będzie niezerową formą kwadratową.
a) Jeśli F = C, to w pewnej bazie przestrzeni V formie f odpowiada wielomian
x2 + ... + x2, dla pewnego r d" dim(V ).
1 r
b) Jeśli F = R, to w pewnej bazie przestrzeni V formie f odpowiada wielomian
x2 + ... + x2 - x2 - ... - x2 , gdzie s, t e" 0 i s + t d" dim(V ).
1 s s+1 s+t
c) Liczby s, t w części b) oraz liczba r w części a) są przez formę f jednoznacznie
wyznaczone warunkami (s, t) = Ã(f) oraz r = rk(f).
Dowód. Ad a). Na podstawie twierdzenia Lagrange a, formie f odpowiada w pewnej
r
bazie v1, ..., vk wielomian postaci ix2, gdzie i = 0 dla i = 1, ..., Latwo

i=1 i
r.
r
"1 "1
widzieć, że w bazie v1, ..., vr, vr+1, ..., vk odpowiada jej wielomian x2.
i=1 i
1 r
Dowód pozostałych części pozostawiony jest jako ćwiczenie.
Uwaga 3. Oto równoważne sformułowanie wniosku: dany jednorodny wielomian kwa-
dratowy nad F " {R, C} można podstawieniem liniowym przeprowadzić w dokładnie
jeden wielomian opisanej w a) i b) postaci.
Definicja. Nazwijmy funkcje f : V F i f : W F (liniowo) równoważnymi,
gdy istnieje izomorfizm liniowy T : V W taki, że f ć%T = f . (Zakładamy, że V i W
sÄ… przestrzeniami wektorowymi nad F; ograniczenie F " {R, C} nie jest tu istotne.)
Wniosek 2. Niech f i f będą formami kwadratowymi na przestrzeni wektorowej V
nad F.
a) Gdy F = C, to dla równoważności f i f potrzeba i wystarcza, by rk(f) = rk(f ).
b) Gdy F = R, to dla równoważnoÅ›ci f i f potrzeba i wystarcza, by Ã(f) = Ã(f ).
Uwaga 4. Wyniki dotyczące ciała C pozostają w mocy, gdy tylko w ciele skalarów
każdy element ma pierwiastek kwadratowy. W przypadku dowolnego ciała F, wa-
runkiem koniecznym równoważności form kwadratowych f, f : V F jest równość
rk(f) = rk(f ) i to, by iloczyn wyznaczników macierzy tych form, w dowolnej bazie,
był kwadratem w F. (Dlaczego?) Warunek ten nie jest jednak wystarczający i na ogół
zagadnienie, czy równoważne są dane dwie formy kwadratowe nad ciałem F " {R, C},
jest trudne. (Dla ciała Q liczb wymiernych jego dyskusji poświęcona jest książka.)
Zadania uzupełniające. (Poza ostatnim zadaniem, ciałem skalarów jest R.)
1. a) Wyrazić znak liczby det(A) przez Ã(A).
b) Gdy macierz A jest nieosobliwa, wyrazić Ã(-A-1) przez Ã(A).
r k
2. Niech p = ix2 + ckxk, przy czym współczynniki 1, ..., s są dodatnie,
i=1 i i=1
dla pewnego s e" 1. Dowieść, że jeśli r < k i ck = 0, to dla każdej podprzestrzeni

