Egzamin z przedmiotu Matematyka elementarna
WETI, kierunek EiT, 1 sem., r. ak. 2012/2013
1. [5p.] a) Obliczyć granice ciągów:
"
3n
n
g1 = lim 1 + 2-n + e-n + Ä„-n, g2 = lim [ln(2n + 1) - ln(2n - 3)]
n " n "
Ä„
Następnie wyznaczyć dziedzinę oraz przeciwdziedzinę funkcji
1
f(x) = Ä„2 · g2 - arc cos(3 - g1 · x)
5
1 1 - n2
[2p.] b) Korzystając z definicji pokazać, że liczba g = - jest granicą ciągu an = .
3n2 +
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .n . . . .
.
2. [5p.] a) Wyznaczyć wartości parametrów a, b " R tak, aby funkcja h(x)
Å„Å‚
ôÅ‚ x2 + 1
ôÅ‚
ôÅ‚
arcctg 1 - ln dla x < 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
(1 - x)2
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
cos a + cos 2a + Ä„ + 1 dla x = 1
h(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 1 - x2
ôÅ‚
ôÅ‚
"
b · dla x > 1
ół
1 - 2 - x
była ciągła.
[2p.] b) W oparciu o warunek konieczny i wystarczający istnienia granicy zbadać istnienie
x2 - x
granicy funkcji f(x) = w punkcie x0 = 1.
|1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .-.x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
"
3. [5p.] a) Wyznaczyć taką wartość parametru a, a > 0, aby funkcja g(x) = ax - x2 spełniała
równanie
(g(x))3 · g (x) + 1 = 0
[2p.] b) Korzystając z różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość (1, 05)2,1.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4. [5p.] a) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji y = 2x · arctg x - .
x
[2p.] b) Wykazać, że funkcja h(x) = x4-x3+3x2-2 jest wypukła w dół w przedziale (- ", + ").
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [5p.] a) Wyznaczyć ekstremum lokalne, o ile istnieje, funkcji
f(x) = ln x3 - 3x
oraz stycznÄ… do wykresu funkcji w punkcie stacjonarnym.
"
3
[2p.] b) Korzystając z definicji obliczyć pochodną funkcji y = sin x w punkcie x0 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając ze wzoru Maclaurina uzasadnić, że dla każdego x > 0
zachodzi nierówność
"
x x2
3
1 + x > 1 + -
3 9
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
egz pop AM EiT 12 13egz AM EiT 12 13egz pol ETI EiT 11 12egz AM AiR IBM 12 13egz pop ETI EiT 08 9egz kon ETI EiT 08 9egz pol ETI EiT 10 11egz kon ETI EiT 10 11egz kon ETI EiT 09 10egz pol ETI EiT 09 10egz pop ETI EiT 09 10EiT 2rok L 12 13 KopiaLab ME II zad rach 12 13egz pol ETI AiR IBM 11 12kol zal pop algebra ETI 12 13kol zal algebra ETI EiT 11 12egz pop dod AM sem1 12 13kol zal dod pop algebra ETI 12 13więcej podobnych podstron