liniowej V0 ‚" Rk takiej, że dim(V0) > k - s - 1, zachodzi p(V0) ƒ" [0, ").
VII-17 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Ponieważ zadanie to będzie wykorzystane w rozdziale VIII, więc daję wskazówke:
gdy v " lin(e1, ..., es, ek) to funkcja R t p(tv) przyjmuje wszystkie wartości
nieujemne.
3. Niech f : V R bÄ™dzie formÄ… kwadratowÄ… i niech dim(V ) = k i Ã(f) = (s, t).
Dowieść, że:
a) Maksimum wymiarów podprzestrzeni, na których forma f jest dodatnio półokre-
ślona, jest równe k - t.
b) Maksimum wymiarów podprzestrzeni, na których forma f jest zerowa, jest równe
k - max(s, t).
4. Niech V = U •" W , a forma kwadratowa f : V R bÄ™dzie dodatnio okreÅ›lona na
U i ujemnie półokreÅ›lona na W . Udowodnić, że Ã+(f) = dim(U).
5. Niech W będzie podprzestrzenią przestrzeni V , a f : V R formą kwadratową.
Dowieść, że:
a) f|W : W R jest formÄ… kwadratowÄ… i Ã+(f|W ) d" Ã+(f), Ã-(f|W ) d" Ã-(f).
b) Ã+(f) - Ã+(f|W ) d" dim(V ) - dim(W ), i tak samo dla Ã-.
6. Niech p " R2[x1, ..., xk] będzie wielomianem o części głównej q.
a) Dowieść, że gdy v, w " Rk i q(v) > 0, to supt"R p(tv + w) = ".
b) Wywnioskować, że dla każdego wektora w " Rk i każdej podprzestrzeni liniowej
V0 ‚" V takiej, że dim(V0) > k - Ã+(q), zachodzi supv"V p(v + w) = ".
0
7. Niech q " R2[x1, ..., xk] bÄ™dzie formÄ… kwadratowÄ…. Dowieść, że warunek Ã(q) =
(s, t) jest równoważny temu, by q = 2 + ... + 2 - 2 - ... - 2 dla pewnych
1 s s+1 s+t
liniowo niezależnych form liniowych 1, ..., s+t " R1[x1, ..., xk]. (Wielomian liniowy
nazywamy formÄ…, gdy (0) = 0.)
8. Rozważmy następujące własności niezerowej formy kwadratowej q " F2[x1, ..., xk]:
a) q jest kwadratem wielomianu stopnia 1;
b) q jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia 1.
Dowieść, że dla F = C własność a) jest równoważna temu, by rk(q) = 1, a b) temu,
by rk(q) " {1, 2}; zaÅ› dla F = R wÅ‚asność a) jest równoważna temu, by Ã(q) = (1, 0),
a b) temu, by Ã(q) " {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}.
"
Zadania ze zbioru Kostrykina: żII.2.1.10 oraz 1, 2, 7,16, 18, 20, 21 i 27 w żII.2.2.
(Stosować dowolną metodę ustalania równoważności.)
3. Ortogonalna diagonalizacja rzeczywistych form kwadratowych.
Dla macierzy ortogonalnej C mamy C-1 = Ct. Ortogonalnie podobne macierze sÄ…
więc kongruentne, co umożliwia wyrażenie w języku form twierdzenia o ortogonalnej
VII-18 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
diagonalizowalności macierzy symetrycznych. Ta nowa interpretacja wyników z roz-
działu VI pozwala na uzyskanie wielu dodatkowych informacji o formie czy macierzy
symetrycznej, patrz m.in. poniższy wniosek 1, zadania z p.4, a także tw.2 z ż3.2.
Definicja. Gdy C " Mk(R) jest macierzÄ… ortogonalnÄ… i podstawienie x = Cy prze-
prowadza formę q " R2[x1, ..., xk] w formę q to mówimy, że q przeprowadzono w q
podstawieniem ortogonalnym (lub: ortogonalnÄ… zamianÄ… zmiennych).
Twierdzenie 1 (o ortogonalnej diagonalizacji form, dwie wersje). a) DanÄ…
formę q " R2[x1, .., xk] można podstawieniem ortogonalnym przeprowadzić w formę
postaci 1x2 + ... + kx2. Ciąg liczb 1, ..., k " R jest z dokładnością do kolejności
1 k
wyznaczony jednoznacznie: są w nim wszystkie wartości własne macierzy formy q,
każda powtórzona tylekroć, ile wynosi jej krotność jako pierwiastka wielomianu cha-
rakterystycznego.
b) Danej formie kwadratowej na przestrzeni euklidesowej odpowiada w pewnej bazie
ortonormalnej wielomian postaci 1x2 + ... + kx2, gdzie k = dim(V ). Współczynniki
1 k
1, ..., k " R są wartościami własnymi macierzy formy w dowolnej bazie ortonormal-
nej, powtarzanymi zgodnie z ich krotnościami.
Dowód. Ad a). Ponieważ macierz A formy q jest symetryczna i rzeczywista, więc ist-
nieje macierz ortogonalna C taka, że D := C-1AC jest macierzą diagonalną. Wówczas
CtAC = D, skąd x = Cy jest żądanym podstawieniem. Dalsza część a) wynika z
podobieństwa macierzy A i D = diag(1, ..., k), por. uwaga 5 w żVI.2.3.
Ad b). Wystarcza powtórzyć uzasadnienie twierdzenia z ż1.4. (Tym razem zaczy-
namy od bazy ortonormalnej, a za C obieramy macierz ortogonalnÄ…).
Wniosek 1. a) Sygnatura rzeczywistej macierzy symetrycznej wynosi (s, t), gdzie s
jest liczbą dodatnich, a t liczbą ujemnych wartości własnych tej macierzy. (Tu i niżej
uwzględniamy krotności algebraiczne wartości własnych.)
b) Sygnatura formy kwadratowej na rzeczywistej przestrzeni wektorowej V wynosi
(s, t), gdzie s to liczba dodatnich, a t  ujemnych wartości własnych macierzy formy w
dowolnej bazie przestrzeni V .
Dowód. a) wynika z części a) twierdzenia, zaś b)  z a) i uwagi 1c) w p.1.
Zadanie uzupełniające 1. Czy symetryczne i podobne macierze rzeczywiste są kongru-
entne?
Zadania ze zbioru Kostrykina: żII.4.3: 18 i 19. ( Sprowadzić formę na osie główne to
znalez
ć podstawienie ortogonalne, diagonalizujące tę formę.)
VII-19 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
"
4. Wartości własne rzeczywistych macierzy symetrycznych (zadania uzupełniające).
1. Niech f : Rk R będzie formą kwadratową, a (1, . . . , k) ciągiem wszystkich
wartości własnych (z powtórzeniami) jej macierzy w ortonormalnej bazie przestrzeni
Rk. Niech też S := {v " Rk : ||v|| = 1} oznacza sferę jednostkową. Dowieść, że:
a) Dla  " R, liczba #{i : i e" } jest równa maksimum wymiarów podprzestrzeni
W takich, że f|W )"S e" .
b) Podobnie, liczba #{i : i d" } jest równa maksimum wymiarów podprzestrzeni
W takich, że f|W )"S d" .
c) Jeśli 1 d" 2 d" ... d" k, to dla 1 d" i d" k mają miejsce następujące równości
Couranta Fischera:
i = infW MW i k-i+1 = supW mW ,
gdzie W przebiega i wymiarowe podprzestrzenie przestrzeni Rk, zaÅ› mW i MW ozna-
czają dla każdej takiej podprzestrzeni kresy zbioru f(S )" W ), dolny i górny, odpo-
wiednio.


2. Niech dalej f := f|V oznacza obciÄ™cie formy f do pewnej podprzestrzeni V ‚" V ,
i niech 1 d" 2... d" k i  d" ... d"  będą wartościami własnymi macierzy form f
1 l

i f w pewnych bazach ortonormalnych przestrzeni V i V , odpowiednio. Dowieść, że
i d"  d" i+k-l dla i = 1, ..., l. (Jest to twierdzenie Cauchy ego o przeplataniu;
i
gdy l = k - 1 mówi ono, że  " [i, i+1] dla i = 1, ..., k - 1.)
i
3. Niech macierze symetryczne A, B " Mk(R) mają tę własność, że f d" f (tzn.
A B
vtAv d" vtBv, "v " Rk). Dowieść, że:
a) Liczba dodatnich wartości własnych macierzy B jest niemniejsza niż liczba do-
datnich wartości własnych A, i tak samo dla wrtości nieujemnych. (Uwzględniamy
krotności wartości własnych.)
b) JeÅ›li 1 e" 2 e" ... e" k i µ1 e" µ2 e" · · · e" µk sÄ… wszystkimi pierwiastkami
wielomianów Ç i Ç , odpowiednio, to i d" µi dla i = 1, ..., k.
A B
ż 3. Formy (funkcje) dwuliniowe.
1. Funkcje dwuliniowe i ich macierze.
Definicja. Niech V bÄ™dzie przestrzeniÄ… wektorowÄ… nad ciaÅ‚em F. FunkcjÄ™ g : V ×V F
nazywamy dwuliniowÄ…, gdy
dla każdego v " V, funkcje u g(u, v) i u g(v, u) są liniowe. (11)
Funkcja dwuliniowa V × V F nazywana jest też formÄ… dwuliniowÄ…, przy czym
mówi się o dwuliniowej funkcji czy formie na przestrzeni V . Jest to ogólnie przyjęte,
choć nieco mylÄ…ce: dziedzinÄ… nie jest tu bowiem przestrzeÅ„ V , lecz V × V .
VII-20 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Zadanie 1. Dla takiej funkcji g ma miejsce tożsamość

g( xiui, yjwj) = xiyjg(ui, wj) (12)
i"I j"J i"I,j"J
gdy (xi)i"I i (yj)j"J są skończonymi układami skalarów, a (ui)i"I i (wj)j"J - układami
wektorów przestrzeni V .
Definicja. MacierzÄ… funkcji dwuliniowej g : V × V F w bazie v1, ..., vk
przestrzeni V nazywamy macierz, której (i, j) ty wyraz jest równy g(vi, vj), dla
i, j = 1, ..., k.
Stwierdzenie 1. Niech A i B bÄ™dÄ… macierzami funkcji dwuliniowej g : V × V F
w bazach V i W, odpowiednio. Wówczas:
k

g(u, w) = aijxiyj = xtAy dla u, w " V, gdzie x := [u]V, y := [w]V (13)
i,j=1
B = CtAC, gdzie C = [I]W jest macierzÄ… zmiany baz. (14)
V
k k
Dowód. Równość (13) wynika z zadania 1, bo u = xivi i w = yjvj.
i=1 j=1
Ad 14). Dla u, w " V mamy więc ([u]V)tA[v]V = g(u, w) = ([u]W)tB[w]W oraz
[u]V = C[u]W i [w]V = C[w]W. To daje xtBy = xtCtACy dla x, y " Fk, wobec
czego B = CtAC. (Por. ż1.4.)
Zależność (13) wyrażamy mówiąc, że w bazie V, funkcja g jest zadana wielomianem
xtAy " F2[x1, ...xk, y1, ..., yk].
Definicja. FunkcjÄ™ g : V × V F nazywamy
symetrycznÄ…, gdy g(u, v) = g(v, u) dla wszystkich u, v " V ,
antysymetrycznÄ…, gdy g(u, v) = -g(v, u) dla wszystkich u, v " V .
Ćwiczenie. Niech g = ·, · bÄ™dzie iloczynem skalarnym na przestrzeni zespolonej V .
Dowieść, że gdy V traktować jako przestrzeÅ„ rzeczywistÄ…, to funkcje Re(g), Im(g) : V ×
V R sÄ… dwuliniowe, przy czym pierwsza jest symetryczna, a druga antysymetryczna.
Wniosek 1. Funkcja dwuliniowa g : V × V F wtedy i tylko wtedy jest symetryczna
(odp.: antysymetryczna), gdy jej macierz w zadanej bazie przestrzeni V jest taka.
Dowód. Z (13) wynika, że gdy macierz A jest symetryczna (odp. antysymetryczna),
to funkcja g też. Przeciwna implikacja wynika z definicji macierzy funkcji g.
Uwaga 1. (i definicja). Macierze funkcji dwuliniowej g : V × V F, rozpatrywane
względem różnych baz, są kongruentne (patrz stwierdzenie 1). Niezmienników kon-
gruentności macierzy użyć więc można do zdefiniowania własności takiej funkcji g. W
VII-21 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
szczególności, rzędem funkcji dwuliniowej g nazywamy rząd jej macierzy w dowol-
nej bazie przestrzeni V . FunkcjÄ™ tÄ™ nazwiemy nieosobliwÄ… lub niezdegenerowanÄ…,
gdy rk(g) = dim(V ), tzn. gdy jej macierz w dowolnej bazie jest nieosobliwa. W prze-
ciwnym nazwiemy ją osobliwą lub zdegenerowaną. Możemy też użyć niezmienników
rzeczywistych macierzy symetrycznych, by zdefiniować sygnaturę czy określoność
wzgl. półokreśloność (dodatnią czy ujemną) symetrycznej funkcji dwuliniowej g na
rzeczywistej przestrzeni wektorowej. (SÄ… one takie, jak macierzy tej funkcji w dowolnej
bazie przestrzeni.)
Zadania.
2. Gdy funkcja g : V × V F jest dwuliniowa, to dla każdych liniowo zależnych
wektorów v1, ..., vk " V macierz (g(vi, vj))1d"i,jd"k jest osobliwa.
3. Niech g : V × V F bÄ™dzie funkcjÄ… dwuliniowÄ… i niech gt(u, w) := g(w, u)
dla u, w " V . Zbadać zależność pomiędzy macierzami funkcji g i gt w danej bazie
przestrzeni V i dowieść równości rk(g) = rk(gt).
4. Niech funkcja g : V × V F bÄ™dzie dwuliniowa.
a) Gdy funkcja g jest alternująca (tzn. g(v, v) = 0 dla każdego wektora v), to
jest antysymetryczna. (Wskazówka: g(u + w, u + w) = 0.)
b) Implikacja przeciwna jest prawdziwa gdy 2F = 0F, zaÅ› jest nieprawdziwa gdy

2F = 0F.
Zadania uzupełniające.
1. Niech SY M (odp. ANT ) oznacza zbiór wszystkich funkcji symetrycznych (odpo-
wiednio: antysymetrycznych) V × V F.
a) Dowieść, że SY M i ANT są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni F UN
wszystkich funkcji V × V F, oraz F UN = SY M •" ANT ;
b) opisać wzorem rzut liniowy P przestrzeni F UN na SY M wzdłuż ANT i zbadać,
czy P przeprowadza funkcje dwuliniowe w dwuliniowe.
2. Niech g : V × V F bÄ™dzie funkcjÄ… dwuliniowÄ… i niech f(v) = g(v, v)

dla v " V . Udowodnić następującą tożsamość Cauchy ego: f(u) f(u)f(w) -

g(u, w)g(w, u) = f f(u)w - g(u, w)u dla u, w " V i uzasadnić przy jej pomocy
nierówność CBS dla standardowego iloczynu skalarnego w Rn.
3. Niech V będzie dwuwymiarową rzeczywistą przestrzenią wektorową, niech g :
V × V R bÄ™dzie symetrycznÄ… funkcjÄ… dwuliniowÄ… i niech wektory u, w " V bÄ™dÄ…
liniowo niezależne. Dowieść, że:
i) funkcja g jest dodatnio lub ujemnie okreÅ›lona Ô! (g(u, w))2 < g(u, u)g(w, w);
ii) funkcja g jest osobliwaÔ! (g(u, w))2 = g(u, u)g(w, w).
VII-22 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
iii) funkcja g jest nieokreÅ›lona i nieosobliwa Ô! (g(u, w))2 > g(u, u)g(w, w).
Wywnioskować, że znak liczby (g(u, w))2-g(u, u)g(w, w) (dodatni, zerowy lub ujemny)
nie zależy od wyboru liniowo niezależnych wektorów u, w " V .
4. Funkcja dwuliniowa g na przestrzeni wektorowej wtedy i tylko wtedy jest iloczynem
dwóch funkcji liniowych, gdy rk(g) d" 1.
5. (przygotowawcze; powinno siÄ™ znalez
ć w rozdz. II): Niech macierze A, B " Ml,k
mają tę własność, że dla każdego v " Fk wektor Bv jest proporcjonalny do Av.
Dowieść, że B = A dla pewnego skalara .
6. Niech g, h : V × V F bÄ™dÄ… funkcjami dwuliniowymi. Dowieść, że
a) Jeśli h(u, w) = 0 dla wszystkich u, w " V takich, że g(u, w) = 0, to h = g dla
pewnego skalara . (Wskazówka: przy V = Fk użyteczne może być powyższe zadanie.)
b) JeÅ›li g(u, w) = 0 Ò! g(w, u) = 0 (u, w " V ), to g jest funkcjÄ… symetrycznÄ… lub
antysymetrycznÄ….
Zadania ze zbioru Kostrykina: żII.2.1: 1 do 5, 9,10,11,12,16 i 19a); żII.2.2: 1,2,3,6,19",30.
2. Funkcje dwuliniowe a formy kwadratowe.
Twierdzenie 1. a) Gdy funkcja g : V × V F jest dwuliniowa, to poniższy wzór
definiuje formÄ™ kwadratowÄ…:
f(v) = g(v, v) dla v " V (15)
1
Macierz B tej formy w zadanej bazie przestrzeni V jest równa (A + At), gdzie A
2
to macierz funkcji g w tejże bazie. (W szczególności, B = A gdy funkcja g jest
symetryczna.)
b) Odwrotnie, gdy f : V F jest formą kwadratową, to istnieje dokładnie jedna
symetryczna funkcja dwuliniowa g : V × V F speÅ‚niajÄ…ca równość (15). Ponadto,
1 1
g(u, v) = (f(u + v) - f(u) - f(v)) = (f(u + v) - f(u - v)) dla u, v " V. (16)
2 4
Dowód. a) Niech A będzie macierzą funkcji g w pewnej bazie V. Na podstawie stwier-
dzenia 1a) z p.1, funkcja f jest w tej bazie zadana wielomianem xtAx. Jest to więc
1
forma kwadratowa, której macierz w bazie V jest równa (A + At); patrz ż1.2.
2
b) Niech w pewnej bazie przestrzeni V forma f zadana będzie wielomianem xtBx,
gdzie B = Bt. FunkcjÄ™ g : V × V F zadajemy w tej bazie wielomianem xtBy.
Równość (15) i dwuliniowość g są oczywiste. Z nich wynika łatwo tożsamość (16), a z
tej jedyność g.
VII-23 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Uwaga 1. (i definicja) a) Gdy symetryczna funkcja dwuliniowa g i forma kwadra-
towa f pozostają w zależności (15), to o każdej z nich mówimy, że jest wyznaczona
przez pozostałą. Inne stosowane określenie to: g jest formą (czy funkcją) biegunową
formy kwadratowej f. Formułę, wyrażającą g przez f, nazywamy polaryzacyjną.
Dwóch przykładów takich formuł dostarcza tożsamość (16).
b) Z twierdzenia wynika, że w dowolnej bazie przestrzeni V , macierz formy kwadratowej
f jest równa macierzy jej funkcji biegunowej g.

Przykład 1. Jeśli więc forma f w bazie V jest zadana wielomianem aijxixj,
1d"id"jd"k

1
to jej funkcja biegunowa g jest w tej bazie zadana wielomianem aij(xiyj +
1d"id"jd"k
2
xjyi). Dla przykładu, niech V = M2(F). Funkcja det : V F jest formą kwadra-
towÄ…, bo w bazie

1 0 0 1 0 0 0 0
, , ,
0 0 0 0 1 0 0 1
zadana jest wielomianem x1x4 - x2x3. Jej funkcja biegunowa g : V × V F jest wiÄ™c
1 1 1 1
w tej bazie zadana wielomianem x1y4 + x4y1 - x2y3 - x3y2. Wynika stąd, że
2 2 2 2

1 1
x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2
g( , ) = det + det ,
x3 x4 y3 y4 y3 y4 x3 x4
2 2
co można zgadnąć bezpośrednio: prawa strona jest symetryczną funkcją dwuliniową i
dla Y = X przyjmuje wartość det(X). (A co dałyby wzory polaryzacyjne (16)?)
PrzykÅ‚ad 2. Niech (V, ·, · ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… unitarnÄ… nad F " {R, C} i f(v) =
||v||2 dla v " V . Gdy F = R, to f jest formÄ… kwadratowÄ…, o funkcji biegunowej
g(u, v) = u, v . (Wynika to z definicji normy.) Macierz formy f w bazie (v1, ..., vk)
przestrzeni V jest równa macierzy Grama ( vi, vj )k , bo ta jest macierzą funkcji g.
i,j=1
Natomiast gdy F = C, to funkcja f nie jest kwadratowa (dlaczego?).
Dowód następującego twierdzenia ilustruje możliwość wykorzystania funkcji biegu-
nowej.
Twierdzenie 2. Gdy f i f sÄ… formami kwadratowymi na rzeczywistej przestrzeni
wektorowej i forma f jest dodatnio określona, to istnieje baza przestrzeni, diagonali-
zująca każdą z form f, f . (Macierz formy f w tej bazie jest nawet jednostkowa.)
Dowód. Niech g : V × V F oznacza funkcjÄ™ biegunowÄ… formy f. Ze wzglÄ™du na
założoną dodatnią określoność, para (V, g) jest przestrzenią euklidesową (tzn. wzór
v1, v2 := g(v1, v2) zadaje iloczyn skalarny na V w sensie definicji z rodziału VI).
Wobec twierdzenia z ż1.4 istnieje więc g ortonormalna baza (vi)k przestrzeni V ,
i=1
diagonalizująca formę f . Ortonormalność oznacza, że g(vi, vj) = 0 gdy i = j oraz

g(vi, vi) = 1 dla i, j = 1, ..., k. Macierz funkcji g w tej bazie jest więc jednostkowa, a
tym samym i macierz formy f jest taka (patrz twierdzenie 1).
VII-24 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
"
Uwaga 2. Niech macierze A, B " Mk(R) będą symetryczne, zaś A dodatnio
określona. Z twierdzenia 2 wynika istnienie macierzy nieosobliwej C takiej, że CtAC =
I i CtBC = diag(1, ..., k), dla pewnych 1, ..., k " R. Liczby i można jawnie
wyznaczyć: sÄ… to pierwiastki wielomianu Ç := det(B - xA) (z krotnoÅ›ciami), bo
zerujÄ… wielomian det(CtBC - xI), proporcjonalny do Ç.
Zadania uzupełniające.
1. (Wskazówka: twierdzenie 2.) Przy założeniach uwagi 2 dowieść, że
a) det(A + iB) = 0.

b) Gdy B jest dodatnio półokreślona, to det(A + B) e" det(A) i nierówność jest
ostra dla B = 0.

2. Gdy A i B sÄ… jak w uwadze 2, znajdz
my dla każdego pierwiastka  wielomianu
det(B-xA) układ fundamentalny rozwiązań równania (B-A)x = 0 i poddajmy go
ortonormalizacji względem iloczynu skalarnego utAv. Dowieść, że otrzymamy łącznie
k wektorów, a macierz C, mająca je jako kolumny, spełnia warunki uwagi 2.

3. Niech V = V •" iV oznacza kompleksyfikacjÄ™ rzeczywistej przestrzeni wektorowej
V i niech f : V R będzie formą kwadratową. Dowieść, że:

a) Istnieje dokładnie jedna forma kwadratowa f : V C taka, że f|V = f. Wyrazić

też f(u + iv) przez f(u), f(v) i f(u + v).

b) rk(f) = rk(f).
Zadania ze zbioru Kostrykina: 8, 14, 15 w żII.2.2.
3. Formy dwuliniowe a geometria (informacje wstępne).
Funkcji dwuliniowej g : V × V F użyć można do wprowadzenia w przestrzeni V
pojęcia ortogonalności w następujący sposób: powiemy, że wektory u, v " V są g
ortogonalne i piszemy uĄ"gv, jeśli g(u, v) = 0. Na ogół, tak zdefiniowana relacja
ortogonalności jest niesymetryczna (kolejność wektorów u, v jest istotna). Z części b)
zadania uzupełniającego 6 w p.1 wynika
Twierdzenie 1. Funkcja dwuliniowa, zadająca symetryczną relację ortogonalności,
jest symetryczna lub jest antysymetryczna.
Funkcje dwuliniowe, które są antysymetryczne (równoważnie: alternujące, por.
zadanie 4 w p.1) lub symetryczne, są więc geometrycznie wyróżnione; nazwiemy je
formami metrycznymi.
Uwaga 1. Należy podkreślić, że nazwa  forma metryczna jest umowna i myląca:
forma taka na ogół nie wyznacza na przestrzeni metryki w sensie znanym z wykładów
VII-25 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Analizy czy Topologii. Jednak spotykana też nazwa  iloczyn skalarny była już użyta
w rozdziale V w innym (choć pokrewnym) znaczeniu.
Gdy wybór formy metrycznej g na przestrzeni V nie budzi wątpliwości, to zamiast o
g ortogonalności wektorów u, v " V mówimy o ich ortogonalności, oznaczając ją uĄ"v.
Zamiast g(u, v) używane też bywa oznaczenie u, v . W odróżnieniu od przypadku
euklidesowego, istnieć mogą różne od 0 wektory g ortogonalne do każdego innego, i te
nazwiemy anihilującymi. Istnieć też mogą wektory v = 0 takie, że vĄ"v; nazywamy

je izotropowymi. Ogólniej, podprzestrzeń U = {0} nazwiemy izotropową (lub:

4
caÅ‚kowicie osobliwÄ…), gdy g|U×U = 0. Natomiast przestrzeÅ„ anizotropowa lub
określona to taka, w której nie ma wektorów izotropowych.
Uwaga 2. Przestrzeń z wyróżnioną formą symetryczną jest izotropowa wtedy i tylko
wtedy, gdy każdy jej wektor jest izotropowy. (Wynika to z formuły polaryzacyjnej (16)
lub zadania 4 w p.1.)
Na przestrzenie z wyróżnioną formą metryczną przenieść można pojęcia rzutu or-
togonalnego, symetrii ortogonalnej, przekształcenia sprzężonego. Poniżej i w ż4 na-
szkicujemy tę część zarysowującej się teorii, którą otrzymać można nieznacznie mody-
fikujÄ…c rozumowania przedstawione w rozdziale V. Modyfikacje te wymagajÄ… pewnej
ostrożności: intuicja może zawodzić, gdyż trzeba w sformułowaniach lub dowodach
uwzględniać istnienie wektorów izotropowych i to, że zdefiniowany jest odpowiednik
iloczynu skalarnego wektorów, lecz nie ich długości. Głębsze wyniki, w tym kluczowe
twierdzenia Witta i Clifforda, znalez
ć można w książkach Langa  Algebra oraz Ko-
strykina i Manina  Algebra liniowa i geometria .
Pomiędzy ortogonalnością zadaną formą symetryczną a zadaną formą alternującą
zachodzi zasadnicza różnica: w przypadku alternującym forma kwadratowa v
g(v, v) jest zerowa, podczas gdy w przypadku symetrycznym daje ona pełną infor-
macjÄ™ o formie metrycznej g, zgodnie z twierdzeniem z p.2. W przypadku symetrycz-
nym często mówimy, że rozważana ortogonalność zadana jest przez formę kwadratową
v g(v, v) (zamiast, że jest zadana przez funkcję dwuliniową g).
Przykład 1. R4 z formą kwadratową x2+y2+z2-t2 (równoważnie: z formą dwuliniową
xx +yy +zz -tt ) nazywana jest przestrzenią Minkowskiego. Ogólniej, o przestrzeni
Minkowskiego mówimy w odniesieniu do pary (V, f), gdzie V jest rzeczywistą prze-
strzeniÄ… wektorowÄ… wymiaru 4, a f formÄ… kwadratowÄ… o sygnaturze (3, 1) lub (1, 3).
(Oba przypadki prowadzą do  takiej samej geometrii.) Interesująca podprzestrzeń
przestrzeni Minkowskiego to płaszczyzna Minkowskiego: R2 z formą x2 - t2 czy,
gdy tak woleć, dwuwymiarowa przestrzeń rzeczywista z formą o sygnaturze (1, 1).
4
Jest to terminologia np. J. P. Serre a. U nowszych autorów,  (pod)przestrzeń izotropowa to taka, której pewien
wektor jest izotropowy  co nie odpowiada znaczeniu słowa  izotropowy (jednorodny we wszystkich kierunkach).
VII-26 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
Twierdzenie 2. Przestrzeń, w której ortogonalność zadana jest formą symetryczną,
ma bazę ortogonalną (tzn., istnieje baza (wi)k taka, że wiĄ"wj dla i = j).

i=1
Równoważne sformułowanie: W odpowiedniej bazie, macierz symetrycznej formy
dwuliniowej jest diagonalna.
Dowód. Niech A := (g(vi, vj))k będzie macierzą rozważanej formy g w dowolnie
i,j=1
obranej bazie V = (vi)k . Ponieważ A = At, więc istnieje macierz nieosobliwa C
i=1
taka, że CtAC jest macierzą diagonalną. Baza W, dla której [I]W = C, ma żądaną
V
własność. (Wynika to z (14).)
Uwaga 3. a) Kolumny powyższej macierzy C są więc ciągami współrzędnych, w bazie
V, kolejnych wektorów szukanej bazy g ortogonalnej. Jest to kolejna interpretacja
twierdzenia Lagrange a z ż1.3.

b) W g ortogonalnej bazie (wi)k , forma g jest zadana wielomianem ixiyi,
i=1
gdzie i = g(wi, wi). Liczba nieizotropowych wektorów wi jest równa rk(g), zaś gdy
V jest przestrzeniÄ… rzeczywistÄ…, to Ã+(g) = #{i : g(wi, wi) > 0} oraz Ã-(g) = #{i :
g(wi, wi) < 0}.
c) Inny dowód twierdzenia 2 (interesujący, bo geometryczny) wskazuje zadanie uz. 3 w ż4.1.

Definicja. Niech w przestrzeniach V i V wyróżnione będą formy metryczne g i g ,

odpowiednio. Przekształcenie L " L(V, V ) nazywamy zanurzeniem izometrycz-
nym, gdy jest ono różnowartościowe i g (L(v1), L(v2)) = g(v1, v2) dla wszystkich
v1, v2 " V . Zanurzenie izometryczne nazywamy izometrią, gdy jest  na . Jeśli izo-

metria taka istnieje, przestrzenie (V, g) i (V , g ) nazywamy izometrycznymi, a formy
g i g  równoważnymi.
Zadanie 1. Przy oznaczeniach definicji, niech V = (v1, ..., vk) i V będą bazami w V

i V , odpowiednio. Dowieść równoważności warunków:
a) g (L(u), L(w)) = g(u, w) dla wszystkich u, w " V ;
b) g (L(vi), L(vj)) = g(vi, vj) dla i, j = 1, ..., k;
c) A = CtBC, gdzie C := [L]V , zaÅ› A i B to macierze form g i g w bazie V i V ,
V
odpowiednio.
"
Uwaga 4. Ważny jest przypadek, gdy V = V i g = g . Wartościowych informacji o
równaniu A = CtAC dostarcza zad. uz. 5 w żII.5.2.
Zadanie 2. Wywnioskować, że gdy forma g jest nieosobliwa i L : (V, g) (V, g) jest
izometriÄ…, to det(L) = Ä…1.
Zadanie 3. Wywnioskować też, że dwie symetryczne formy dwuliniowe na przestrzeni
Rk są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę samą sygnaturę.
Ćwiczenie. Czy przestrzenie (R4, x2 + x2 - x2 - x2) i (M2(R), det) są izometryczne?
1 2 3 4
Zadania ze zbioru Kostrykina: zadania 20 w żII.2.1 oraz 2 i 7 w żII.2.2.
VII-27 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
ż 4. Pojęcia geometryczne wyznaczone przez formę metryczną, c.d.
1. Dopełnienia ortogonalne i sumy ortogonalne (zadania uzupełniające).
Niech V będzie przestrzenią z wyróżnioną formą metryczną g.
Definicja. Ortogonalność Ä„"g oznaczamy dalej przez Ä„" i dla A, B ‚" V piszemy:
AĄ" = {v " V : aĄ"v dla każdego a " A};
AÄ„"B gdy B ‚" AÄ„" (mówimy wtedy, że zbiory A, B sÄ… ortogonalne);
Ä„"
V = A©B, gdy A i B sÄ… ortogonalnymi podprzestrzeniami liniowymi i V = A•"B.
1. a) Udowodnić, że AĄ" jest podprzestrzenią liniową i *" B)Ą" = AĄ" )" BĄ".
(A
b) Udowodnić, że (AÄ„")Ä„" ‡" A, (lin(A))Ä„" = AÄ„" = aÄ„" oraz gdy 0 " A )" B, to
a"A
(A + B)Ä„" = (A *" B)Ä„".
c) Dowieść, że jeśli zbiór A liczy p elementów, to dim(AĄ") e" dim(V ) - p i wy-
wnioskować, że dim(V0Ą") e" dim(V ) - dim(V0) dla każdej podprzestrzeni liniowej V0
przestrzeni V .
Ä„"
2. a) Dowieść, że dim(V ) = dim(V ) - rk(g).
Ä„"
b) Wywnioskować, że forma g wtedy i tylko wtedy jest nieosobliwa, gdy V = {0},
tzn. gdy 0 jest jedynym wektorem g ortogonalnym do każdego innego.
3. Dowieść twierdzenia 2 z ż3.3 przez indukcję względem dim(V ), jak następuje. Gdy
wyróżniona forma symetryczna jest zerowa, to nie ma czego dowodzić, a w przeciwnym
Ä„"
razie istnieje nieizotropowy wektor v1 " V ; patrz uwaga 2 w ż3.3. Przy V := v1

Ä„"
zauważyć, że dim(V ) e" dim(V ) - 1 i v1 " V . StÄ…d V = Fv1©V , co pozwala
wykorzystać założenie indukcyjne.
4. Niech teraz forma g będzie alternująca.
a) Gdy wektor v " V jest nieosobliwy, to (z definicji) g(v, w) = 0 dla pewnego

w " V . Zastępując w przez pewną jego krotność uzyskać, że g(v, w) = 1. Dowieść,
że przy V1 := lin(v, w) forma g|V ×V1 jest nieosobliwa, a jej macierz A w bazie v, w
1
ma wiersze (0, 1) i (-1, 0); ponadto V1 )" V1Ä„" = {0}.
Ä„"
b) Wywnioskować, że V = V1©V1Ä„", a nastÄ™pnie wykorzystać indukcjÄ™ wzglÄ™dem
dim V do dowodu, że w pewnej bazie macierz formy g ma postać diag(A, ..., A, 0V , ..., 0V ),
gdzie A jest 2 × 2 klatkÄ… opisanÄ… w a). W szczególnoÅ›ci, rk(g) jest liczbÄ… parzystÄ….
Bazę, o której mowa, nazywamy kanoniczną dla przestrzeni z formą alternującą g.
Zadania ze zbioru Kostrykina: żII.2.2.5.
2. Podprzestrzenie nieosobliwe i rzut ortogonalny (zadania uzupełniające).
Przypomnijmy, że przestrzeń V0 z wyróżnioną formą metryczną g0 nazywamy pod-
przestrzeniÄ… przestrzeni (V, g), gdy V0 jest podprzestrzeniÄ… liniowÄ… przestrzeni V ,
VII-28 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
zaś g0 jest obcięciem g, tzn. g0(u, w) = g(u, w) dla u, w " V0. Na ogół pomijamy
oznaczanie formy g0 zakładając, że jest nią obcięcie formy g.
Dla takiej podprzestrzeni przyjmijmy rk(V0) := rk(g0). Podprzestrzeń V0 nazy-
wamy nieosobliwą (lub: niezdegenerowana), jeśli rk(V0) = dim(V0).
Uwaga 1. Na podstawie zadania 2 w p.1, podprzestrzeń V0 wtedy i tylko wtedy jest
nieosobliwa, gdy V0 )" V0Ä„" = {0}.
Ä„"
1. Niech V = V0©V1.
a) Udowodnić, że rk(V ) = rk(V0) + rk(V1).
b) Wywnioskować, że z nieosobliwości V wynika nieosbliwość V0 i V1, i odwrotnie.
2
Definicja. Przekształcenie P " L(V ) nazywamy rzutem ortogonalnym, gdy P =
P i ker(P )Ä„"im(P ).
2. Niech podprzestrzeń W przestrzeni V będzie nieosobliwa. Udowodnić, że
Ä„"
a) V = W •" W , wobec czego rzutowanie ortogonalne na W istnieje i jest jedyne.
Ä„" Ä„"
b) Jeśli przestrzeń V jest nieosobliwa, to W też i (W )Ą" = W .
3. Dowieść, że gdy forma g jest symetryczna i v1, ..., vp jest ortogonalnym układem
p g(v,vi)
wektorów nieizotropowych, to wzór v vi zadaje rzutowanie ortogonalne
i=1
g(vi,vi)
przestrzeni V na podprzestrzeń lin(v1, ..., vp).
"
4. Dla podprzestrzeni W przestrzeni V dowieść równoważności warunków:
a) W jest maksymalnÄ… podprzestrzeniÄ… nieosobliwÄ… (tzn. jest ona nieosobliwa, lecz

każda podprzestrzeń W W jest osobliwa);
Ä„"
Ä„"
b) V = V •" W , przy czym zamiast •" można użyć ©;
c) podprzestrzeń W jest nieosobliwa i dim W = rk(g).
"
5. a) Dowieść, że gdy W jest maksymalną podprzestrzenią nieosobliwą, to rzut P
Ä„"
przestrzeni V na W wzdłuż V zachowuje wyróżnioną formę g (tzn. g(P (v1), P (v2)) =
g(v1, v2) dla v1, v2 " V ).

b) Wywnioskować, że gdy W i W są maksymalnymi podprzestrzeniami nieosobli-

wymi przestrzeni V , to W = L(W ) dla pewnej izometrii L : V V .
"
Ä„"
6. Niech V = U©W , przy czym podprzestrzeÅ„ U jest caÅ‚kowicie osobliwa. Do-
Ä„"
wieść, że równość U = V zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy podprzestrzeń W jest
nieosobliwa.
Zadania ze zbioru Kostrykina: żII.2.1: 13,19b); żII.2.2: 4,22,23",24,32".
VII-29 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
3. Sprzężenie przekształcenia między przestrzeniami z formą dwuliniową (zadania uz.).
Twierdzenie 1. Niech (V, g) i (W, g ) będą przestrzeniami z funkcją dwuliniową i
niech K " L(V, W ). Gdy funkcja g jest nieosobliwa, to istnieje jedyne przekształcenie
Kh " L(W, V ) takie, że
g(v, Kh(w)) = g (K(v), w) dla wszystkich v " V, w " W. (17)
Mówimy, że Kh jest sprzężeniem przekształcenia K (działającego pomiędzy prze-
strzeniami z funkcją dwuliniową). Dowód twierdzenia szkicujemy niżej w zadaniu 1.
1. a) Przy oznaczeniach twierdzenia obierzmy bazy V przestrzeni V i W przestrzeni
W , i niech G będzie macierzą formy g w bazie V, a G  macierzą formy g w bazie W.
Niech dalej L " L(W, V ) i oznaczmy K := [K]V , L := [L]W. Dowieść, że tożsamość
W V
g(v, L(w)) = g (K(v), w) dla wszystkich v " V, w " W
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy KtG = GL.
b) Udowodnić twierdzenie 1.
c) Dowieść, że gdy obie formy g i g są nieosobliwe i symetryczne, to (Kh)h = K.
2. Dowieść, że gdy V jest przestrzenią z nieosobliwą formą dwuliniową, to det(Lh) =
det(L) dla każdego operatora L " L(V ).
3. Przy oznaczeniach twierdzenia załóżmy, że formy g i g są symetryczne. Wtedy:
a) Przekształcenie Kh ć% K (z przestrzeni (V, g) w nią samą) jest samosprzężone.
b) K jest zanurzeniem izometrycznym Ô! Kh ć% K = IV .
Używane niżej pojęcia bazy dualnej i przestrzeni sprzężonej omówione są w żIII.3.4.
Dla funkcji dwuliniowej g : V × V F i wektora v " V definiujemy funkcjonaÅ‚
"
Jg(v) " V wzorem
(Jg(v))(x) = g(x, v) dla x " V
"
4. a) Dowieść, że gdy funkcja g jest nieosobliwa, to Jg : V V jest izomorfizmem
liniowym.
"
b) Odwrotnie, każdemu izomorfizmowi J : V V odpowiada nieosobliwa funkcja
dwuliniowa g : V × V F, dla której Jg = J.
"
5. a) Dla izomorfizmu J : V V , przeprowadzajÄ…cego danÄ… bazÄ™ B przestrzeni V
na dualną do niej bazę B", jaka jest macierz powyższej funkcji g w bazie B?
"
b)" Gdy F = R, czy dla każdego izomorfizmu J : V V istnieje baza B = (bi)k
i=1
przestrzeni V taka, że (J(bi))k jest bazą dualną do B? A gdy F = C?
i=1
6. Niech L " L(V, W ) i niech g i g będą nieosobliwymi formami dwuliniowymi na
" "
przestrzeniach V i W , odpowiednio. Zdefiniujmy L" : W V wzorem L"(Õ) = Õć%L
VII-30 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
"

dla Õ " W . Dowieść, że L" ć% Jg = Jg ć% Lh. (Ze wzglÄ™du na to, przeksztaÅ‚cenia L" i
Lh są utożsamiane i oznaczane wspólnie przez L".)
4. Wokół twierdzenia o bezwładności (zadania uzupełniające).
1. Niech g będzie symetryczną formą dwuliniową na rzeczywistej przestrzeni wekto-
rowej V . Dowieść, że gdy V jest g ortogonalną sumą prostą podprzestrzeni V1 i V2,
to Ã(g) = Ã(g1) + Ã(g2), gdzie à oznacza sygnaturÄ™ oraz gi := g|V ×Vi dla i = 1, 2.
i
2. Niech V i g będą jak w poprzednim zadaniu. Dowieść, że:
Ä„" Ä„"
a) IstniejÄ… podprzestrzenie V+, V- i Vnul takie, że V = Vnul©V+©V- i forma g jest
na V+ określona dodatnio, na V- ujemnie, a na Vnul jest zerowa.
b) Gdy V+, V- i Vnul sÄ… takimi podprzestrzeniami, to Ã(g) = (dim(V+), dim(V-)).
Uwaga 1. Zadanie to daje jeszcze jedną (ważną) wersję twierdzenia o bezwładności.
"
3. Przy poprzednich założeniach, niech W i W będą nieosobliwymi podprzestrze-

niami przestrzeni V . Dowieść, że każdą izometrię W W (gdy taka istnieje) można
przedłużyć do izometrii V V .
Uwaga 2. Jest to szczególny przypadek twierdzenia Witta, które dotyczy dowolnego
ciała skalarów.
Zadania ze zbioru Kostrykina: żII.2.2.25.
"
5. Formy hermitowskie na przestrzeniach zespolonych (zadania uzupełniające).
Niech V bÄ™dzie zespolonÄ… przestrzeniÄ… wektorowÄ…. FunkcjÄ™ g : V × V C nazywamy
formą hermitowską lub półtoraliniową funkcją hermitowsko symetryczną,
jeśli
a) dla każdego v " V , funkcja V u g(u, v) " C jest liniowa, oraz
b) g(u, v) = g(v, u) dla każdych u, v " V .
Macierzą tej formy w bazie (vi)k nazywamy macierz samosprzężoną (g(vi, vj))1d"i,jd"k.
i=1
"
1. Dowieść, że część rzeczywista (odp.: część urojona) formy hermitowskiej jest
formą dwuliniową symetryczną (odp.: antysymetryczną), gdy V traktować jako prze-
strzeń rzeczywistą.
"
2. Dowieść, że gdy A (odp. B) jest macierzą g w bazie V (odp.: w bazie W), to
B = ChAC, gdzie C = [I]W.
V
Większość definicji i wyników dotyczących form dwuliniowych symetrycznych prze-
nieść można na formy hermitowskie (a tym samym na iloczyny skalarne na przestrze-
VII-31 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
niach zespolonych).
"
3. Wzorując się na materiale z ż1.3 obmyśleć sposób pozwalający dla danej macierzy
samosprzężonej A " Mk(C) wskazać macierz nieosobliwą C " Mk(C) taką, że ChAC
jest macierzÄ… diagonalnÄ….
"
4. a) Obmyśleć definicję sygnatury formy hermitowskiej (odp. macierzy samosprzę-
żonej) i dowieść jej poprawności.
b) Dowieść, że kryterium Jacobiego Sylvestera pozostaje prawdziwe dla macierzy
samosprzężonych, gdy określoność rozumieć jak wzmiankowano wyżej. To samo jest z
zadaniami uzupełniającymi 1 3 z ż2.4, po oczywistych modyfikacjach.
Zadania ze zbioru Kostrykina: 28 i 29 w żII.2.1.
"
6. Miscelania (zadania).
1. Rozpatrzmy płaszczyznę Minkowskiego z przykładu 1 w ż4.3: R2 z formą kwa-
dratowÄ… q = x2 - t2.
a) Dowieść, że operator L : (R2, q) (R2, q) wtedy i tylko wtedy jest izometrią

a µb
liniowÄ…, gdy jego macierz w bazie standardowej jest postaci dla µ = Ä…1
b µa
oraz a, b " R takich, że a2 - b2 = 1. (Traktujemy x jako pierwszą zmienną, a t jako
drugÄ….) Ponadto, µ = 1 gdy L zachowuje orientacjÄ™ i µ = -1 w przeciwnym razie.
b) Naszkicować zbiory postaci {v : q(v) = c}, dla c = 0, ą1, ą2, będące odpowied-
nikami pewnych sfer o środku w 0 w geometrii euklidesowej (dlaczego?). Dowieść, że
są one niezmiennicze względem każdej izometrii liniowej płaszczyzny Minkowskiego na
nią samą i naszkicować analogiczne zbiory dla przestrzeni R3 z formą x2 + y2 - t2.
c) Rozpatrzmy bazę płaszczyzny Minkowskiego utworzoną przez wektory izotropowe
w1 = (1, 1) i w2 = (1, -1); współrzędne wektora v w tej bazie oznaczmy przez (c, d).
Dowieść, że q(v) = 4cd i każda zachowująca orientację izometria płaszczyzny (R2, q)
jest zadana macierzÄ… postaci Ä…diag(eÄ…, e-Ä…), dla pewnego Ä… " R.
Operator Lą, którego macierz w bazie w1, w2 jest równa diag(eą, e-ą), nazwiemy
obrotem hiperbolicznym płaszczyzny Minkowskiego o ą jednostek; oczywiście
LÄ…+² = LÄ…L² dla Ä…, ² " R.
"
2. (Kontynuacja poprzedniego.) a) Niech C := {u " R2 : q(u) < 0 i u2 >
0}. Dowieść, że gdy u, v " C, to istnieje dokładnie jedna liczba ą " R+ taka, że
LÄ…(R+u) = R+v. LiczbÄ™ tÄ™ nazywamy miarÄ… Minkowskiego kÄ…ta zorientowanego
pomiędzy u i v i oznaczamy "m(u, v). Dowieść, że gdy u, v, w " C, to "m(u, v) +
"m(v, w) = "m(u, w).
VII-32 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
b) Znalez
ć macierz Aą operatora Lą w standardowej bazie. (Wskazówka: jej wyrazy
okazują się równe cosinusowi hiperbolicznemu cosh(ą) := (eą + e-ą)/2 lub sinu-
sowi hiperbolicznemu sinh(Ä…) := (eÄ… - e-Ä…)/2.) Wyznaczyć wzory na cosh(Ä… + ²)
i sinh(Ä… + ²), odpowiadajÄ…ce tożsamoÅ›ci LÄ…+² = LÄ…L².
c)" Dowieść, że gdy q(u) = q(v) = -1, to miara Minkowskiego ą kąta pomiędzy
u i v jest wyznaczona równością cosh(ą) = g(u, v), gdzie g jest funkcją biegunową
formy q.
"
3. Niech (V, g) i (V , g ) będą przestrzeniami z wyróżnionymi formami metrycznymi.

O przekształceniu liniowym L : V V powiemy, że zachowuje ortogonalność,

gdy v1Ä„"gv2 Ò! L(v1)Ä„"g L(v2) dla v1, v2 " V .
a) Dowieść, że jeśli L : (V, g) (W, g ) zachowuje ortogonalność, to istnieje skalar
 taki, że g (L(v1), L(v2)) = g(v1, v2) dla v1, v2 " V .
b) Wskazać przykład izomorfizmu płaszczyzny Minkowskiego, który zachowuje or-
togonalność, lecz nie jest proporcjonalny do izometrii.
"
4. Dowieść, że gdy w 2-wymiarowej przestrzeni z nieosobliwą formą symetryczną
istnieje wektor izotropowy, to istnieje też baza, złożona z takich wektorów.
Zadania ze zbioru Kostrykina: 2,7,22,23,24 w żII.2.2.
ż 5. Przewodnik
skopiowany z wywieszki dla potoku  zwyczajnego .
Hasła, dotyczące omawianych tematów (nie zachowuję kolejności z wykładu):
1. Wielomiany stopnia d" 2 kilku zmiennych i wyznaczone przez nie funkcje Fk F.
Jedyność wielomianu, wyznaczającego funkcję. (ż1.1)
2. Funkcje wielomianowe stopnia d" 2 na przestrzeni wektorowej (ż1.4). Formy
kwadratowe jako wielomiany (ż1.2) i jako funkcje na przestrzeni wektorowej (ż1.4).
Macierz formy kwadratowej w obu przypadkach. Zmiana macierzy formy przy zmianie
bazy i przy podstawieniu liniowym; kongruentność macierzy i jej podstawowe własności
(ż1.3 i ż1.4).
3. Twierdzenie Lagrange a w 3 wersjach. Rząd formy kwadratowej (ż1.3 i ż1.4).
4 (ż2.1). Twierdzenie Sylvestera o bezwładności i jego związek z badaniem funk-
cji kwadratowych (lemat 1 w ż2.1 i zadania, omawiane na ćwiczeniach); klasyfikacja
zespolonych i rzeczywistych form kwadratowych przy pomocy rzędu i sygnatury, od-
powiednio (wniosek 1 i zadanie 1 w ż2.1).
5 (ż2.2). Ortogonalna diagonalizacja rzeczywistych form kwadratowych; wyrażenie
sygnatury rzeczywistej macierzy symetrycznej przez jej wartości własne.
VII-33 H. Toruńczyk, GAL II (wiosna 11)
6. Określoność rzeczywistych form kwadratowych i macierzy; kryterium Sylvestera
 Jacobiego.
7. Funkcje dwuliniowe: ich macierz w bazie i zmiana tej macierzy przy zmianie bazy,
przeniesienie na funkcje dwuliniowe pojęcia rzędu i sygnatury (gdy F = R). Odpo-
wiedniość między symetrycznymi funkcjami dwuliniowymi a formami kwadratowymi
(ż3.2).
8. (ż3.3 i ż4 w zakresie objętym ćwiczeniami.) Pojęcia geometryczne, wyznaczone
przez formę metryczną (ortogonalność, izometryczność, rzut ortogonalny, izotropo-
wość, sprzężenie operatora).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
porazenie osrodkowe nerwu twarzowego VII
Test II etap VII OWoUE
Piła 3D Saw VII 2010 BRRip XviD Noir
Szacka VII Kontrola spol
BF VII Oscyloskop
LP VII IX Orzeszkowa Eliza Tadeusz
1075 Grzegorz VII Dictatus papae
Term proc ME WYKLAD VII
LISTA VII RROO
PRAWO WYKLAD VII 06 02 2011 1

więcej podobnych podstron